NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Nombres hexagonaux centrés

>>> Propriétés

 

 

 

NOMBRES HEX

ou hexagonaux centrés

 

Quantités de billes placées aux sommets d'hexagones concentriques avec une bille au centre.

Anglais: Centred hexagonal numbers or hex numbers

 

 

 

Nombres HEXAGONAUX CENTRÉS

Exemple

 

 

37 = 1 + 6 +  12 + 18

Quatrième nombre hexagonal centré.

 

hex37

 

Formules pour HCn

=  n3 – (n – 1)3

= 3n² – 3n + 1

= Hcn-1 + 6(n – 1)

= 6 Tn-1 + 1

 

Centré ou non

Côté

Hexagone

Hexagone

Centré

1

1

1

2

6

7

3

15

19

4

28

37

 

 

Liste des nombres HEX

 

Avec son rang

[1, 1], [2, 7], [3, 19], [4, 37], [5, 61], [6, 91], [7, 127], [8, 169], [9, 217], [10, 271], [11, 331], [12, 397], [13, 469], [14, 547], [15, 631], [16, 721], [17, 817], [18, 919], [19, 1027], [20, 1141]

 

Suite

… 1261, 1387, 1519, 1657, 1801, 1951, 2107, 2269, 2437, 2611, 2791, 2977, 3169, 3367, 3571, 3781, 3997, 4219, 4447, 4681, 4921, 5167, 5419, 5677, 5941, 6211, 6487, …

 

Programmation Maple

 

 

Autre forme (type fonction)

Polynôme générateur

Voir Polynômes générateurs des partitions

 

 

Propriétés

Unités

 

et

 

 

Dizaines

 

Les unités des HEX suivent le motif palindromique:

1, 7, 9, 7, 1

 

Les deux derniers chiffres suivent un motif palidromique de longueur 100.

1, 7, 19, 37, 61, 91, …, 91, 61, 37, 19, 7, 1<

 

Racine numérique

La somme itérée des chiffres (racine numérique) des HEX produit un motif palindromique

1, 7, 1

Moyenne = carré

La moyenne des HEX jusqu'à n est un carré:

[1, 7], 4

[1, 7, 19], 9

[1, 7, 19, 37], 16

[1, 7, 19, 37, 61], 25

[1, 7, 19, 37, 61, 91], 36

Somme = cubes

 

 

Rappel:

HCn  = n3 – (n – 1)3

 

1

= 1

= 13

1 + 7

= 8

= 23

1 + 7 + 19

= 27

= 33

1 + 7 + 19 + 37

= 64

= 43

1 + 7 + 19 + 37 + 61

= 125

= 53

1 + 7 + 19 + 37 + 61 + 91

= 216

= 63

1 + 7 + 19 + 37 + 61 + 91 + ... + Hn

 

= n3

 

Relation avec les nombres  triangulaires

 

HCn = 6 Tn-1 + 1

 

Relation avec les cubes géométriques

 

Soit un cube formé de nxnxn petits cubes.

Les nombres HEX donnent la quantité maximale de cubes visibles à partir d'un point de vue fixe donné.

Ici, avec 2x2x2, on peut voir seulement sept cubes (marqués en rouge)

 

 

Rosace

La quantité de cercles pour réaliser des rosaces de plus en plus grandes est un nombre HEX.

 

Ici 7 cercles pour le premier niveau.

Partitions

Les HEX donnent la quantité de partitions des nombres en 6n en utilisant les trois premiers nombres

 

Les 7 partitions de 6 avec 3 nombres

[1, 1, 1, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1, 2], [1, 1, 2, 2], [2, 2, 2], [1, 1, 1, 3], [1, 2, 3], [3, 3]

 

Les 19 partitions de 12 avec 3 nombres

[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2], [1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2], [1, 1, 2, 2, 2, 2, 2], [2, 2, 2, 2, 2, 2], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3], [1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3], [1, 1, 1, 2, 2, 2, 3], [1, 2, 2, 2, 2, 3], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 3], [1, 1, 1, 1, 2, 3, 3], [1, 1, 2, 2, 3, 3], [2, 2, 2, 3, 3], [1, 1, 1, 3, 3, 3], [1, 2, 3, 3, 3], [3, 3, 3, 3].

 

 

 

 

 

Nombres géométriques

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*      Figurate numbers d'Eric Weisstein
       Absolument intarissable sur le sujet

*      OEIS A003215 - Hex (or centered hexagonal) numbers: 3*n*(n+1)+1

Livre

 

*      Pour développements complets, voir Conway et Guy " The book of numbers "  (Le livre des nombres)