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Édition du: 30/12/2019

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Brèves de Maths

 

INDEX

 

Nombres et division

 

Types de nombres

Types de Nombres – Diviseurs

Parfaits

Semi-parfaits (SP)

SP Primitifs

SP Primaires

Refactorisables

Pratiques

Abondant primitifs

Giuga

Facteurs-Diviseurs

Sigma / rad² = N

S-Parfaits

Admirables

Balancés

Zumkeller

 

 

 

NOMBRES ADMIRABLES

& Nombres compatibles

 

Nombres cousins des nombres parfaits. Relation avec diviseurs et somme des diviseurs.

Nombre tel qu'il est égal à la somme de ses diviseurs dont un est retranché (la somme des diviseurs propres dont un avec signe négatif).
Ex: 12 = 1 – 2 + 3 + 4 + 6.

Concept développé par Jerome Michael Sachs (1914-2012).

 

Sommaire de cette page

>>> Définition

>>> Liste

>>> Programmation

>>> Nombres compatibles

Débutants

Nombres

 

Glossaire

Nombres

 

 

Définition

haut

 

Nombre n tel que la somme de ses diviseurs diminuée du double de l'un des diviseurs propres est égale à deux fois le nombre n.

 

Exemple

Avec 12, ses diviseurs sont [1, 2, 3, 6, 12], la somme vaut 28 et les diviseurs propres sont [1, 2, 3, 6]. Pour le diviseur 2, la 28 – 2 x 2 = 24 = 2 x 12, c'est un nombre admirable.

 

Le nombre 12 est admirable

 

Formulation

 

 

Propriétés

 

 

Ils sont tous abondants et en nombre infini.

Le plus grand nombre qui n'est pas somme de nombres admirables est 1 003.

 

Si l'on admet un diviseur négatif dans la somme, peut-on en autoriser plusieurs ? Sachs, le père de ces nombres, l'envisageait.

 

Carré magique admirable

 

Voir Carré magique

 

 

 

Liste

haut

 

Nombres admirables  jusqu'à 100 avec identification du diviseur qui engendre la propriété, ci-contre.

 

Liste jusqu'à 1100

12, 20, 24, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, 84, 88, 102, 104, 114, 120, 138, 140, 174, 186, 222, 224, 234, 246, 258, 270, 282, 308, 318, 354, 364, 366, 368, 402, 426, 438, 464, 474, 476, 498, 532, 534, 582, 606, 618, 642, 644, 650, 654, 672, 678, 762, 786, 812, 822, 834, 836, 868, 894, 906, 942, 945, 978, 992, 1002, 1036, 1038, 1074, 1086 …

 

Programme Maple

haut

 

Programme classique

Commentaires

Réinitialisation et appel des logiciels de théorie des nombres.

Déclaration d'une liste L qui accueillera les nombres admirables.

Première boucle d'analyse des nombres n

Liste des diviseurs en E.

Deuxième boucle d'analyse des diviseurs.

Examen de la relation "admirable".

Si satisfairte, mettre n dans la liste des admirables.


En bleu, résultat du traitement.

 

 

 

Programme avancé

 

Commentaires

Mise en place d'une procédure qui retourne vrai si le nombre proposé est admirable.

L'ensemble des diviseurs propres est obtenu à partir de celui des diviseurs auquel on retire (minus) le nombre lui-même

Test le l'expression "admirable", mise à un de l'indicateur T et arrêt (break) de la recherche pour ce nombre.

 

Le programme principale sélectionne les nombres admirable dans la liste 1 à 75 et en forme la liste.

Voir ProgrammationIndex

 

Nombres compatibles

haut

 

Les nombres amiables sont tels que l'un est la somme des diviseurs de l'autre.

 

Les nombres compatibles sont tels que l'un est égal à la somme admirable de l'autre. Notion introduite par Sachs.

 

Exemple

Diviseurs propres de 30: [1, 2, 3, 5, 6, 10, 15]

Somme admirable:  – 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 = 40

 

Diviseurs propres de 40: [1, 2, 4, 5, 8, 10, 20]

Somme admirable:  1 + 2 + 4 + 5 + 8 – 10 + 20  = 30

 

Liste (premier nombre de la paire)

24, 30, 40, 42, 48, 60, 80, 80, 96, 102, 126, 140, 140, 156, 156, 156, 174, 180, 180, 198, 216, 224, 224, 264, 276, 280, 294, 294, 300, 320, 340, 372, 380, 384, 440, 440, 468, 500, …

 

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Voir

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Sites

*      Admirable numbers – Numbers aplenty

*      OEIS A111592 - Admirable numbers. A number n is admirable if there exists a proper divisor d' of n such that sigma(n)-2d'=2n, where sigma(n) is the sum of all divisors of n

*      OEIS A109797 – First of a pair of compatible numbers, where two numbers m and n are compatible if sigma(n)-2dn=sigma(m)-2dm=m+n, for some proper divisors dn and dm of m and n respectively

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http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPDIVIS/Admirabl.htm