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Édition du: 14/03/2022 M'écrire Brèves de Maths

INDEX Théorie des nombres Jeux et énigmes	Courbes elliptiques
	Introduction	Nombres congruents	Vers l'elliptique
	Eq. de Bachet	Rang des courbes elliptiques	Énigme elliptique

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But: résoudre cette équation diophantienne en nombres entiers positifs. Nombreuses solutions avec des nombres négatifs. Mais, il semble impossible de trouver a, b et c tous positifs. Même par exploration par ordinateur. Pourtant il existe une infinité de solutions, mais avec des nombres extrêmement grands. Trouver la plus petite solution nécessite de recourir aux fonctions elliptiques.
et supérieur …	Sommaire de cette page >>> L'énigme – Présentation >>> Recherche de solutions >>> Solution – Courbe elliptique >>> Solution – Calculs >>> Autre énigme du même type >>> Anglais	Débutants Théorie des nombres Glossaire Ellipse / Elliptique

L'énigme – Présentation		haut
On trouve parfois cette énigme sous la forme de cette image. Une présentation classique d'énigmes virales sur Internet. Ces énigmes (ces memes) sont des appâts à clics; elles sont compréhensibles par la plupart des gens. En revanche, celle-ci est absolument infaisable sans un diplôme de mathématiques supérieures. La solution n'est pas même accessible par balayage de toutes les possibilités à l'aide d'un ordinateur. La solution existe bel et bien mais avec des nombres de 80 chiffres.
Écriture algébrique On demande la plus petite valeur de a, b et c positifs non nuls.

Voir Brève 868

Recherche de solutions		haut
Comportement de l'expression Pour a = b = n, les nombres successifs, il existe une valeur de c produisant un nombre entier. Mais, il s'agit de 2 et non pas 4 (testé jusqu'à 1000).	Exemple avec 1, 1, 3
Solutions multiples Avec une solution, il est possible d'en forger une infinité avec les multiples du triplet. On dit que l'équation est homogène.	Exemple avec 3 fois(1, 1, 3) = (3, 3, 9)
Solutions négatives Il existe de nombreuses solutions en acceptant des nombres négatifs en en entrée. Une seule valeur négative suffit.	Exemple avec -1, 4, 11

Approche de la solution

La solution nécessite la résolution d'une équation cubique à l'aide des fonctions elliptiques.

Ce qui suit est une interprétation simplifiée du texte d'Alon Amit, elle-même tirée de l'article original publié par Andrew Bremmer and Allan Macleod en 2014.

Sans donner la solution complète, sa lecture permet de se rendre compte du niveau de connaissances nécessaires pour craquer cette énigme.

Solution – Courbe elliptique			haut
Équation sans dénominateurs Il s'agit d'une équation diophantienne (en nombres entiers). L'équation étant homogène, on peut diviser chaque variable par c et résoudre une équation à deux variables rationnelles (a/c, b/c et 1).
Développement de l'expression Condition: dénominateurs non nuls.
C'est une cubique (degré 3) Elle est représentée par une courbe elliptique.

Calcul de la fonction elliptique Une transformation (affaire d'experts) permet de la transformer comme indiqué.
Un nouveau calcul montre la forme finale de notre courbe elliptique. Et les valeurs correspondantes de a, b et c. Ce jeu d'équations est absolument équivalent à l'équation de départ.
Allure du graphe Le point (-100, 260) est un exemple de point rationnel de la courbe. Il conduit à: a = 2/7 b = -1/14 et c = 11/14 En multipliant par 14: a = 4 b = -1 et c = 11 Avec eux, notre expression vaut bien 4.

Solution – Calculs		haut
Deuxième solution rationnelle Lorsqu'un point rationnel est connu sur une courbe elliptique, il est possible d'en trouver d'autres par la méthode de l'addition. Tangente en A, intersection en B. Verticale en B, intersection en C. Le point C = 2A est une nouvelle solution rationnelle dont le calcul est réalisable par logiciel. (a, b, c) = 9499, -8784, 5165) Encore du négatif !
Troisième solution rationnelle Un nouveau point peut encore être atteint par la même méthode. Droite AC, intersection E. Verticale en E, intersection F Le point F = A + 2A est un nouveau point rationnel, mais hélas toujours avec des nombres négatifs
Il faut avoir la constance et la puissance de calcul pour aller jusqu'à S = A + 9A pour enfin avoir trois nombres positifs. La plus petite solution avec a = 1,5… 10^80 a = 154476802108746166441951315019919837485664325669565431700026634898253202035277999 b = 36875131794129999827197811565225474825492979968971970996283137471637224634055579 c = 4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036
Vérification par logiciel

Voir Nombres en 10⁸⁰

Autre énigme du même type		haut
Solutions en nombres entiers positifs ? La même méthode par conversion en courbe elliptique conduit à une solution à 6770 chiffres !

Anglais

For a non-zero integer N , we consider the problem of finding three integers (a, b, c) such that:

a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) = 4

We are looking for solutions in positive integers of the equation:

Voir Anglais pour le bac et pour les affaires

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Voir	Problème des trois cubes Équations diophantiennes Conjectures – Index Actualités 2016 Théorie des nombres – Index
Sites	How to find the positive integer solution to x/(y+z) + y/(z+x) + z/(x+y) = 4 – Alon Amit – Quora Find integer in the form a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) = 4 – Mathematics A diophantine equation with only titanic solutions (a^3+b^3=313^2[27,27]34^3) – Mathematics An unusual cubic representation problem** – Andrew Bremmer and Allan Macleod – 2014
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Coriace.htm