NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES

 

Débutants

Nombres

En motifs

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Types de nombres

 

Uniformes

Ondulants

Répétitions

Formes diverses

Zébrés

Zigzag

Croissants

 

Sommaire de cette page

>>> Croissants et décroissants

>>> Motifs surprenants

>>> Approche

>>> Explications et démonstration

>>> Bilan

>>> Motifs permutés

>>> Divisibilité des nombres croissants ou décroissants

 

 

 

 

NOMBRES CROISSANTS

 

Définition: Nombres dont les chiffres successifs vont en croissant: le suivant à droite est strictement plus grand que le précédent.

 

Propriété: En multipliant un nombre croissant par 9, on obtient un produit dont la somme des chiffres est strictement 9.

Oui! Même avec ce grand nombre:

Anglais: numbers such that no digit is exceeded by the digit to its left

 

 

Croissants et décroissants

Croissants ou décroissants, ils sont en nombre infini. La logique de construction est évidente (indiquée en rouge).

Tous les chiffres sont différents et chacun plus grand strictement que le précédent (ou plus petit).

Croissants

12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 45, 46, 47, 48, 49, 56, 57, 58, 59, 67, 68, 69, 78, 79, 89, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 145, 146, 147, 148, 149, 156, 157, 158, 159, 167, 168, 169, 178, 179, 189, 234, 235, 236, …

Décroissants

10, 20, 21, 30, 31, 32, 40, 41, 42, 43, 50, 51, 52, 53, 54, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 210, 310, 320, 321, 410, 420, 421, 430, 431, 432, 510, 520, 521, 530, 531, 532, 540, 541, 542, 543, 610, …

En base 3: 5.

En base 5: 7, 8, 9, 13, 14, 19, 38, 39, 44, 69, 194, …

 

En base 3: 6, 7, 21.

En base 5:  10, 11, 15, 16, 17, 20, 21, 22, 23, 55, 80, 85, 86, 105, 110, 111, 115, 116, 117, 430, 555, 580, 585, 586, …

 

 

 

 

Motifs surprenants

 

 

 

Le pannumérique croissant (123 456 789), multiplié par 9, donne un produit comportant neuf 1, soit une somme égale à 9.

Tronqué par la droite, mais restant croissant, et multiplié par 9, la somme des chiffres reste égale à 9.

La somme des chiffres reste égale à 9 même si on tronque par la gauche ou par les deux bouts ou par le centre; pourvu que le nombre reste croissant.

 

 

Tronqué par la droite

 

 

 

Tronqué par la gauche

Tronqué par les deux bouts ou par le centre

Voir Pépites numériques

 

Approche

 

La table de multiplication du 9 est simple.

Elle peut se résumer à une soustraction:

 

8 x 9 = 80 – 8 = 72

 

On sait aussi que la somme des chiffres est égale à 9.

D'ailleurs, pour tous les multiples de 9, la somme des chiffres est égale à 9 ou un multiple de 9. C'est d'ailleurs la base de la preuve par neuf.

 

Oui, mais avec des nombres plus grands, on devrait avoir 18, 27 …

Sur cette table de multiplication par 9 des nombres à deux chiffres, on a coloré en jaune les nombres dont la somme des chiffres est exactement 9; les autres sommant en 18.

Outre la première ligne avec unité nulle, on remarque qu'il s'agit de tous les nombres dont le chiffre des unités est plus grand que celui des dizaines: nombres croissants.

 

Explications et démonstration

 

Observations

Si la propriété est intrigante, le pot-aux-roses est vite trouvé.

On a vu que multiplier par 9 revient à multiplier par 10 et à retrancher le nombre.

Or, en multipliant par 10, on décale tous les nombres d'un cran vers la gauche.

En faisant la soustraction 10N – N, les chiffres en haut et en bas sont les mêmes, mais décalé d'un cran. Ceux du haut étant plus grands que ceux du bas puisqu'il s'agit de nombres croissants

Si bien que pour tous les nombres sauf celui des unités, la différence ne produit pas de retenue.

 

 

Formalisation

 

Prenons le cas d'un nombre à quatre chiffres; il sera évident de prolonger à neuf chiffres; le plus grand nombre croissant étant 123 456 789.

Avec la notation des chiffres, on calcule chaque chiffre du résultat en tenant compte de la seule retenue pour les unités.

La somme de ces chiffres est réduite à l'effet des retenues (10 – 1), les autres chiffres s'annulent.

 

 

La somme des chiffres du produit est égale à 9.

 

Bilan

 

La somme des chiffres d'un nombre croissant multiplié par 9 est strictement égale à 9.

 

Les nombres croissants sont en nombre limités.

Il y en a 511 de 1 à 123 456 789 dont 9 triviaux.

Exemple de dénombrement pour deux chiffres:

1 avec 2,3,4,5,6,7,8,9 => 8 cas

2 avec    3,4,5,6,7,8,9 => 7 cas

8 avec                     9 => 1 cas

Q2 = Somme de 1 à 8

= 8 x 9 / 2 = 36

 

Avec trois chiffres, on trouverait que:

Q3 = somme de 1 à 8 plus somme de 1 à 7 plus … plus 1,

soit 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 84.

En termes de combinaisons: choix de 3 parmi 9

Anglais: How many k digit numbers have their digits in increasing order?

How many k-digit numbers with strictly increasing digits do exist?

 

Motifs permutés

On prend le plus petit nombre croissant et le plus grand; leur multiplication par 9 produit deux nombres, l'un étant le permuté de l'autre.

 

12 x 9 = 108 

89 x 9 = 801

 

123 x 9 = 1 107

789 x 9 = 7 101

 

12345 x 9 = 111 105

56789 x 9 = 511 101

 

12345678 x 9 = 111 111 102

23456789 x 9 = 211 111 101

 

Les chiffres de l'un sont les compléments à 10 des symétriques de l'autre.

 

Soit, le calcul indiqué dans ce tableau, avec exemple numérique en colonne de droite.

 

 

Divisibilité des nombres croissants ou décroissants

 

Nombres dont les chiffres se suivent et qui sont divisibles par 2, 3, 5, …

Comme 98 = 7 x 14

Testé jusqu'à un million.

 

2

3

5

7

11

32

34

54

56

76

78

98

210

234

432

456

654

678

876

1234

3210

3456

5432

5678

7654

9876

23456

43210

45678

65432

87654

123456

345678

543210

765432

987654

45

54

78

87

123

210

234

321

345

432

456

543

567

654

678

765

789

876

987

3210

3456

6543

6789

9876

12345

45678

54321

87654

123456

234567

345678

456789

543210

654321

765432

876543

987654

65

210

345

2345

3210

8765

12345

43210

98765

543210

98

210

567

987

2345

5432

87654

3456789

/

 

Note

9 867

en est

proche.

13

17

19

234

34567

8765432

765

5678

345678

456

54321

543210

7654321

23

29

31

345

45678

2345678

4321

43210

6789

37

41

43

/

/

7654

456789

47

53

59

987

12345678

/

/

Voir Barre magique des nombres premiers / Nombres pannumériques

 

 

Suite

*         Nombres consécutifsIndex

*         Nombres uniformes ou repdigits

*         Nombres repunits

Voir

*         Type de nombresIndex

*         Multiplications pyramidales

*         Nombres méandriques

*         Nombres retournés

*         Nombres retournés avec soustraction de 99

*         Nombres palindromes

DicoNombre

*         Nombre 511

*         Nombre 1 111 111 101 = 9 x 123 456 789

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