NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Types de Nombres

 

Débutants

Général

Selon leurs diviseurs

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Types de nombres

 

Parfaits

Semi-parfaits (SP)

SP Primitifs

SP Primaire

Refactorisables

Pratiques

Abondant primitifs

Giuga

Facteurs-Diviseurs

Intouchables

 

Sommaire de cette page

>>> Place et nomenclature des nombres semi-parfaits

>>> Nombres semi-parfaits

>>> Propriétés

>>> Liste des semi-parfaits

>>> Sommes des semi-parfaits jusqu'à 100

>>> Analyse du nombre 108

>>> Recherche avec tableur

>>> Programmation

 

 

 

EN BREF – Place et nomenclature des nombres semi-parfaits

Les nombres semi-parfaits (ou pseudo-parfaits) sont tous abondants (on admet les parfaits parmi eux).

Les abondants non semi-parfaits sont dits étranges.

Les semi-parfaits irréductibles sont primitifs.

Voir Analyse des semi-parfaits et  du produit correspondant des diviseurs

 

 

 

Famille

Nombre / Division  / Diviseurs

Approche

Définitions

 

Nombre parfait: il est égal à la somme de ses diviseurs propres (tous les diviseurs sauf lui-même)

 

Nombre semi-parfait (ou pseudo-parfait): il est égal à la somme de certains de ses diviseurs propres; souvent plusieurs fois.
Les nombres parfaits appartiennent à cette famille de nombres.

 

Exemples

Diviseurs de 12: 1, 2, 3, 4, 6

et 12 = 6 + 4 + 2

         =  6 + 3 + 2 + 1

Diviseurs de 18: 1, 2, 3, 6, 9

et 18 = 9 + 6 + 3

         =  9 + 6 + 2 + 1 

Voir Introduction et place des semi-parfaits

 

Propriétés

Général

Un nombre semi-parfait (SP) est toujours abondant ou parfait.

 

Un nombre abondant non-SP est un nombre étrange (weird number).

 

Un multiple de SP est un SP.

 

Tous les nombres en 6 k sont SP.

 

Les nombres en 2m p avec p premier impair et p < 2m – 1 sont SP. Notamment avec p = 2m+1 – 1, un premier de Mersenne.

 

Tout nombre pratique, non puissance de 2, est SP.

 

Primitif

 

Un SP non divisible par un SP plus petit est primitif. Soit: un SP dont aucun de ses diviseurs n'est lui-même SP.

Exemples: 6, 20, 28, 104, 272 …

 

 

Anglais

Semiperfect numbers or pseudoperfect numbers

A semiperfect number is a natural number that is equal to the sum of all or some of its proper divisors.

A primitive pseudoperfect number is a pseudoperfect number that is not a multiple of any other pseudoperfect number.

 

 

Liste des nombres semi-parfaits jusqu'à 1000

 

Liste des 247 nombres semi-parfaits inférieurs à 1001

Les trois nombres en rouge sont parfaits

 

6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, 126, 132, 138, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 174, 176, 180, 186, 192, 196, 198, 200, 204, 208, 210, 216, 220, 222, 224, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 260, 264, 270, 272, 276, 280, 282, 288, 294, 300, 304, 306, 308, 312, 318, 320, 324, 330, 336, 340, 342, 348, 350, 352, 354, 360, 364, 366, 368, 372, 378, 380, 384, 390, 392, 396, 400, 402, 408, 414, 416, 420, 426, 432, 438, 440, 444, 448, 450, 456, 460, 462, 464, 468, 474, 476, 480, 486, 490, 492, 496, 498, 500, 504, 510, 516, 520, 522, 528, 532, 534, 540, 544, 546, 550, 552, 558, 560, 564, 570, 572, 576, 580, 582, 588, 594, 600, 606, 608, 612, 616, 618, 620, 624, 630, 636, 640, 642, 644, 648, 650, 654, 660, 666, 672, 678, 680, 684, 690, 696, 700, 702, 704, 708, 714, 720, 726, 728, 732, 736, 738, 740, 744, 748, 750, 756, 760, 762, 768, 770, 774, 780, 784, 786, 792, 798, 800, 804, 810, 812, 816, 820, 822, 828, 832, 834, 840, 846, 852, 858, 860, 864, 868, 870, 876, 880, 882, 888, 894, 896, 900, 906, 910, 912, 918, 920, 924, 928, 930, 936, 940, 942, 945, 948, 952, 954, 960, 966, 968, 972, 978, 980, 984, 990, 992, 996, 1000.

 

Semi-parfaits impairs

945 est le plus petit semi-parfait impair.

Les suivants: 1575,  2205, 2835, 3465, 4095, 4725, 5355, 5775, 5985, 6435, 6615, 6825, 7245, 7425, 7875, 8085, 8415, 8505, 8925, 9135 …

 

Semi-parfaits primitifs

6, 20, 28, 88, 104, 272, 304, 350, 368, 464, 490, 496, 550, 572, 650, 748, 770, 910, 945, 1184, 1190, 1312, 1330, 1376, 1430, 1504, 1575, 1610, 1696, 1870, 1888, 1952, 2002, 2170, 2205, 2210, 2470, 2530, 2584, 2590, 2870, 2990, 3010 …

Voir Nombres abondants primitifs

 

 

 

Sommes des semi-parfaits jusqu'à 100

  6, {1, 2, 3}

12, {2, 4, 6}

12, {1, 2, 3, 6}

18, {3, 6, 9}

18, {1, 2, 6, 9}

20, {1, 4, 5, 10}

24, {4, 8, 12}      6

24, {1, 3, 8, 12}

24, {2, 4, 6, 12}

24, {1, 2, 3, 6, 12}

24, {1, 2, 3, 4, 6, 8}

28, {1, 2, 4, 7, 14}

30, {5, 10, 15}

30, {2, 3, 10, 15}

30, {1, 3, 5, 6, 15}

36, {6, 12, 18}    7

36, {2, 4, 12, 18}

36, {3, 6, 9, 18}

36, {1, 2, 3, 12, 18}

36, {1, 2, 6, 9, 18}

36, {2, 3, 4, 9, 18}

36, {2, 3, 4, 6, 9, 12}

40, {2, 8, 10, 20}

40, {1, 4, 5, 10, 20}

40, {1, 2, 4, 5, 8, 20}

42, {7, 14, 21}

42, {1, 6, 14, 21}

48, {8, 16, 24}      10

48, {2, 6, 16, 24}

48, {4, 8, 12, 24}

48, {1, 3, 4, 16, 24}

48, {1, 3, 8, 12, 24}

48, {2, 4, 6, 12, 24}

48, {1, 2, 3, 6, 12, 24}

48, {2, 4, 6, 8, 12, 16}

48, {1, 2, 3, 4, 6, 8, 24}

48, {1, 2, 3, 6, 8, 12, 16}

54, {9, 18, 27}

54, {3, 6, 18, 27}

54, {1, 2, 6, 18, 27}

56, {2, 4, 8, 14, 28}

56, {1, 2, 4, 7, 14, 28}

60, {10, 20, 30}         34

60, {3, 12, 15, 30}

60, {4, 6, 20, 30}

60, {5, 10, 15, 30}

60, {1, 2, 12, 15, 30}

60, {1, 3, 6, 20, 30}

60, {1, 4, 5, 20, 30}

60, {1, 4, 10, 15, 30}

60, {2, 3, 5, 20, 30}

60, {2, 3, 10, 15, 30}

60, {2, 6, 10, 12, 30}

60, {3, 5, 10, 12, 30}

60, {3, 10, 12, 15, 20}

60, {4, 5, 6, 15, 30}

60, {1, 2, 3, 4, 20, 30}

60, {1, 2, 5, 10, 12, 30}

60, {1, 2, 10, 12, 15, 20}

60, {1, 3, 4, 10, 12, 30}

60, {1, 3, 5, 6, 15, 30}

60, {2, 3, 4, 6, 15, 30}

60, {2, 5, 6, 12, 15, 20}

60, {3, 4, 5, 6, 12, 30}

60, {3, 4, 6, 12, 15, 20}

60, {4, 5, 6, 10, 15, 20}

60, {1, 2, 3, 4, 5, 15, 30}

60, {1, 2, 4, 5, 6, 12, 30}

60, {1, 2, 4, 6, 12, 15, 20}

60, {1, 3, 4, 5, 12, 15, 20}

60, {1, 3, 5, 6, 10, 15, 20}

60, {2, 3, 4, 5, 6, 10, 30}

60, {2, 3, 4, 6, 10, 15, 20}

60, {3, 4, 5, 6, 10, 12, 20}

60, {1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 20}

60, {1, 2, 4, 5, 6, 10, 12, 20}

66, {11, 22, 33}

66, {2, 3, 6, 22, 33}

72, {12, 24, 36}          31

72, {3, 9, 24, 36}

72, {4, 8, 24, 36}

72, {6, 12, 18, 36}

72, {1, 2, 9, 24, 36}

72, {1, 3, 8, 24, 36}

72, {1, 8, 9, 18, 36}

72, {2, 4, 6, 24, 36}

72, {2, 4, 12, 18, 36}

72, {3, 6, 9, 18, 36}

72, {4, 6, 8, 18, 36}

72, {1, 2, 3, 6, 24, 36}

72, {1, 2, 3, 12, 18, 36}

72, {1, 2, 6, 9, 18, 36}

72, {1, 3, 6, 8, 18, 36}

72, {1, 6, 8, 9, 12, 36}

72, {1, 8, 9, 12, 18, 24}

72, {2, 3, 4, 9, 18, 36}

72, {3, 4, 8, 9, 12, 36}

72, {3, 6, 9, 12, 18, 24}

72, {4, 6, 8, 12, 18, 24}

72, {1, 2, 3, 4, 8, 18, 36}

72, {1, 2, 4, 8, 9, 12, 36}

72, {1, 2, 6, 9, 12, 18, 24}

72, {1, 3, 6, 8, 12, 18, 24}

72, {2, 3, 4, 6, 9, 12, 36}

72, {2, 3, 4, 9, 12, 18, 24}

72, {3, 4, 6, 8, 9, 18, 24}

72, {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 36}

72, {1, 2, 3, 4, 8, 12, 18, 24}

72, {1, 2, 4, 6, 8, 9, 18, 24}

78, {13, 26, 39}

80, {4, 16, 20, 40}

80, {2, 8, 10, 20, 40}

80, {1, 4, 5, 10, 20, 40}

80, {1, 5, 8, 10, 16, 40}

80, {2, 4, 8, 10, 16, 40}

80, {1, 2, 4, 5, 8, 20, 40}

84, {14, 28, 42}        25

84, {2, 12, 28, 42}

84, {7, 14, 21, 42}

84, {1, 6, 7, 28, 42}

84, {1, 6, 14, 21, 42}

84, {2, 7, 12, 21, 42}

84, {3, 4, 7, 28, 42}

84, {3, 4, 14, 21, 42}

84, {3, 6, 12, 21, 42}

84, {1, 2, 4, 7, 28, 42}

84, {1, 2, 4, 14, 21, 42}

84, {1, 2, 6, 12, 21, 42}

84, {1, 3, 4, 6, 28, 42}

84, {2, 3, 4, 12, 21, 42}

84, {2, 7, 12, 14, 21, 28}

84, {3, 6, 7, 12, 14, 42}

84, {3, 6, 12, 14, 21, 28}

84, {1, 2, 6, 7, 12, 14, 42}

84, {1, 2, 6, 12, 14, 21, 28}

84, {1, 3, 4, 6, 7, 21, 42}

84, {2, 3, 4, 7, 12, 14, 42}

84, {2, 3, 4, 12, 14, 21, 28}

84, {1, 2, 3, 4, 6, 12, 14, 42}

84, {1, 3, 4, 6, 7, 14, 21, 28}

84, {1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 21, 28}

88, {1, 2, 8, 11, 22, 44}

90, {15, 30, 45}       23

90, {5, 10, 30, 45}

90, {6, 9, 30, 45}

90, {1, 5, 9, 30, 45}

90, {2, 3, 10, 30, 45}

90, {2, 10, 15, 18, 45}

90, {3, 9, 15, 18, 45}

90, {1, 2, 3, 9, 30, 45}

90, {1, 2, 9, 15, 18, 45}

90, {1, 3, 5, 6, 30, 45}

90, {1, 5, 6, 15, 18, 45}

90, {2, 6, 9, 10, 18, 45}

90, {3, 5, 9, 10, 18, 45}

90, {5, 6, 9, 10, 15, 45}

90, {1, 2, 3, 6, 15, 18, 45}

90, {1, 2, 5, 9, 10, 18, 45}

90, {2, 3, 6, 9, 10, 15, 45}

90, {2, 6, 9, 10, 15, 18, 30}

90, {3, 5, 9, 10, 15, 18, 30}

90, {1, 2, 3, 5, 6, 10, 18, 45}

90, {1, 2, 3, 5, 9, 10, 15, 45}

90, {1, 2, 5, 9, 10, 15, 18, 30}

90, {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 18, 30}

 

96, {16, 32, 48}         21

96, {4, 12, 32, 48}

96, {8, 16, 24, 48}

96, {1, 3, 12, 32, 48}

96, {2, 6, 8, 32, 48}

96, {2, 6, 16, 24, 48}

96, {4, 8, 12, 24, 48}

96, {1, 3, 4, 8, 32, 48}

96, {1, 3, 4, 16, 24, 48}

96, {1, 3, 8, 12, 24, 48}

96, {2, 4, 6, 12, 24, 48}

96, {4, 8, 12, 16, 24, 32}

96, {1, 2, 3, 4, 6, 32, 48}

96, {1, 2, 3, 6, 12, 24, 48}

96, {1, 3, 8, 12, 16, 24, 32}

96, {2, 4, 6, 8, 12, 16, 48}

96, {2, 4, 6, 12, 16, 24, 32}

96, {1, 2, 3, 4, 6, 8, 24, 48}

96, {1, 2, 3, 6, 8, 12, 16, 48}

96, {1, 2, 3, 6, 12, 16, 24, 32}

96, {1, 2, 3, 4, 6, 8, 16, 24, 32}

100, {5, 20, 25, 50}

100, {1, 4, 20, 25, 50}

 

 

Liste des quantités de sommes des SP jusqu'à 500

En rouge les records de quantités

 

[6, 1], [12, 2], [18, 2], [20, 1], [24, 5], [28, 1], [30, 3], [36, 7], [40, 3], [42, 2], [48, 10], [54, 3], [56, 2], [60, 34], [66, 2], [72, 31], [78, 1], [80, 6], [84, 25], [88, 1], [90, 23], [96, 21], [100, 2], [102, 1], [104, 1], [108, 20], [112, 4], [114, 1], [120, 278], [126, 13], [132, 15], [138, 1], [140, 15], [144, 116], [150, 9], [156, 11], [160, 12], [162, 4], [168, 197], [174, 1], [176, 2], [180, 751], [186, 1], [192, 42], [196, 2], [198, 9], [200, 12], [204, 6], [208, 2], [210, 151], [216, 169], [220, 7], [222, 1], [224, 9], [228, 8], [234, 6], [240, 2157], [246, 1], [252, 516], [258, 1], [260, 6], [264, 121], [270, 130], [272, 1], [276, 6], [280, 119], [282, 1], [288, 469], [294, 4], [300, 446], [304, 1], [306, 4], [308, 6], [312, 106], [318, 1], [320, 25], [324, 54], [330, 93], [336, 1554], [340, 4], [342, 5], [348, 2], [350, 3], [352, 5], [354, 1], [360, 22208], [364, 5], [366, 1], [368, 1], [372, 2], [378, 75], [380, 3], [384, 85], [390, 75], [392, 6], [396, 344], [400, 44], [402, 1], [408, 79], [414, 3], [416, 4], [420, 19244], [426, 1], [432, 1246], [438, 1], [440, 76], [444, 2], [448, 18], [450, 289], [456, 67], [460, 2], [462, 54], [464, 1], [468, 269], [474, 1], [476, 4], [480, 17049], [486, 5], [490, 1], [492, 2], [496, 1], [498, 1], [500, 3].

 

Liste des records de quantité de sommes des SP jusqu'à 720

[6, 1], [12, 2], [24, 5], [36, 7], [48, 10], [60, 34], [120, 278], [180, 751], [240, 2157], [360, 22208], [720, 676327]

 

 

 

Analyse du nombre 108: 20 fois sommes de certains de ses diviseurs propres

Premier nombre: le diviseur utilisé pour réaliser la somme;

le second nombre: le reste à ajouter pour atteindre 108.

Voir DicoNombre: Nombre 108

 

 

Recherche avec tableur

Un tableur est particulièrement approprié pour effectuer la recherche des sommes possibles

 

Les diviseurs sont affichés (en rouge) avec leur somme (172, le nombre 108 est abondant).

 

Mode opératoire

Une colonne est réservée au calcul de la somme.

Chaque ligne correspond à un essai pour réaliser la somme avec les diviseurs de poids décroissants.

La somme est ajustée pour atteindre 108 en abandonnant les diviseurs qui font dépasser cette valeur.

 

 

 

Programmation Maple

 

Informations générales

 

L'instruction divisors(n) produit l'ensemble des diviseurs de n; avec minus on lui retire le nombre n.

 

Note: les accolades spécifient un ensemble et non une liste. L'instruction minus nécessite aussi un ensemble d'où n entre accolades.

 

 

L'instruction subsets engendre tous les sous-ensembles de l'ensemble des diviseurs (en bleu à droite du programme).

 

Pratique pour analyser toutes les combinaisons possibles des élément de l'ensemble par 2, par 3 etc.

 

nextvalue et finished sont deux instructions propres au traitement de sous-ensembles >>>

 

Détection des semi-parfaits

Commentaire

Appel des deux packages de logiciels: combinatoire et théorie des nombres.

Déclaration de la procédure SP (semi-parfait). Déclaration des paramètres propres à la procédure (local).

La variable oui fait l'hypothèse a priori que n n'est pas un nombre semi-premier.

Création des sous ensembles de diviseurs propres en S.

Boucle avec écriture propre à l'analyse des sous-ensembles.

La somme (convert +) des éléments de chaque sous-ensemble est placée en a.

Si cette somme a est égale à n alors n est un nombre semi-parfait (oui = true). Arrêt de la recherche (break)

La valeur de oui est rendue visible à l'extérieur (return).

Fin de procédure.

 

Programme principal définissant n.

Déclaration d'une liste vide pour y loger les n semi-parfaits.

Boucle d'analyse de n de 1 à 100 (par exemple).

Si SP(n) retourne une valeur vraie (true) alors le nombre n est ajouté à la liste.

Fin de condition (fi) et fin de boucle (od).

 

Impression de la liste L (lprint).

Résultat en bleu.

 

with(combinat): with(numtheory): SP := proc (n) local SS, S, a, oui; oui := false; SS := `minus`(divisors(n), {n}); S := subsets(SS); while not S[finished] do a := convert(S[nextvalue](), `+`); if a = n then oui := true; break end if end do; return oui end proc; L := []; for n from 1 to 100 do if `and`(SP(n) = true, `mod`(n, 2) = 1) then L := [op(L), n] end if end do; lprint(L):

 

 

 

Sommes des semi-parfaits

 

Commentaire

 

Même type de programme (sans procédure)

 

Dans la boucle d'analyse des sommes de diviseurs:

*       on recherche tous le sous ensemble en a;

*       on fait la somme des éléments de chaque sous-ensemble en b; et

*       on teste si cette somme vaut n.

 

La différence par rapport au programme précédent: on poursuit les recherches jusqu'à épuisement des sous-ensembles. On les imprime au fur et mesure de leur découverte.

 

En bleu, impression des 20 sommes trouvées.

Quantité confirmé par le compte fait à l'aide du compteur kt.

 

 

 

 

 

Voir

*Nombres refactorisables

*Analyse des semi-parfaits et des produits correspondants

*  Diviseurs

*  Factorielles

*  Dénombrement – Combinatoire

*  Compter les sous-ensembles

DicoNombre

*  Nombre 6

*  Nombre 12

*  Nombre 18

Sites

*  Semiperfect number – Wikipedia

*  OEIS A005835 – Pseudoperfect (or semiperfect) numbers n: some subset of the proper divisors of n sums to n.

*  OEIS A006036 – Primitive pseudoperfect numbers

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http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/TYPDIVIS/Semiparf.htm