NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Cercle unité

>>> Vers l'elliptique

 

 

 

 

TRIPLETS de PYTHAGORE

Cercle Unité

 

 

*    Travail sur le cercle unité.

*    Trouver des nombres rationnels sur ce cercle.

*    Base du calcul sur les courbes elliptiques.

 

 

 

 

CERCLE UNITÉ

 

*      Un triplet de Pythagore se présente sous la forme a² + b² = c².

*      Divisons chaque terme par c²:

 

 

*      Vous reconnaissez l'équation d'un cercle u² + v² = R, avec un rayon unité.

*      Dessinons ce cercle et portons en x la valeur rationnelle de (a/c) et en y celle de (b/c). Nous matérialisons ainsi un triplet de Pythagore sur le cercle unité.

*      L'illustration présente deux de ces triplets:

*      (3,   4,   5)        ( 3/5,     4/5)

*      (5, 12, 13)        (5/13, 12/13)

 

 

 

 

 

Vers l'elliptique …

 

*      Abordons le cercle, non pas depuis le centre comme habituellement, mais depuis un point situé sur le cercle. On choisit le point à gauche du diamètre horizontal pour des facilités de calcul.

*      Traçons la droite qui passe par ce point (– 1, 0) et un point (u, v) matérialisant un triplet.

*      Si la pente de cette droite est t, son équation est v = t (u + 1).

 

 

*      En associant cette équation à la condition à remplir pour être éligible en triplet de Pythagore: u² + v² = 1

nous pouvons choisir les coordonnées (u, v) en fonction de t:

 

Ces valeurs, exploitant une identité remarquable,  remplissent les conditions requises:

u² + v² = 1   (1 – t²)² + (2t)² = (1 + t²)²

En effet:  1 – 2t² + t4 + 4t² = 1 + 2t² + t4 = (1 +t²)²

Et v =  t(u + 1)  2t /(1+t²) = t ((1 – t²) / (1 + t²) + 1)

                             2t = t (1 – t²) + (1 + t²)

                             2t = t – t3 + t + t3 = 2t vérification terminée.

Le choix de ces valeurs semble parachuté; en fait, il résulte d'une intuition aidée par une bonne connaissance des identités remarquables.

 

*      L'allure de ces paramètres (u et v) en fonction de t, fait penser aux travaux qui mènent aux courbes elliptiques. Ce que confirme l'analyse complète.

 

 

 

 

 

Suite

*    Triplets – triangles

*    Triplets – Historique

*    Triangles héroniens et trigonométrie

*    Les nombres t- congruents

Voir

*    Addition - Glossaire

*    Années Pythagore

*    Cercle trigonométrique

*    Décade de Pythagore

*    Programmation

*    PythagoreBiographie

Site

*     Cercle unité

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