NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 07/05/2006

 

 -Ý - Rubrique: Nombres HARSHAD

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Sommaire de cette page

 

>>> APPROCHE

>>> NOMBRES HARSHAD

>>> NOMBRE HARSHAD MORPHIQUE

 

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§         Théorie des nombres

§         Calcul mental

§         Géométrie

§         Type de nombres selon ses diviseurs

  

NOMBRES HARSHAD

ou

NOMBRES DE NIVEN

ou nombres multinumériques

 

Propriété des nombres face à

la somme de ses chiffres

 

18

Somme des chiffres: 1 + 8 = 9

18 est divisible par 9

 

Harshad 

Harshad = grande joie, en sanskrit

Nom donné par le mathématicien indien Kaprekar

 

Niven

  • Lors d'une conférence en 1977, Ivan Niven présente des nombres qui sont divisibles par 2 fois la somme de leurs chiffres
  • En 1982, en son honneur, Kennedy baptise les nombres divisible par la somme de leurs chiffres nombres de Niven

 

 

 

-Ý - APPROCHE

Qu'est-ce qu'un nombre de Harshad

 

Analysons la division des 100 premiers nombres (N)

par la somme des chiffres de chaque nombre (SC)

Exemple

N   = 12

SC = 1 + 2 = 3

N / SC = 12 / 3 = 4

 

Lorsque la division tombe juste, comme ici

N est un nombre de Harshad

 

Illustration

En bleu : la courbe donnant N / SC en fonction de N

En rouge : les nombres de Harshad

 

 

 

 

-Ý - NOMBRES HARSHAD

 

NOMBRES HARSHAD

ou nombres de Niven ou nombres multinumériques

 

Nombre

qui est divisible par

la somme de ses chiffres

 

Exemples

  •  Nombres

10

12

18

20

21

24

...
  • Somme des chiffres

1

3

9

2

3

6

 
  • Division

10

4

2

10

7

4

 

 

Liste des premiers nombres Harshad

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

18

20

21

24

27

30

36

40

42

...

 

Chaînes de Harshad consécutifs

 

510

511

512

513

 

1 014

1 015

1 016

1 017

 

2 022

2 023

2 024

2 025

 

3 030

3 031

3 032

3 033

 

 

La dernière chaîne de 5 Harshad consécutifs

 

131 052

131 053

131 054

131 055

131 056

 

 

  • On connaît une chaîne de 20 Harshad consécutifs
  • Les nombres ont 44 363 342 786 chiffres

 

Trous de Harshad

 17 nombres consécutifs non Harshad

558 - 576

666 - 684

736 - 756

846 - 864

972 - 990

 

 

Les années Harshad

1 998

2 000

2 001

2 004

2 007

 

 

 

Propriétés

 

  • Il n'existe pas de séquence de plus de 20 nombres Harshad consécutifs Grundman (1994)
  • La plus petite séquence de 20 nombres consécutifs contient des nombres à 44 363 342 786 chiffres
  • Seuls 1, 2, 4 et 6 sont Harshad dans toutes les bases de numération
  • Toutes factorielles sont nombre de Harshad

 

 

Recherche 

 

Nombre

Exemple

Règle
  • 101 : non

Nombre impair somme impaire

Aucun nombre impair n'est divisible par un pair
  • 109 : non

Somme 10

N'est divisible par 10 que si terminé par 0
  • 104 : non

Somme 5

N'est divisible par 5 que si terminé par 0 ou par 5
  • Etc.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-Ý - NOMBRE HARSHAD MORPHIQUE

 

Définition

Nombre

qui se termine par

la somme de ses chiffres

Sandro Boscaro

 

Exemple

912

9 + 1 + 2 = 12

912 = 12 x 76

 

 Premiers nombres Harshad morphiques

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

15

20

21

22

24

25

30

32

33

…

On admet la division par 0, dont le résultat est l'infini

 

Propriété

  • Il n'y a pas de nombre Harshad morphique terminé par 11 (sauf 11)

 

 

 

 

 

-Ý-

Voir

§         Nom des nombres