NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES

 

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Glossaire

Nombre

 

Glossaire

Chiffre

 

 

INDEX

 

Nombres à motif

Friedman

 Auto-nombres

Produits

 

Sommaire de cette page

>>> Auto-nombres

>>> Test de Kaprekar

>>> Table des nombres de 1 à 25

>>> Liste des auto-nombres

>>> Liste des NON auto-nombres

                             

 

 

 

 

 

AUTO-NOMBRES

ou Nombres colombiens

 

Nombres non-accessibles par un autre en lui ajoutant ses chiffres. Trouvés par Kaprekar en 1949.

Dans le cas contraire, comme 100, ces ont des nombres jonction (junction numbers).

 

Anglais: self number or Colombian number or Deviali number

 

 

AUTO-NOMBRES

 

15 = 12 + 1 + 2

 

Le nombre 15 est la somme de

*    un nombre (12),

*    plus la somme de ses chiffres (1 + 2).

Peu importe ce nombre,

Pourvu qu'il en existe un.

 

 

20 = ?

Impossible d'atteindre 20 pas ce même procédé.
Le nombre 20 est un auto-nombre.

 

Plusieurs fois

Le plus petit auto-nombre deux fois.

101 = 91 + 10

        = 100 + 1

Le plus petit trois fois est assez grand:

10 000 000 000 001 =   9 999 999 999 892 + 109

                                    =   9 999 999 999 901 + 100

                                    = 10 000 000 000 000 +     1

Le plus petit quatre fois:

1 000 000 000 000 000 000 000 102 avec {2, 11, 200 et 209}

 

Puissance de 10

Anecdote: Kaprekar signale que le millionnaire est un VIP car un million est la première puissance de 10 auto-nombre. La suivante est 1016.

 

 

Quantité

Infinie.

 

"Chiffre-addition"

 

(Anglais: Digitadition terme inventé par Kaprekar)

Nombre n additionné de la somme de ses chiffres.

d(12) = 12 + 1 + 2 = 14

d(123) = 123 + 1 + 2 + 3 = 129

 

Un auto-nombre est un nombre non atteint par une chiffre-addition.

 

Chiffre-addition

récurrente,

 

une manière de créer tous les autonombres

 

Le procédé de chiffre-addition peut être répété au nombre trouvé:

100, 101, 103, 107, 115, 122, 127, 137, 148, 161, 169, 185, 199, 218, 229, 242, 250, 257, 271, 281, 292 …

Suite en puissance de 2 qui avorte …

1, 2, 4, 8, 16, 23, 28, 38, 49, 62, 70, 77, 91, 101, 103, 107, 115, 122, 127, 137, 148

 

Nombres de 1 à 50

Les nombres en tête de colonne (bleus) engendrent tous les auto-nombres de la colonne. Ces nombres qui ne se retrouvent pas dans les colonnes des autres, qui n'ont pas de générateurs, sont auto-nombres.

 

 

Une formule

Cette formule de récurrence avec C1 = 9, produit certains autonombres.

C1 = 9

C2 = 8 x 102-1 + 9 + 8 = 97

 

 

Test de Kaprekar expliqué par l'exemple

 

Pour voir "en gros"

Visualisation du procédé pour donner un aperçu. Lisez sans trop chercher à comprendre.

Vous pourrez y revenir après avoir lu l'explication détaillée plus bas.

 

Explication détaillée sur un exemple

Nombre N à tester:

3 333 333 333

Somme des chiffres.

Renouvelée (comme pour la preuve par 9).

3 + 3 +…+ 3 = 10 x 3 = 30

3 + 0 = 3

Division par 2, avec addition préalable de 9 si impair.

(3 + 9) / 2 = 6

Soustraction de N.

3 333 333 333 – 6 = 3 333 333 327

Générateur de N.

3 + 3 + … + 7 = 24 + 9 = 33

3 333 333 327 + 33  3 333 333 333

On recommence en enlevant 9 autant de fois que de chiffres dans N.

 

La somme n'est jamais égale à N, alors N est un auto-nombre.

3 333 333 318 + 33 = 3 333 333 351

3 333 333 309 + 33 = 3 333 333 342

3 333 333 300 + 24 = 3 333 333 324

3 333 333 291 + 33 = 3 333 333 324

3 333 333 282 + 33 = 3 333 333 315

3 333 333 273 + 33 = 3 333 333 306

3 333 333 264 + 33 = 3 333 333 297

3 333 333 255 + 33 = 3 333 333 288

3 333 333 246 + 33 = 3 333 333 279

Prenons un nouveau nombre.

3 333 333 334

Somme chiffres:  31, puis 4

Division par 2 (pair) => 2

Soustraction avec 2.

Puis itérations avec -9.

 

La quatrième itération donne N, ce nombre n'est pas auto-nombre puisque cette dernière chiffre-addition donne N. Autrement-dit, N a un générateur.

3 333 333 332 + 31 = 3 333 333 362

3 333 333 323 + 29 = 3 333 333 352

3 333 333 314 + 29 = 3 333 333 343

3 333 333 305 + 29 = 3 333 333 334

D'après un exemple donné par Malcom E. Lines

 

 

 

Tables des nombres de 1 à 25

Nombre

Auto-nombre

Pas auto-nombre (jonction)

1

1

 

2

 

1 + 1

3

3

 

4

 

2 + 2

5

5

 

6

 

3 + 3

7

7

 

8

 

4 + 4

9

9

 

10

 

5 + 5

11

 

10 + 1 + 0

12

 

6 + 6

13

 

11 + 1 + 1

14

 

7 + 7

15

 

12 + 1 + 2

16

 

8 + 8

17

 

13 + 1 + 3

18

 

9 + 9

19

 

14 + 1 + 4

20

20

 

21

 

15 + 1 + 5

22

 

20 + 2 + 0

23

 

16 + 1 + 6

24

 

22 + 2 + 2

25

 

17 + 1 + 7

 

 

 

 

LISTE des nombres AUTO-NOMBRES

 

 Les premiers auto-nombres

 

1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97,

108, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198,

209, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299,

310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389,

400, 411, 413, 424, 435, 446, 457, 468, 479, 490,

501, 512, 514, 525 …

Il y en a une infinité, quelle que soit la base.

 

Remarquez l'écart général de 11 entre eux. Mais, il y a des exceptions (97 à 108 par exemple).

Anglais: we note that each number is just 11 larger than its predecessor. Is this how the larger self-numbers are obtained in general? Not quite! Although most self-number do follow this pattern, occasionally there comes a break in the pattern which adds interest to what otherwise would be a rather dull exercise.   Voir Anglais

 

Auto-nombre premiers

 

3, 5, 7, 31, 53, 97, 211, 233, 277, 367, 389

 

 

 

NON AUTO-NOMBRES

 

À deux chiffres

 

À trois chiffres



 

 

 

 

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Sites

*         Autonombre  – Wikipédia

*         OEIS A003052

*         Self-number – Wolfram MathWorld

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