NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Tables de multiplication et les unités

>>> Tableau initial des terminaisons identiques

>>>  Recherches

>>>  Se terminent par 2 chiffres

>>>  Se terminent par 2 chiffres identiques

>>>  Se terminent par 3 chiffres identiques et +

 

 

 

 

 

 

Terminaisons des PRODUITS

 

1) On s'intéresse d'abord aux unités de la table multiplication et de leur arrangement sur le clavier de l'ordinateur.

 

2) Deux nombres se terminant par une valeur donnée.
Multipliez ces deux nombres.
Cherchez ceux qui se terminent de la même manière.

 

Exemple de curiosité (ces nombres sont rares)

 

 

 

 

Tables de multiplication et les unités

 

Unités des produits de la table de multiplication jusqu'à 12

 

Position des unités successives sur le clavier pour les tables du 2, du 3 et du 7

Voir Table du 7 / Unités des puissances

 

 

 

TABLEAU INITIAL des terminaisons identiques

 Observations

 

 

 

Table des premières valeurs

A et B se terminent de la même manière.

Est-il possible de prédire la terminaison de leur produit ?

Oui, dans les cas où, le nombre est terminé par les chiffres suivants:

 

 

 

 

 

 

RECHERCHES

 

Unités

 

Tableau =>

 

 

Dizaines

 

La première condition est que les unités se terminent de la même manière; soit:

0 , 1, 5, 6

 

Le cas 0 est assez trivial (banal); on laisse tomber.

10 x 100 = 1 000

 

On explore les 3 cas qui restent.

 

Principe de l'exploration 

Exemple ci-dessous avec 25

 

Deux nombres

qui se terminent par 25

A = 100a + 25

B = 100b + 25

A = 125 = 100x1 + 25

B = 725 = 100x7 + 25

Leur produit

A.B

= (100a + 25)( 100b + 25)

= 10 000ab + 2 500(a+b) + 625

A.B

= 70 000 + 2 500 x 8 + 625

= 90 625

on note que

10 000ab aura toujours 4 zéros

2 500(a+b) aura toujours 2 zéros

70 000

+ 20 000

+ 00 625

Les deux chiffres

restants  sont ceux de 

625

soit 25

= 90 625

 

 

Le produit de deux nombres terminés par 25 se termine par 25.

 

Note: le produit se termine par 625 si l'unité de 5(a + b) est égale à 0
(en gros une fois sur deux).

 

 

 

Se terminent par 2 chiffres

 

On cherche une terminaison k à 2 chiffres et se terminant par 1 telle que =>

 

...k x …k  = …k

2 nombres se terminant

par k (à 2 chiffres):

Ak = 100A + k

Bk = 100B + k

121

421

Leur produit:

Hors k², il se termine par 2 zéros.

En ajoutant k²,

Il se termine par les deux derniers chiffres de k².

Ak . Bk

= (100A + k)(100B + k)

= 10 000 AB

+ 100k (A+B)

+

121 x 421

= 10000(1 x 4)

+ 100 x 21 (1 + 4)

+ 21²

= 40 000

+ 10 500

+ 441

= 50 941

Le produit de 2 nombres se terminant par k à 2 chiffres

se termine par les 2 derniers chiffres de

Généralisation

Deux nombres se terminant

par k (à 3 chiffres):

Ak = 1000A + k

Bk = 1000B + k

1234

5234

Leur produit:

Hors k², il y 3 zéros.

Ak . Bk

= (1000A + k)(1000B + k)

= 1 000 000 AB

+ 1 000k (A+B)

+

234² = 54 756

 

1234 x 5234

= 6 458 756

 

Le produit de 2 nombres se terminant par k à 3 chiffres

se termine par les 3 derniers chiffres de

 

Le produit de 2 nombres se terminant par k à n chiffres

se termine par les n derniers chiffres de

 

Le produit de Q nombres se terminant par k à n chiffres

se termine par les n derniers chiffres de kQ

 

 

Exemples

Voir Multiplications

 

 

Se terminent par 2 chiffres identiques

 

On dispose déjà de deux règles

 

Explorons:

 

 

Le chiffre des unités doit être: 1, 5 ou 6;

Les deux chiffres sont les deux derniers du carré.

 

Avec 1

 

Avec 5

 

Avec 6

Le produit de deux nombres terminés par 25 se termine par 25

Le produit de deux nombres terminés par 76 se termine par 76

Et ce sont les deux seuls cas

 

 

 

Se terminent par 3 chiffres identiques et plus

 

Le choix est limité car il faut que les deux derniers chiffres soient identiques.

Soit : 25 ou 76.

 

 

Les deux seules solutions

En fait, ces deux terminaisons donnent chacune un filon. Q est la quantité de chiffres.

 

25

Avec n chiffres, les seules solutions

 

 

76

Avec n chiffres, les seules solutions

 

Les mêmes avec calcul sur 100 chiffres

 

Ces deux nombres N et M, au carré, se terminent par eux-mêmes.

C'est le cas aussi pour tous les nombres formés à partir de ceux-ci en les tronquant à gauche, jusqu'aux minimums que sont 5 et 6.

 

 

 

 

 

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