NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 10/09/2016

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Nombres

 

Unités, dizaines …

 

 

 

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Nomenclature des nombres

 

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Décimal

Unités

Dizaines

Centaines

Grandeur

 

Sommaire de cette page

>>>  Extraction des dizaines sur tableur

>>>  Programmation de l'extraction des dizaines

>>>  Divisibilité

>>>  Dizaines et unités des puissances

>>>  Mêmes terminaisons "du"

>>>  Bilan sur les terminaisons "du"

 

 

 

 

 

CHIFFRE des DIZAINES

  

4

3

2

5

6

Millier

Centaine

Dizaine

Unité

 

 

*      Ce chiffre suit celui des unités, un cran vers la droite.

  23 comprend   2 dizaines et 3 unités;

                            2 est le chiffre des dizaines.

153 comprend 15 dizaines et 3 unités;

                            5 est le chiffre des dizaines.

*      Les deux chiffres des dizaines et des unités sont souvent appelés pour tester la divisibilité d'un nombre

 

 

Extraction des dizaines sur tableur

 

*      Voici le calcul pas à pas

 

*      Voici les formules à taper dans les cellules

 

*      En A, le nombre N

*      En B, les unités qui se calcule par u = N – 10 x le quotient de N par 10.

*      En C, le nombre divisé par 10 et sans décimale

*      En D, les unités de la quantité de dizaines, soit le chiffre des dizaines

*      En E, restitution du nombre formé des deux derniers chiffres, dizaines et unités (du).

 

 

 

 

Programmation de l'extraction des dizaines

 

*      Le logiciel Mapple donne directement le quotient (iquo) et le reste (irem).

*      Ces deux instructions sont utilisées dans une boucle qui restitue le chiffre des dizaines pour les nombres à partir de 700 avec un pas (by) de 7.

*      La quantité de dizaines (QDiz) est le quotient du nombre divisé par 10.

*      Le chiffre des dizaines est le reste de QDiz divisé par 10.

 

 

 

> for N from 700 to 750 by 7 do

     QDiz:= iquo(N,10):

     Diz:= irem(QDiz,10):

 lprint (N,Diz):

 od:

 

 

 

700, 0

707, 0

714, 1

721, 2

728, 2

735, 3

742, 4

749, 4

Voir Programmation de la division et ses applications

 

 

Divisibilité

 

*      Un certain nombre de caractères de divisibilité ne nécessitent l'examen que des deux derniers chiffres d'un nombre; les dizaines (d) et les unités (u).
Exemple: les nombres qui se terminent par soit 00, 25, 50 ou 75 sont divisibles par 25. On écrit: du = {00, 25, 50, 75}.

Note: les caractères liés à l'unité seulement sont donnés sur la page unité.

 

2

u = {0, 2, 4, 6, 8}

1234 => 4 => 1234 divisible par 2

4

2d + u divisible par 4

556 => 2x5+6= 16 => 556 divisible par 4

5

u = {0,5}

12345 => 5 => 12345 divisible par 5

10

u = 0

3210 => 0 => 3210 divisible par 10

20

ud ={00, 20, 40, 60, 80}

1220 => 20 => divisible par 20

25

du = {00, 25, 50, 75}

1050 => 50 => 1050 divisible par 25

50

du = {00, 50}

1050 => 50 => 1050 divisible par 50

 

*      Nous ne sommes pas étonnés par cette liste qui constitue, en fait, celle des diviseurs de 100 = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}.

 

 

 

 

DIZAINES et UNITÉS des PUISSANCES

 

*      Un nombre s'écrit, en isolant les dizaines et les unités

    N =  … + 1000m + 100c + 10d + u

    N =  100 ( …10m +   1c) + 10d + u
    N =  100 a + du  Pour éviter toute confusion, on peut écrire

 

*      Calculons les puissances de cette expression en utilisant ce que nous savons des identités remarquables. Tous calculs faits, on trouve:

 

(100 a + du)2 =   

(100 a + du)3 =   

(100 a + du)4 =   

(100 a + du)k =   

 

*      Nous constatons que le terme hors dizaines et unités est divisible par 100. Ce qui veut dire que les chiffres des dizaines et des unités du nombre portés à une puissance est tout simplement égal aux chiffres des dizaines er des unités porté à cette puissance.

 

Si N = … DU

Alors Nk = … du   avec du dizaine et unité de DUk

 

*      Par exemple: 112² =    144 se termine par 4 comme 2² = 4
           1563 = 3 796 416 se termine par 16 comme 563 = 175616.

 

*      Autres exemples avec 1234k

k          34k                                           1234k

2          1156                                        1522756

3          39304                                     1879080904

4          1336336                                 2318785835536

5          45435424                               2861381721051424

6          1544804416                          3530945043777457216

7          52523350144                        4357186184021382204544

8          1785793904896                   5376767751082385640407296

9          60716992766464                 6634931404835663880262603264

10        2064377754059776             8187505353567209228244052427776

 

 

 

Mêmes terminaisons "du"

 

Carrés

*      Les seuls nombres terminés par 00, 01, 25 et 76 ont un carré qui se termine par les mêmes deux nombres.

123476² = 15 246 322 576

Cubes

*      Les nombres terminés par 00, 01, 24, 25, 49, 51, 75, 76 et 99 ont un cube qui se termine par les mêmes deux nombres.

1234763 = 1 882 554 926 394 176

 

Voir Unités et dizaines des carrés et des cubes

 

 

Puissances 4 (bicarrés)

*      Les nombres terminés par 00, 01, 25 et 76 ont une puissance 4 qui se termine par les mêmes deux nombres.

1234764 = 232 450 352 091 447 275 776

 

Puissances 5

*      Les nombres terminés par 00, 01, 07, 24, 25, 32, 43, 49, 51, 57, 68, 75, 76, 93 et 99 ont une puissance 5 qui se termine par les mêmes deux nombres.

1234765 = 28 702 039 674 843 543 823 717 376

 

Puissances 6

*      Les nombres terminés par 00, 01, 16, 21, 25, 36, 41, 56, 61, 76, 81 et 96 ont une puissance 6 qui se termine par les mêmes deux nombres.

1234766 = 3 544 013 050 890 981 417 177 326 718 976

 

Puissances 7

*      Les nombres terminés par 00, 01, 24, 25, 49, 51, 75, 76 et 99 ont une puissance 7 qui se termine par les mêmes deux nombres.

1234767 = 437 600 555 471 814 821 467 387 593 952 280 576

 

Puissances 8

*      Les nombres terminés par 00, 01, 25 et 76 ont une puissance 8 qui se termine par les mêmes deux nombres.

1234768 = 54 033 166 187 437 806 895 507 150 550 851 796 402 176

 

Puissances 9

*      Les nombres terminés par 00, 01, 07, 24, 25, 32, 43, 49, 51, 57, 68, 75, 76, 93 et 99 ont une puissance 9 qui se termine par les mêmes deux nombres.

1234769 = 6 671 799 228 160 070 644 229 640 921 416 976 412 555 083 776

 

Puissances 10

*      Les nombres terminés par 00, 01, 25 et 76 ont une puissance 10 qui se termine par les mêmes deux nombres.

127610 = 11 442 126 473 468 869 172 941 082 853 376

 

Ces nombres font partie de la catégorie des automorphiques.

 

 

 

Bilan sur les terminaisons "du"

 

*      Sur la base de l'exploration ci-dessus – nombre et leurs puissances ayant mêmes chiffres des dizaines et des unités – le tableau suivant résume toutes les possibilités prises par "du"  de 2 à 99 pour toutes les puissances k de 2 à 20.

*      Exemples de lecture:

*           Colonne du "2": tous les nombres qui ont même "du" que leur carré sont ceux se terminant par 25 ou 76, comme 176² = 30 976.

*           Ligne du "07": seules les puissances 5, 9, 13 et 17 donnent des nombres de mêmes "du", comme 1075 =  14 025 517 307.

*           Rappel: ne sont pas mentionnés les terminaisons pas 00 et 01 qui donnent toujours 00 et 01 pour toutes les puissances, comme 1015 = 10 510 100 501.

 

 

*      Deux lignes spéciales!

*           Celles du "25": toutes les puissances des nombres en 25 se terminent en 25;

*           Celles du "76": toutes les puissances des nombres en 76 se terminent en 76;

*      Quatre lignes à noter: 24, 49, 51 et 99

*           Toutes les puissances impaires des nombres en 24, 49, 51 et 99 se terminent par 24, 49, 51 et 99 respectivement.

*      Par contre la colonne "11", pratiquement toujours remplies de "oui", indique qu'une grande majorité des puissances 11 se terminent par le même "du", comme 18911 = 10 992 079 124 206 967 022 251 589

*      Quant aux puissances paires, sauf 6 et 16, les seuls cas de mêmes "du" ne se produisent qu'avec des nombres en 25 et 76.

 

 

 

 

 

 

Suite

*      Centaines

*      Crises de la dizaine (âges)

*      Unité des puissances

*      Nombres automorphiques

*      Terminaisons des produits

*      Une belle application de ces propriétés

DicoNombre

*      Nombre 1

*      Nombre 25

*      Nombre 76

*      Nombre 100

Voir

*      Addition - Glossaire

*      Addition - Initiation

*      Puissances

*      Unités des produits

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