NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Types de Nombres

 

Débutants

Types de nombres

Selon leurs diviseurs

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Nombres et division

 

Types de nombres

 

Parfaits

Semi-parfaits (SP)

SP Primitifs

SP Primaire

Refactorisables

Pratiques

Abondant primitifs

Giuga

Facteurs-Diviseurs

Sigma / rad² = N

S-Parfait

 

Sommaire de cette page

>>> Méthode d'élaboration des nombres S-parfaits

>>> Nombres S-Parfaits

>>> Liste des S-nombres

>>> Programmation

 

 

 

 

 

Nombres S-PARFAITS

ou Nombres de Granville

 

On connait les nombres parfaits, nombre égaux à la somme de leurs diviseurs propres. Les nombres S-parfaits sont du même type, mais sur une sélection particulière des diviseurs. En gros, cette sélection abandonne les nombres abondants. Ils sont plus nombresu que les nombres parfaits tout en les englobant.

 

Anglais: S-perfect numbers

 

 

Méthode d'élaboration des nombres S-parfaits

 

Méthode de sélect ion des diviseurs telle que la somme de ces nouveaux élus soit égale au nombre initial; ce nombre est alors S-parfait.

 

On établit la liste des diviseurs  propres D(n) de n (tous sauf le nombre lui-même).

Par rapport à une liste de référence S (vide au départ), on sélectionne dans F les diviseurs de n qui sont dans la liste de référence.

*       si la somme des  diviseurs retenus en F est inférieure à n, le nombre n est S-déficient et, il est ajouté à la liste de référence S;

*       si la somme est égale à n, le nombre est S-parfait et il est ajouté à S (cas de 6 et 24): et,

*       si la somme est supérieure à n, le nombre est S-abondant et il n'est pas ajouté à la liste de référence (cas de 12).

 

Exemple de formation des nombres S-parfaits pour n de 1 à 24

 

 

Nombres S-Parfaits

 

Ensemble S de référence

Soit l'ensemble de départ: S = {1}

Soit n un nombre entier n > 1.

Soit d la somme des diviseurs de n présents dans S.

Le nombre n est ajouté à S si:

(somme des diviseurs inférieurs ou égaux à n, ces diviseurs étant ceux de n, mais inférieurs à n et, de surcroît, appartenant déjà à l'ensemble S).

 

 

Types

Selon que la somme d est inférieure, égale ou supérieure à n, le nombre est S-déficient, S-parfait ou S-abondant.

 

Historique

C'est en 1996, qu'Andrew Granville propose ce type de nombres à Jean-Marie De Koninck et Aleksandar Ivié.

 

Nombres cités par De Koninck dans son ouvrage: Those fascinating numbers.

Voir Références

 

Nombre 126 = 2 . 3² . 7

 

 

 

Liste des S-nombres

 

Les nombres S-parfaits et leurs facteurs

Nombres parfaits en rouge.

 

S-Parfaits

2

3

7

Autres facteurs

6

2

3

 

 

24

23

3

 

 

28

22

 

7

 

96

25

3

 

 

126

2

32

7

 

224

25

 

7

 

384

27

3

 

 

496

24

 

 

31

1 536

29

3

 

 

1 792

28

 

7

 

6 144

211

3

 

 

8 128

26

 

 

127

14 336

211

 

7

 

15 872

29

 

 

31

24 576

213

3

 

 

98 304

215

3

 

 

114 688

214

 

7

 

393 216

217

3

 

 

507 904

214

 

 

31

917 504

217

 

7

 

1 040 384

213

 

 

127

1 572 864

219

3

 

 

5 540 590

25

 

 

5.112.19.241

6 291 456

221

3

 

 

7 340 032

220

 

7

 

9 078 520

23

 

 

5.11.47.439

16 252 928

219

 

 

31

22 528 935

 

34

 

5.11.13.389

25 165 824

223

3

 

 

33 550 336

212

 

 

8 191

56 918 394

2

32

 

13.79.3 079

58 720 256

223

 

7

 

100 663 296

225

3

 

 

133 169 152

220

 

 

127

Notes sur les S-parfaits

126 est le seul S-parfait connu comportant trois facteurs distincts.

 

22 528 935 est le seul de cette liste sans facteur 2.

 

S-abondants

12,  18,  20,  30,  42,  48,  56,  66,  70,  72,  78,  80,  84,  88,  90, 

102,  104,  108,  114,  120,  138,  150,  162,  174,  180,  186,  192,  196, 

200,  210,  220,  222,  246,  252,  258,  260,  264,  270,  272,  280,  282,  288,  294, 

300, 

 

S-déficients

2,  3,  4,  5,  7,  8,  9,  10,  11,  13,  14,  15,  16,  17,  19,  21,  22,  23,  25,  

26,  27,  29,  31,  32,  33,  34,  35,  36,  37,  38,  39,  40,  41,  43,  44,  45,  46,  47,  49,  

50,  51,  52,  53,  54,  55,  57,  58,  59,  60,  61,  62,  63,  64,  65,  67,  68,  69,  71,  73,  74,  

75,  76,  77,  79,  81,  82,  83,  85,  86,  87,  89,  91,  92,  93,  94,  95,  97,  98,  99,  

100,  101,  103,  105,  106,  107,  109,  110,  111,  112,  113,  115,  116,  117,  118,  119,  121,  122,  123,  124,  125,  127,  128,  129,  130,  131,  132,  133,  134,  135,  136,  137,  139,  140,  141,  142,  143,  144,  145,  146,  147,  148,  149,  151, …

 

 

 

 

Programmation Maple

 

Commentaires

Initialisation et appel aux logiciels de théorie des nombres.

Initialisation de l'ensemble S de référence et de la liste SP des nombres S-Parfaits.

Boucle d'analyse des nombres de 2 à 1000.

Formation de l'ensemble F des diviseurs commun à n et à la référence.

Calcul de la somme s des diviseurs retenus.

Comparaisons de s à n et mise de n dans la référence S si inférieur ou égal et mise dans SP en cas d'égalité.

Résultat du traitement en bleu.   

 

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

 

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*  Nombre 126

Sites

*   Granville number – Wikipedia

*   OEIS A118372 – S-perfect numbers

*   OEIS A181487 – Numbers n < sum( d : d|n, d<n, d not occurring before ).

*   On a sum of divisors problem – Jean-Marie De Koninck et Aleksandar Ivié

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http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPDIVIS/ParfaitS.htm