Accueil

Orientation générale

Barre de recherche

DicoNombre

DicoMot Math

DicoCulture

Atlas des maths

Rubriques

Index alphabétique

Nouveautés

Actualités

Références

Édition du: 26/06/2020

M'écrire

Brèves de Maths

 

INDEX

 

Types de nombres figurés: liste et liens

 

Nombres

 

Nombres Polygonaux

Pentagonaux

Hexagonaux

Heptagonaux

Autres

Hexagonaux de 2e ordre et généralisés

Hexagonaux centrés

 

 

 

NOMBRES HEXAGONAUX

 

Nombres construits en déposant points sur des hexagones gigognes. L'un dans l'autre, mais avec deux côtés communs.

 

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Propriétés avec les nombres entiers

>>> Propriétés avec le triangle de Pascal

>>> Propriétés avec les nombres triangulaires

>>> Propriétés avec les carrés

>>> Propriétés avec les nombres parfaits

>>> Propriétés avec la trigonométrie

>>> Propriétés avec les puissances de 12

>>> Langues

 

 

Débutants

Nombres figurés ou géométriques

 

Glossaire

Nombres géométriques

 

 

 

Approche

haut

 

Illustration

 

Forme  hexagonale

 

Observez que les nombres ajoutés à chaque fois sont en 4k + 1.

Notation et formules

 

La formule en somme résulte de l'observation vue ci-dessus

Caractérisation

 

Sorte de racine hexagonale

Si n est un nombre entier alors x est le énième nombre hexagonal. Sinon, il n'est pas hexagonal.

N est une des racines de x = 2n² – n.

Fonction génératrice

 

L'instruction demande le développement sur dix termes.

Programme

Somme des inverses

Les premiers hexagonaux

0, 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, 1035, 1128, 1225, 1326, 1431, 1540, 1653, 1770, 1891, 2016, 2145, 2278, 2415, 2556, 2701, 2850, 3003, 3160, 3321, 3486, 3655, 3828, 4005, 4186, 4371, 4560, …

Les hexagonaux carrés

n, P6, racine carrée de P6

25, 1225, 35

841, 1413721, 1189

28561, 1631432881, 40391

970225, 1882672131025, 1372105

32959081, 2172602007770041, 46611179

Les heptagonaux cubes jusqu'à n = 106

n, P6, racine cubique de P6

541954, 587427734278, 8375

882402, 1557265696806, 1159

 

Propriétés avec les nombres entiers

haut

 

Tout nombre est somme de cinq hexagonaux, sauf 11 et 26

 

Tout nombre plus grand que 130 est la somme de quatre hexagonaux. Le plus grand connu étant: 146 858.

 

Pour les nombres assez grands, trois hexagonaux suffisent.

 

 

Seules les partitions de deux nombres exigent plus de cinq nombres polygonaux:

11 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 6

26 = 1 + 1 + 6 + 6 + 6 + 6

 

Les vingt nombres nécessitant plus  quatre hexagonaux: 5, 10, 11, 20, 25, 26, 38, 39, 54, 65, 69, 70, 78, 82, 83, 87, 93, 95, 98, 100 .

 

 

Escalier

Cette disposition en escalier produit les nombres hexagonaux (rouge) sur la dernière marche à la descente.

Chaque descente ajoute 4k + 1 marches conformément à la formule additive vue ci- dessus: 4+1 (bleu) , 8+1 (jaune) puis 12+1, etc.

 

Note: la diagonale 3, 10, 21, 36, 55 … donne la liste des nombres hexagonaux de deuxième ordre.

 

 

Hexagonale = Somme des (4k – 3) – Démonstration par induction

 

Démontrer

P6,n = n (2n – 1)

= 1 + 5 + 9 + … + (4n – 3)

Vrai pour n = 1

P6,1 = 1 (2 – 1)

= 1

Vrai pour n = 1 (confirmation)

P6,2 = 2 (4 – 1)

= 1 + 5 = 6

Vrai pour n = k (hypothèse)

P6,k = k (2k – 1)

= 1 + 5 + 9 + … + (4k – 3)

Calcul pour n = k + 1

P6,k+1

= 1 + 5 + 9 + … + (4k – 3) + (4(k+1) – 3)

En vertu de l'hypothèse

 

= k(2k – 1)                           + (4(k+1) – 3)

 

 

= 2k² – k + 4k + 4 – 3

 

 

= 2k² + 3k + 1

 

 

= (k+1) (2k + 1)

 

P6,k+1 = (k+1) (2(k+1) – 1)

= 1 + 5 + 9 + … + (4k – 3) + (4(k+1) – 3)

Conclusion

Si la propriété est vraie pour k, elle est vrai pour k+1, or elle est vrais pour 1, alors par induction, elle est vraie pour tout k.

 

 

Propriétés avec le triangle de Pascal

haut

 

Les nombres hexagonaux sont les coefficients du binôme: combinaisons de 2 parmi 2(n + 1).

 

Programme

 

Formule

 

Exemple

 

Illustration

 

Les nombres hexagonaux généralisés représentent la 2e colonne du triangle de Pascal:

 

nombres hexagonaux

+ nombres hexagonaux du 2e ordre

 

 

 

 

Propriétés avec les nombres triangulaires

haut

 

Avec les nombres triangulaires

 

Théorème des nombres hexagonaux

Un nombre hexagonal d'ordre n est égal au nombre triangulaire d'ordre 2n – 1.

 

Soit un triangulaire sur deux (ceux de rang impair) sont aussi hexagonaux.

 

 

  P6,n = T2n-1

= 1/2 x (2n–1) 2n

= 1/2 (4n² – 2n)

= 2n² – n

 

= 4 Tn-1 + n

= 4 x 1/2 x (n–1)n + n

= 2n (n–1) + n

= 2n² – n

 

= 3 Tn-1 + Tn

= 3/2 (n–1)n + 1/2 n(n+1)

= 1/2 { 3n² – 3n + n² + n }

= 2n² – n

 

 

Tout hexagonal est la somme de quatre triangulaires.
Propriété générale des polygonaux, somme de triangulaires.

 

P6,n = Tn + 3 Tn – 1

= 1/2 x n(n+1)+ 3/2 n(n–1)

= 1/2 (n² + n + 3n² – 3n)

= 2n² – n

 

 

Illustration de: Hexagonal =  somme de quatre triangulaires

 

Propriétés avec les carrés

haut

 

Avec les carrés de nombres successifs.

 

Départ avec les hexagonaux(H), puis, dans la succession des nombres, le premier du second membre est remplacé par n².

 

 

Exemple: la 20e égalité commence par 780 et se termine par 819. La somme des carrés vaut alors: 12 466 870.

 

Voir Brève de maths 504

 

Voir Égalités semblables avec les hexagonaux due 2e ordre

 

Suite: [n, premier nombre, dernier nombre, somme) ]

[2, 6, 9, 85], [3, 15, 20, 770], [4, 28, 35, 3486], [5, 45, 54, 11055], [6, 66, 77, 28171], [7, 91, 104, 61880], [8, 120, 135, 122060], [9, 153, 170, 221901], [10, 190, 209, 378385], [11, 231, 252, 612766], [12, 276, 299, 951050], [13, 325, 350, 1424475], [14, 378, 405, 2069991], [15, 435, 464, 2930740], [16, 496, 527, 4056536], [17, 561, 594, 5504345], [18, 630, 665, 7338765], [19, 703, 740, 9632506], [20, 780, 819, 12466870], …

 

 

Propriétés avec les nombres parfaits

haut

 

Avec les nombres parfaits

 

Tous les nombres parfaits sont  hexagonaux.

 

 

    6 = 2 (2x2 – 1)

  28 = 4 (2x4 – 1)

496 = 16 (2x16 – 1)

 

Propriétés avec la trigonométrie

haut

 

Curiosité trigonométrique

 

 

Exemple avec 5

 

Propriétés avec les puissances de 12

haut

 

Curiosité avec la théorie des nombres:

 

Un nombre hexagonal d'ordre n est la quantité de diviseurs de 12 à la puissance n – 1.

 

 

Voir Nombre 12

 

Exemple: diviseurs de 12² = 144 => 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144 => 15 diviseurs.

 

 

 

Programme

 

Explications

 

Nombre: 12 = 2² x 3

Puissance: (22 x 3)n-1 = 22(n-1) x 3n-1

Quantité de diviseurs: (2(n-1) + 1) n = 2n² - n

Extension

Le décompte des diviseurs est valable quels que soient les nombres premiers pris à la place de 2 et 3.

Le nombe 12 peut être emplacé par tout produit de deux nombres premiers dont l'un est au carré.

 

 

Langues

Anglais: A hexagonal number is a figurate number.

Allemand: Sechseckszahl oder Hexagonalzahl

Espagnol: Un número hexagonal es un numero poligonal

Italien: Un numero esagonale è un numero poligonale

 

Haut de page

 

Retour

*      Nombre pentagonaux

Suite

*      Nombres heptagonaux

Voir

*      Types de nombres figurésIndex

DicoNombre

*      Nombre 1,386…

Sites

*      OEIS A000384 - Hexagonal numbers: a(n) = n*(2*n-1)

*      OEIS A046177 - Squares which are also hexagonal numbers

*      Hexagonal number – Wolfram MathWorld

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/FIGURE/Hexagone.htm