NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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FORMES des nombres

 

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Général

NOMBRES AUTOMORPHIQUES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Formes des nombres

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Démonstration

>>> Automorphiques généralisés

>>> Trimorphiques

 

 

 

NOMBRES AUTOMORPHIQUES

 

Motif qui se répète dans le carré.

Exemple: 25² = 625

 

Nombres N tels que: N² – N  = N (N – 1) = 10k x M

Exemple: 25² – 25 = 25 x 24 = 600

 

 

 

Approche

 

*    Le carré se termine par le nombre lui-même.

*    Les deux seuls nombres automorphiques inférieurs à 100.

 

 

       25²   =                    625

       76²   =                 5 776

 

90 625²   = 8 212 890 625

Voir Nombres plaqués /   Nombre 25 / Nombre 76

 

 

 

Construction pour deux chiffres

 

*    Si le produit d'un nombre avec son voisin est un multiple de 100, lui ajouter ce nombre.

 

 

n (n – 1) = 100k

100k + n

et n (n – 1) – n = n²

76 x 75 = 5700

      + 76 = 5776

et     76² = 5776

 

 

Les automorphiques à 2, 3 ou 4 chiffres – Démonstration

 

Deux chiffres pour a

a² - a doit se terminer par 00  (Ex: 625 – 25 = 600).

a (a – 1) est divisible par 100 = 4 x 25.

Un des facteurs est multiple de 4 et l'autre de 25.

*    Si a  = 25k, alors a – 1 = 25k – 1 = 4h; seule possibilité pour k = 1.

Une des solutions est: a = 25 et a² = 625.

*    Si a – 1  = 25k, alors a = 25k + 1 = 4h; seule possibilité pour k = 3

L'autre solution est: a = 75 + 1 = 76 et a² = 5 776

 

Trois chiffres pour a

a (a – 1) est divisible par 1000 =  8 x 125.

*    Si a = 125k, alors a – 1 = 125k – 1 = 8 x 15k + (5k – 1) = 8h. Il faut que 8 divise 5k – 1. Seule possibilité avec k = 5. et a = 625.

*    Si a – 1 = 125k, alors a = 125k + 1= 8 x 15k + (5k + 1) = 8h. Seule possibilité k = 3 et a = 376.

 

Quatre chiffres pour a

a (a – 1) est divisible par 10 000 =  16 x 625.

*    Si a = 625k, alors a – 1 = 625k  - 1  = 624k + (k – 1) = 16h. k = 17  et a = 10 625 qui a plus de quatre chiffres

*    Si a – 1 = 625 k, alors a = 625k + 1 = 624k + (k + 1) = 16h. k = 16 et a  = 9 376, la seule solution.

 

 

 

 

Nombres automorphiquesGénéralisation

 

Définition

 

 

Un nombre n,
tel que les derniers chiffres de a.n2
sont identiques à n,
est automorphique d'ordre égal à a.

 

 

Ex: 88² x 2 = 15 488

 

 

Ordre 1

N

N² avec 5

N² avec 6

5

25

 

6

 

36

25

625

 

76

 

5 776

376

 

141 376

625

390 625

 

9 376

 

87 909 376

90 625

8 212 890 625

 

 

Ordre a

a

N

a.N²

1

8

128

2

88

15 488

3

6 666 666 667

133 333 333 346 666 666 667

5

3 642 578 125

66 341 876 983 642 578 125

9

8 888 888 889

711 111 111 128 888 888 889

 

 

 

 

 

NOMBRES TRIMORPHIQUES

 

 

 

 

Définition

 

Un nombre n tel que
les derniers chiffres de n3
sont identiques à n
est trimorphique.

 

Exemples

N

N3

1

4

5

6

9

24

25

49

51

75

76

99

125

249

251

375

376

499

1

64

125

216

729

13 824

15 625

117 649

132 651

421 875

438 976

970 299

1 953 125

15 438 249

15 813 251

52 734 375

53 157 376

124 251 499

 

 

 

 

Nombre tri-automorphique (suite)

 

*    On retrouve le nombre initial en fin de 3n²
Il en existe 3 pour les nombres à 4 chiffres.

 

N

3N²

6 667

44 448 889

133 346 667

6 875

47 265 625

141 796 875

9 792

95 883 264

287 649 792

 

*    D'une manière générale, il y en a 3 pour tous les nombres à n chiffres.

 

6666666667

44444444448888888889

133333333346666666667

7262369792

52742014995754123264

158226044987262369792

9404296875

88440799713134765625

265322399139404296875


 

 

 

 

Suite

*       Nombres plaqués

Répétition des chiffres dans les puissances

*       Dizaine et unité des nombres et leurs puissances

Même type de sujets en

*    Terminaison des produits

*    Terminaison des puissances

Voir

*       Facteurs sans zéro

*       Motifs

*       Nombre 6 667

*       Palindromes

*       Pannumériques

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