NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Premiers calculs – Aire des sections

>>> Calcul avec le rayon des spires

>>> Calcul avec aires des spires

>>> Quantité de spires – Tendances

>>> Bilan

>>> Épaisseur nulle

 

 

 

 

 

BOBINE – ROULEAU

Longueur et quantité de spires

 

Comment calculer la longueur d'un tapis enroulé sur son mandrin; d'une bande de papier sur sa bobine, d'un feuillard sur son dévidoir; d'une bande de matériau quelconque sur son bobineau; etc.

 

La clé du calcul

Anglais: how to calculate rolled length of roll material? Thickness of material /

Diameter of center hole / Area of cross-section / Radius of the layer, of the wrap

 

 

 

Premiers calculs – Aire des sections

 

Problème

Connaissant les trois paramètres indiqués (R, r et e), quelle est la longueur de la feuille de tôle?

 

Calcul de la longueur L

On compare deux surfaces:

*      La section de la feuille de tôle déroulée et mise à plat:

S = L . e

*      La section sur le rouleau, c'est à-dire la surface d'enroulement de la tôle:

 

Ces deux surfaces sont égales et la longueur est donnée par:

 

Quantité de spires k (de couches)

 

Relation entre L et k

 

Notations

 

Exemple numérique

Avec R = 15 cm,  r = 5 cm   et e = 0,1 cm

 

 

Sensibilité à la mesure de l'épaisseur

Avec e = 0,09 cm, L = 69,81 m

Avec e = 0,10 cm, L = 62,83 m

Avec e = 0,11 cm, L = 57,12 m

 

 

Calcul pratique

Mon rouleau de tissu entamé fait 14 cm de diamètre sur un mandrin de 10 cm de diamètre. Mon étoffe mesure 1/10 cm d'épaisseur. Quelle est la longueur d'étoffe qui me reste?

 

 

 

 

Calcul avec le rayon des spires

 

Prise en compte de la taille des spires

On étudie l'influence de la taille des spires, plus courtes vers le centre et plus longue en périphérie.

 

On va vérifier que le calcul précédent était tout à fait valide, malgré la variation de longueur des spires.

 

On calcule le périmètre moyen d'une spire en utilisant le rayon moyen soit r + e/2 pour la première spire.

 

 

Longueur des spires selon leur rang

 

 

 

Rayon moyenne d'une spire:

 

 

Longueur de la feuille

C'est la somme des longueurs de toutes les spires.

Voir le calcul de la somme des entiers.

 

Le produit k.e est l'épaisseur de toutes les spires et vaut la différence de diamètre.

 

 

Note

Le calcul pourrait être repris en encadrant l'estimation  de L, ceci en calculant avec le bord inférieur et le bord supérieur de chaque spire.

 

 

 

 

 

 

 

 

Calcul avec aires des spires

Évaluation de l'aire de la couronne (section) de chaque spire.

La somme des sections des spires est égale à la section de la bande déroulée.

On retrouve, à nouveau, notre formule.

 

 

 

Quantités de spires

 

Problème

Comment varie la quantité de spires (de couches) lorsque l'épaisseur ou la taille du mandrin décroit, avec une longueur de tissu, de papier ou de tôle constante.

 

 

 



Résolution pour k = f (e)

 Avec L = 100 cm et r = 1 cm

 

La racine positive de cette équation du second degré donne k en fonction de e.

Une hyperbole avec l'axe des y en asymptote.

 

Dit-autrement: plus le matériau est fin et plus il y aura de tours autour de la bobine pour une longueur donné (évident)

Ce nombre de tours tend vers l'infini pour e tendant vers zéro, quelle que doit la taille de la bobine.

 

Vérification

Avec 10 tours, R = 1 + 0,1 x 10 = 2 et
L = 3,14 x (2² - 1²) / 0,1
 10 / 0,1 = 100 cm   

 

 

 

 

Résolution pour k = f (r)

 Avec L = 100 cm et e = 0.1 cm

 

Même tendance avec un rayon de la bobine qui décroit.

Si le rayon tend vers 0, la quantité de couches tend vers l'infini.

 

 

 

 

Note: à longueur constante de matériau, en faisant décroitre le rayon et l'épaisseur, chacun vers 0, la quantité de couches tend, bien entendu, vers l'infini … plus vite.

 

 

 

 

 

 

 

Note sur la construction des courbes
L'abscisse à l'origine n'est pas 0, mais proche. Sinon l'ordonnée serait infinie.

 

Sur le graphe du bas, avec le millième de centimètre d'épaisseur, on arrive à plus de 15 000  tours autour de la bobine.

 

 

 

 

Bilan

Les formules de calcul sont finalement assez simples. Mais attention à la sensibilité à la précision de mesure, surtout pour l'épaisseur e.

Pour les matériaux compressibles comme les tissus ou les tapis, mieux vaut étalonner en mesurant, au moins une fois, la longueur de la bande d'étoffe et en déduire l'épaisseur.

 

 

 

 

 

Épaisseur nulle?

On se pose la question de savoir ce que devient le diamètre de la bobine en cas d'une épaisseur de ruban qui tend vers 0.

 

Bobine:  diamètre:          D = 1 cm

                 circonférence: C = 3,14 cm

Ruban:   longueur:          L = 3,14 m

                 épaisseur:         E = 0,1 mm

 

 

Première situation – Épaisseur variable

 

La seule chose qui va varier, c'est le diamètre de la bobine remplie (Dr).

Son diamètre sera égal à D + 2 x 100 x E.

Si E tend vers zéro, Dr tend vers D.

 

 

k = L / C = 314 / 3,14 = 100 tours

 

La quantité de tours k ne dépend pas de l'épaisseur, pour une épaisseur restant très petite et tendant vers 0.

Si l'épaisseur tend vers 0, k reste égal à 100.

 

 

Deuxième situation: effet de laminage

 

Lorsque l'épaisseur est divisée par 10, la longueur du ruban est multipliée par 10 par effet de laminage, c'est à dire: conservation de la même quantité étoffe (conservation du même volume de matière).

Le diamètre de la bobine reste celui calculé plus haut, car on a la même quantité de matière.

 

Avec D = 1cm et,

e/10,  L = 31,4 m => k = 3140/3,14 = 1000 tours

e/100,  L = 314 m  =>k = 31400/3,14 = 10 000

e/infini,  L = 31400...0 m => k = 31400...0/3,14 = quantité infinie de  tours

 

Avec L x e = constante, si e tend vers zéro, L tend vers l'infini, et également la quantité k de tours.

Troisième cas: limite mathématique (théorique)

Ce qu'il faut comprendre: la ligne est un objet mathématique qui n'a pas d'épaisseur; c'est un objet à une seule dimension.

 

Même si je trace un million de lignes l'une sur l'autre, ça restera une ligne sans épaisseur; ou d'épaisseur nulle, si vous voulez.

Enroulée sur la bobine, une demi-droite, crée le même effet. Il n'y a pas création d'épaisseur puisque qu'elle est nulle.

 

Conclusion si e tend vers 0

En mathématique: le diamètre de la bobine remplie est toujours celui de la bobine vide

 

En physique: le diamètre de la bobine remplie est plus grand que celui de la bobine vide. Il tend vers celui de la bobine vide pour une épaisseur qui tend vers 0.

 

 

 

 

 

Suite

*  Chaudière

*  Diagramme de Carnot

*  Moteur à explosions

*  Volume de la sphère à partir de celui du cylindre

*  Mouvement en physique

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*   Vous trouverez des calculateurs en ligne sur Internet dont: handymath.com

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