NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 10/09/2016

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

  Calculs avancés

 

Débutants

Multiplication

MULTIPLICATION

 

Glossaire

Multiplication

 

 

INDEX

 

Calcul

TABLES

Tables vues autrement

Terminaisons

Calcul autour de 10

Calcul deux chiffres

Abaque / Boulier

Musulmane et...

Védiques

Avec les doigts

Décimales

Produits

 

 

Sommaire de cette page

>>> Tableau initial

>>>  Recherches

>>>  Se terminent par 2 chiffres

>>>  Se terminent par 2 chiffres identiques

>>>  Se terminent par 3 chiffres identiques et +

 

 

 

 

 

 

Terminaisons des PRODUITS

 

Deux nombres se terminant par une valeur donnée.

Multipliez ces deux nombres.

Cherchez ceux qui se terminent de la même manière.

 

Exemple de curiosité (ces nombres sont rares)

 

 

 

TABLEAU INITIAL

 Observations

 

 

 

Table des premières valeurs

A et B se terminent de la même manière.

Est-il possible de prédire la terminaison de leur produit ?

Oui, dans les cas où, le nombre est terminé par les chiffres suivants:

 

 

 

 

 

 

RECHERCHES

 

Unités

 

Tableau =>

 

 

Dizaines

 

La première condition est que les unités se terminent de la même manière; soit:

0 , 1, 5, 6

 

Le cas 0 est assez trivial (banal); on laisse tomber.

10 x 100 = 1 000

 

On explore les 3 cas qui restent.

 

Principe de l'exploration 

Exemple ci-dessous avec 25

 

Deux nombres

qui se terminent par 25

A = 100a + 25

B = 100b + 25

A = 125 = 100x1 + 25

B = 725 = 100x7 + 25

Leur produit

A.B

= (100a + 25)( 100b + 25)

= 10 000ab + 2 500(a+b) + 625

A.B

= 70 000 + 2 500 x 8 + 625

= 90 625

on note que

10 000ab aura toujours 4 zéros

2 500(a+b) aura toujours 2 zéros

70 000

+ 20 000

+ 00 625

Les deux chiffres

restants  sont ceux de 

625

soit 25

= 90 625

 

 

Le produit de deux nombres terminés par 25 se termine par 25.

 

Note: le produit se termine par 625 si l'unité de 5(a + b) est égale à 0
(en gros une fois sur deux).

 

 

 

Se terminent par 2 chiffres

 

On cherche une terminaison k à 2 chiffres et se terminant par 1 telle que =>

 

...k x …k  = …k

2 nombres se terminant

par k (à 2 chiffres):

Ak = 100A + k

Bk = 100B + k

121

421

Leur produit:

Hors k², il se termine par 2 zéros.

En ajoutant k²,

Il se termine par les deux derniers chiffres de k².

Ak . Bk

= (100A + k)(100B + k)

= 10 000 AB

+ 100k (A+B)

+

121 x 421

= 10000(1 x 4)

+ 100 x 21 (1 + 4)

+ 21²

= 40 000

+ 10 500

+ 441

= 50 941

Le produit de 2 nombres se terminant par k à 2 chiffres

se termine par les 2 derniers chiffres de

Généralisation

Deux nombres se terminant

par k (à 3 chiffres):

Ak = 1000A + k

Bk = 1000B + k

1234

5234

Leur produit:

Hors k², il y 3 zéros.

Ak . Bk

= (1000A + k)(1000B + k)

= 1 000 000 AB

+ 1 000k (A+B)

+

234² = 54 756

 

1234 x 5234

= 6 458 756

 

Le produit de 2 nombres se terminant par k à 3 chiffres

se termine par les 3 derniers chiffres de

 

Le produit de 2 nombres se terminant par k à n chiffres

se termine par les n derniers chiffres de

 

Le produit de Q nombres se terminant par k à n chiffres

se termine par les n derniers chiffres de kQ

 

 

Exemples

Voir Multiplications

 

 

Se terminent par 2 chiffres identiques

 

On dispose déjà de deux règles

 

Explorons:

 

 

Le chiffre des unités doit être: 1, 5 ou 6;

Les deux chiffres sont les deux derniers du carré.

 

Avec 1

 

Avec 5

 

Avec 6

Le produit de deux nombres terminés par 25 se termine par 25

Le produit de deux nombres terminés par 76 se termine par 76

Et ce sont les deux seuls cas

 

 

 

Se terminent par 3 chiffres identiques et plus

 

Le choix est limité car il faut que les deux derniers chiffres soient identiques.

Soit : 25 ou 76.

 

 

Les deux seules solutions

En fait, ces deux terminaisons donnent chacune un filon. Q est la quantité de chiffres.

 

25

Avec n chiffres, les seules solutions

 

 

76

Avec n chiffres, les seules solutions

 

Les mêmes avec calcul sur 100 chiffres

 

Ces deux nombres N et M, au carré, se terminent par eux-mêmes.

C'est le cas aussi pour tous les nombres formés à partir de ceux-ci en les tronquant à gauche, jusqu'aux minimums que sont 5 et 6.

 

 

 

 

 

Même type de sujets en

*    Nombres automorphiques

*    Terminaison des puissances

*    Terminaisons dizaines et unités

*    Nombres plaqués

*    Unités

Voir

*    Barre magique des nombres premiers

*    Base décimale

*    Calcul des carrés

*    Calcul mental

*    Calcul védique

*    FAQ – Multiplications

*    Initiation aux opérations

*    Jeux

*    Multiplication

*    MultiplicationGlossaire

*    Multiplication des décimaux

*    Multiplications amusantes

*    Multiplications magiques

*    Multiplications pannumériques

*    PreuveGlossaire

*    Puissance de 10

*    PuissancesIndex

*    Tables de multiplication

*    Théorie des nombres

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Calcul/MultiUni.htm