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Édition du: 03/12/2021

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Brèves de Maths

 

INDEX

 

Divisibilité

Types de nombres

Décomposition

Types de Nombres – Division

Harshad

Nombres nus

Insolites

Divise-Chiffres

Fourchette

Divisibilité de 2 à 18

Divisibles par a et b

 

 

NOMBRES semi-uniformes

divisibles pas leurs chiffres

 

Sur une idée de E.  Dudeney, on cherche les nombres formés de deux chiffres a et b (nombres semi-uniformes) et divisibles par ces deux nombres, la somme des chiffres étant, elle aussi, divisible par ces deux nombres.

Exemple

 

 

Sommaire

>>> Cas 23

>>> Cas 25

>>> Cas 27

 

 

>>> Cas 29

>>> Cas 35

>>> Cas 37

>>> Cas 39

 

>>> Cas 57

>>> Cas 59

>>> Cas 79

 

 

Débutants

Nombres

 

Glossaire

Nombres

 

Cas: a = 2 et b = 3

haut

 

Définition

On cherche les nombres formés uniquement des deux chiffres 2 et 3 et qui sont divisibles par 2 et 3, tout comme la somme de leurs chiffres.

Le nombre doit comporter au moins un exemplaire de chacun des deux chiffres.

 

 

 

Exemple

 

Conditions

Divisibilité par 2, le nombre doit être pair.

Divisibilités par 3, la somme des chiffres doit être divisible par 3.

 

Observations Tableau de droite

Le plus petit nombre divisible par 2 et par 3 est 2232: il est pair, et 2 + 2 + 3 + 2 = 9, divisible par 3.

Cependant la somme des chiffres (9) est bien divisible par 3 mais pas par 2. Il n'est pas recevable.

Le plus petit nombre recevable est 22332. Ils sont six avec permutations des chiffres.

 

Nombres en 2 et 3 divisibles par 2 et 3
jusqu'à 100 000

n

S

2232

 9

2322

 9

3222

 9

22332

 12

23232

 12

23322

 12

32232

 12

32322

 12

33222

 12

 

Critère

La somme des chiffres n'est divisible par 2 et 3 que si le nombre contient :

*    3 fois le chiffre 2 et

*    2 fois le chiffre 3.

 

 

Chiffres imposés pour une divisibilité par 2 et par 3

 

 

Liste de nombres semi-uniformes en 2 et 3, divisibles par 2 et 3 comme la somme de leurs chiffres.

 

Quantité de nombres, plus petit, suivant, suivant, … plus grand

   6, 22332, 23232, 23322, … 33222

 21, 22222332, 22223232, 22223322, … 33222222

 15, 2233332, 2323332, 2332332, … 3333222

126, 2222233332, 2222323332, 2222332332, … 3333222222

 

 

Recherche du plus petit

 

Voir Nombre 22 332

 

 

 

Le nombre doit être pair et donc avoir un "2" en unité.

Ensuite, pour le rendre le plus petit, les trois "3" seront placés le plus à droite possible pour "peser" le moins possible.

On sait qu'il faut trois "2 " et deux "3", le plus petit est donc:
22332

 

Cas: a = 2 et b = 5

haut

 

Ce cas est impossible

 

Pour être divisible par 2 et par 5, le nombre devrait être terminé par un "0".

 

 

Cas: a = 2 et b = 7

haut

 

Liste

 

Le plus petit contient deux "7 " et sept "2".

Il est terminé par un "2".

Les "7" sont le plus à droite possible.

 

 

Quantité de nombres, plus petit, suivant, suivant, et le plus grand

4, 222272722, 227722222, 272222272, 722272222

29, 22222727772, 22227777222, 22272277272, 77722272222

131, 2222277777272, 2222722777772, 2222772777722, 7777722272222

16, 2222222222222772, 2222222227272222, 2222222272222722, 7222227222222222

350, 222222222222772772, 222222222227277272, 222222222227727722, 777222227222222222

 

 

Cas: a = 2 et b = 9

haut

 

Liste

Toujours la même présentation.

Avec plusieurs configurations de a et b.

 

45, 22222222992, 22222229292, 22222229922, 99222222222

495, 2222222299992, 2222222929992, 2222222992992, 9999222222222

3003, 222222229999992, 222222292999992, 222222299299992, 999999222222222

171, 22222222222222222992, 22222222222222229292, 22222222222222229922, 99222222222222222222

 

 

 

Cas: a = 3 et b = 5

haut

 

Liste

 

 

21, 33333555, 33335355, 33335535, 55333335

252, 33333555555, 33335355555, 33335535555, 55555333335

66, 3333333333555, 3333333335355, 3333333335535, … 5533333333335

3003, 3333333333555555, 3333333335355555, 3333333335535555, 5555533333333335

 

 

Cas: a = 3 et b = 7 – Cas Dudeney

haut

 

Liste

Le plus petit a dix chiffres.

Et, ces nombres à dix chiffres sont 16 par permutations des chiffres.

 

 

16, 3333377733, 3333737337, 3333773373, 7733373333

239, 3333373777377, 3333377733777, 3333377777373, 7777733373333

100, 33333333333337737, 33333333333373773, 33333333333733377, 77333337333333333

5552, 33333333333337737777, 33333333333373773777, 33333333333377377377, 77777333337333333333

 

 

Problème original de Dudeney

 

536 Puzzles & Curious Problems Henry Ernest Dudeney – 1967

 

 

Voir Nombre 3 333 377 733

 

 

 

 

 

Cas: a = 3 et b = 9

haut

 

Liste

 

Cas particulier du fait qu'un nombre divisible par 9 l'est aussi par 3.

 

4, 3339, 3393, 3933, 9333

10, 33399, 33939, 33993, 99333
Tous: {33399, 33939, 33993, 39339, 39393, 39933, 93339, 93393, 93933, 99333}

 

7, 3333339, 3333393, 3333933, 9333333
Tous: {3333339, 3333393, 3333933, 3339333, 3393333, 3933333, 9333333}

10, 3333333339, 3333333393, 3333333933, 9333333333
Tous: {3333333339, 3333333393, 3333333933, 3333339333, 3333393333, 3333933333, 3339333333, 3393333333, 3933333333, 9333333333}

 

28, 33333399, 33333939, 33333993, 99333333

20, 333999, 339399, 339939, 999333

 

 

Cas: a = 5 et b = 7

haut

 

Liste

 

 

63, 555575777575, 555577755775, 555757557775, 777755575555

1139, 55555757777777775, 55555777777757775, 55557757775777775, 77777777755575555

1227, 5555555555557775775, 5555555555577557775, 5555555555577775755, 7777555557555555555

 

 

 

Cas: a = 5 et b = 9

haut

 

Liste

 

 

1287, 55555555999995, 55555559599995, 55555559959995, 99999555555555

43758, 5555555599999999995, 5555555959999999995, 5555555995999999995, 9999999999555555555

 

 

Cas: a = 7 et b = 9

haut

 

Liste

 

 

1622, 7777777799979999, 7777777979999979, 7777777997799999, 9999979777977777

   

 

 

 

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