NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres figurés

 

Débutants

Nombres

Figurés

TRIANGULAIRES

 

Glossaire

Nombres

Figurés

 

 

INDEX

 

Nombres figurés

 

Introduction

Propriétés

Caractérisation

Centrés

 

Sommaire de cette page

>>> Caractéristiques

>>> Triangle de pascal – Coefficient du binôme

>>> Variétés

>>> Liste

 

 

 

 

 

 

 

Caractéristiques

Famille

Nombre / Figuré

Définitions

NOMBRE TRIANGULAIRE ou NOMBRE TRIANGLE

 

*      Nombre formé à partir d'un triangle (triangle équilatéral ou isocèle).
Avec une base augmentée de l'unité pour chaque triangle plus grand.

Formule

(n² + n)

2

=

n (n + 1)

2

Un qui se fait remarquer

1 + 2 + 3 + 4 = 10

 

 

Propriétés

*      L'unité des nombres triangulaires suit le motif: impair, impair, pair, pair.

*      Un nombre triangulaire est divisible par 3 ou par neuf avec un reste de 1 (racine numérique 1, 3, 6 ou 9, preuve par neuf).

*      Le nombre triangulaire de rang n est la somme des nombres entiers de 1 à n.

*      Un nombre triangulaire est le double d'un nombre pronique.

*      Le carré d'un nombre triangulaire est égal à la somme des cubes des nombres de 1 à n.              
Exemple:  T32 = (1 + 2 + 3)² = 13 + 23 + 33 = 36

*      La somme des nombres triangulaires successifs forment les nombres tétraédriques.

 

*      Tout nombre entier est la somme de trois nombres triangulaires.

*      La somme de deux nombres triangulaires consécutifs est un carré.

*      Tous les nombres parfaits sont triangulaires (en fait ce sont les nombres parfaits pairs, mais ce sont les seuls que l'on connaisse).

Racine triangulaire

*      Delta n est la racine triangulaire par défaut de n, c'est-à-dire le plus grand entier p tel que:

Voir Racine triangulaire

 

 

Anglais

*    Triangular number

 

 

Liste

n                  P

 

  1                1

  2                3

  3                6

  4              10

  5              15

  6              21

  7              28

  8              36

  9              45

10              55

11              66

12              78

13              91

14            105

15            120

16            136

17            153

18            171

19            190

20            210

21            231

22            253

23            276

24            300

25            325

n             P


26       351

27       378

28       406

29       435

30       465

31       496

32       528

33       561

34       595

35       630

36       666

37       703

38       741

39       780

40       820

41       861

42       903

43       946

44       990

45       1 035

46       1 081

47       1 128

48       1 176

49       1 225

 

 

n               P

 

50       1 275

51       1 326

52       1 378

53       1 431

54       1 485

55       1 540

56       1 596

57       1 653

58       1 711

59       1 770

60       1 830

61       1 891

62       1 953

63       2 016

64       2 080

65       2 145

66       2 211

67       2 278

68       2 346

69       2 415

70       2 485

71       2 556

72       2 628

73       2 701

74       2 775

n             P

 

75       2 850

76       2 926

77       3 003

78       3 081

79       3 160

80       3 240

81       3 321

82       3 403

83       3 486

84       3 570

85       3 655

86       3 741

87       3 828

88       3 916

89       4 005

90       4 095

91       4 186

92       4 278

93       4 371

94       4 465

95       4 560

96       4 656

97       4 753

98       4 851

99       4 950

100     5 050

 

 

Variétés

 

Nombre triangulaires palindromes

T10  =       55
T11  =       66
T18  =     171
T34  =     595
T36  =     666
T77  =   3003
T109 =   5995

T132 =   8778

T173 = 15051

T363 = 66066

 

Nombres triangulaires carrés

T1     =                         1 =           
T8     =                       36 =           
T49    =                 1 225 =          35²
T288   =               41 616 =       204²
T1681  =         1 413 721 =   1 198²
T9800  =    480 024 900 =    6 930²
T57121 = 1 631 432 881 = 40 391²

 

 

Triangle de Pascal – Coefficient du binôme

 


Les nombres triangulaires sont les nombres de la colonne n°2 du triangle de Pascal

La colonne n°3 donne les nombres tétraédriques: somme de tous les triangulaires des rangs précédents
                                     
Exemple: 1 + 3 + 6 = 1

 

Extrait du triangle de Pascal

 

Ces nombres sont le développement des puissances successives du binôme (x + y)

Ils donnent la quantité de combinaisons de p objets parmi n

Les nombres triangulaires sont en fait la quantité de combinaisons de 2 objets parmi n

C'est notamment la quantité de segments qui joignent n points non alignés

 

 

Tn = C2n+1

Exemples    T3   = C24   =  6

                T10 = C211 = 55

 

 

 

 

Voir

*  Nombres triangulaires – Introduction et développements

*  Nombres tétraédriques

*  Nombres proniques

*  Nombres parfaits

*  Racine triangulaire et tour de Hanoï

Aussi

*  Nombres figurés

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