NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES

 

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Nombres

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Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Motifs

 

Types de nombres

 

Uniformes

Ondulants

Répétitions

Formes diverses

Croissants

Ascendants

Zébrés

Zigzag

Orphelins

 

Sommaire de cette page

>>> Approche: nombres et leurs antécédents

>>> Orphelins à trois chiffres

>>> Deux chiffres

>>> Quatre chiffres

>>> Programmation

 

 

 

 

NOMBRES ORPHELINS

ou avec antécédents

 

Définition: On nomme antécédent (soustractif) d'un nombre, un nombre tel que les différences absolues des chiffres consécutifs de celui-ci produisent le nombre.
Sans antécédent, un nombre est dit orphelin.

 

Exemple

3 – 2 = 1

3 – 1 = 2

4 – 1 = 3

Chaque chiffre du fils est la différence des deux du dessus du père.

 

 

Anglais: numbers such that no digit is exceeded by the digit to its left

 

 

Approche: nombres et leurs antécédents

Exemple 123

Le nombre 123 possède 46 "pères" ou antécédents, y compris deux commençant par un 0.

 

Par exemple 5425 devient:

*    5 – 4 = 1

*    4 – 2 = 2

*    5 – 2 = 3

 

 

 

 

123, 0130

123, 0136

123, 1025

123, 1203

123, 1241

123, 1247

123, 2130

123, 2136

123, 2314

123, 2352

123, 2358

123, 3203

123, 3241

123, 3247

123, 3425

123, 3463

 

123, 3469

123, 4314

123, 4352

123, 4358

123, 4530

123, 4536

123, 4574

123, 5425

123, 5463

123, 5469

123, 5641

123, 5647

123, 5685

123, 6530

123, 6536

123, 6574

123, 6752

123, 6758

123, 6796

123, 7641

123, 7647

123, 7685

123, 7863

123, 7869

123, 8752

123, 8758

123, 8796

123, 8974

123, 9863

123, 9869

 

Quantité d'antécédents pour les nombres de 100 à 125.

C'est le nombre 111 qui tient le record jusqu'à 1000 avec 64 ascendants.

 

 

[100, 18], [101, 34], [102, 30], [103, 26], [104, 22], [105, 18], [106, 14], [107, 10], [108, 6], [109, 2], [110, 34], [111, 64], [112, 58], [113, 50], [114, 42], [115, 34], [116, 26], [117, 18], [118, 10], [119, 4], [120, 30], [121, 56], [122, 52], [123, 46], [124, 38], [125, 30]

Antécédents de 111

Ce sont les 64 nombres à trois quatre chiffres dont chaque chiffres et égal à son voisin à un près.

Dont trois avec un 0 en tête.

 

Le nombre 11 possède 34 antécédents.

0101

0121

0123

1010

1012

1210

1212

1232

1234

2101

2121

2123

2321

2323

2343

2345

3210

3212

3232

3234

3432

3434

3454

3456

4321

4323

4343

4345

4543

4545

4565

4567

5432

5434

5454

5456

5654

5656

5676

5678

6543

6545

6565

6567

6765

6767

6787

6789

7654

7656

7676

7678

7876

7878

7898

8765

8767

8787

8789

8987

8989

9876

9878

9898

 

 

Orphelins à trois chiffres

Autant pour certains nombres, il existe de multiples antécédents, autant il existe quantité d'orphelins.

Le plus petit est le nombre 648, suivi de 649.

Le nombre 109 n'a que deux antécédents.

 

Liste 47 des orphelins à trois chiffres

648, 649, 659, 737, 738, 739, 747, 748, 749, 758, 759, 769, 828, 829, 837, 838, 839, 846, 847, 848, 849, 857, 858, 859, 868, 869, 879, 919, 928, 929, 937, 938, 939, 946, 947, 948, 949, 956, 957, 958, 959, 967, 968, 969, 978, 979, 989, …

 

Notez que le retourné d'un orphelin est aussi un orphelin (648 et 846).

 

Inversement: tout nombre supérieur à 9 possède un fils formé par la concaténation des différences absolues entre ses chiffres consécutifs.

Tout père à un fils: tout nombre à un successeur.

Un fils peut avoir aucun père (orphelin) ou de multiples pères (antécédents).

 

 

Exemples

Père

Fils

10

1

123456

11111

956

41

999

0

 

Voir Brève 592

 

 

 

Nombres inférieurs à 100

Pour les nombres n de 0 à 9

Antécédents avec les nombres à deux chiffres distants de n. Exemple pour 5, on a: 16, 27, …72, 61 …

 

Pour les nombres n à deux chiffres, les antécédents sont nombreux.

Ils sont 18 pour le nombre 10 et 34 pour le nombre 11, le record pour deux chiffres.

 

Antécédents de 10:  100, 122, 211, 233, …877, 899, 988.

 

Antécédents de 11:  101, 121, 123, 210 …898, 987, 989.

 

Nombres supérieur à 1000

 

Nombres à quatre chiffres.

Record d'antécédents pour 1111.

Minimum de deux antécédents pour 1009.

Plus petit orphelin à quatre chiffres pour 1648.

 

 

18 antécédents de 1000:  10000, 12222, 21111, 23333 … 87777, 89999, 98888.

 

122 antécédents de 1000:  10101, 10121, 10123, … 45678, 54321 … 76543,  98789, 98987, 98989.

Construction des orphelins

 

Si n est un nombre orphelin, alors tous les nombres qui commencent ou finissent par ce nombre sont orphelins.

De même que tous ceux obtenus par insertion de 0.

 

Voir Table des nombres orphelins jusqu'à 10 000

 

 

Programmation Maple

 

Principe

La recherche des nombres orphelins se prête à un exercice de programmation où l'utilisation astucieuse des ressources d'un logiciel permet de raccourcir grandement le programme.

Mais, cela nécessite une explication pas à pas de l'effet de ces instructions.

 

 

Tableau de recherche des antécédents de 648

 

 

 

Algorithme de recherche: exemple avec 648

En fait, on va chercher la possibilité d'un antécédent.

Avec le chiffre 8, pour tous les nombres de 1 à 9, il faut chercher les possibilités d'avoir un chiffre antécédent éloigné de 8. Objet des lignes sous C = 8 dans le tableau. En éliminant tous ceux qui sortent de la fenêtre de 0 à 9, il ne reste que 0, 1 et 9.

Avec le chiffre 4, il faut chercher les possibilités avec les chiffres qui restent possibles (0, 1 et 9) et une distance de 4. Seul 4 et 5 subsistent.

Avec le chiffre 6, il faut une distance 6 et, les nouveaux nombres possibles sortent de la zone 0 à 9.

Bilan: il n'y pas de possibilité d'antécédent pour 648.

  

 

Création de la liste initiale des chiffres possibles

 

Le symbole $1..9 crée la suite des nombres de 1 à 9.

Les accolades créent un ensemble, qui est une liste sans répétition.

Création de la première sélection avec 8

 

Cette instruction (map) demande que l'opération indiquée soit exécuté sur tous les éléments de l'ensemble t.

L'opération est double: soustraire 8 et ajoutez 8 à chacun des éléments.

 

Conservation des nombres dans le bon intervalle

 

Extraction des nombres dans la fourchette (0, 9) avec select.

D'abord la condition de tri (n entre 0 et 9 compris), puis l'opération map vue ci-dessus.

 

Programme complet

 

La recherche des antécédents fait l'objet d'une procédure (orph).

Le nombre n est converti en base 10 de manière à disposer des chiffres isolés dans la liste L.

Création de l'ensemble initial des chiffres en t.

Boucle pour analyser les chiffres successifs de n.

Opération de recherche telle qu'expliquée ci-dessus.

Si l'ensemble final est vide, comme pour 648, retourner la variable vraie (true).

 

Le programme principal utilise à nouveau l'instruction selet  pour ne garder, parmi les nombres de 100 à 800, que ceux pour lesquels orph est vraie.

Voir ProgrammationIndex

Programme original de Robert Israel (OEIS A271639)

 

 

 

Suite

*         Table des nombres orphelins jusqu'à 10 000

*         Nombres croissants et décroissants – TABLES

*         Nombres consécutifsIndex

*         Nombres uniformes ou repdigits

*         Nombres repunits

Voir

*         Type de nombresIndex

*         Multiplications pyramidales

*         Nombres méandriques

*         Nombres retournés

*         Nombres retournés avec soustraction de 99

*         Nombres palindromes

DicoNombre

*         Nombre   648

*         Nombre 1 648

Site

*         OEIS A271639 – Orphans: integers without ancestors

*         OEIS A040115 – Concatenate absolute values of differences between adjacent digits of n

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http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/MOTIF/Orphelin.htm