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Édition du: 27/02/2021

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Hyperbole

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Fonctions hyperboliques

 

 

Hyperbole standard

 

L'hyperbole est une courbe plane de la famille des coniques.

Elle possède deux asymptotes.
Si elles sont perpendiculaires, l'hyperbole est équilatère ou rectangulaire. 

Équation standard de l'hyperbole:

 

Changer le signe moins en signe plus et on obtient une ellipse.

 

Étymologie: Le mot hyperbole vient du latin hyperbole, du grec: hyperbolë, excès exagération; composé de hyper, au-delà et ballô, jeter, lancer

 

 

Sommaire de cette page

>>> Formulaire de l'hyperbole standard

>>> Approche

>>> Géométrie – Définition de l'hyperbole

>>> Paramètres de l'hyperbole centrée

>>> Paramètres de l'hyperbole non-centrée

>>> Dessin rapide d'une hyperbole 

>>> Calcul de l'équation de l'hyperbole

>>> Établissement de l'équation

>>> Propriétés – Trigonométries

>>> Directrices et excentricité

 

Débutants

Géométrie

 

Glossaire

Géométrie

 

Humour

HYPERBOL: chance démesurément insolente – Pascal Légitimus

Voir Pensées et Humour

 

Formulaire de l'hyperbole standard

  

 

Approche

haut

 

Équation de cette hyperbole avec a = b = 1: 

 

 

Dimensions du carré vert en pointillé:

  Lx = 2a = 2 et Ly = 2b = 2

 

 

Équation de cette hyperbole avec a = 2 et b = 1: 

 

 

 

Dimensions du rectangle vert en pointillé:

Lx = 2a = 4 et Ly = 2b = 2

 

Équation des asymptotes (vertes):

 

 

 

Géométrie – Définition de l'hyperbole

haut

 

Hyperbole: une courbe plane composée de deux branches disjointes et symétriques.

 

Elle est caractérisée par:

*    deux foyers tels que, pour tout point M, la différence distance aux foyers, est constante;

*    deux axes de symétrie dont l'un est l'axe focal;

*    deux asymptotes communes  aux deux branches;

*    deux sommets et deux co-sommets (qui sont les sommets de la même hyperbole après rotation de 90°).

 

Latus rectum: corde au foyer et perpendiculaire à l'axe focal.

 

 

 

Paramètres de l'hyperbole centrée

haut

 

Équation de l'hyperbole

 

Coordonnées du centre: (0, 0)

Coordonnées des sommets: (-a, 0) et (a, 0)

Coordonnées des foyers: (-c, 0) et (c, 0)

 

Caractérisation de l'hyperbole


or, si M est en S: d1 = c + a et d2 = c – a, soit d1 – d2 = 2a. La constante est égale à 2a.

 

Distance entre foyers telle que:

 

Équations des asymptotes

Angle entre asymptotes

 

Calcul de la position du foyer – Exemple


 

Valeur de b avec a et c

 

Paramètres de l'hyperbole non-centrée

haut

 

Équation de l'hyperbole

 

Centre: (u, v)

Sommets: (u – a, v) et (u + a, v)

Foyers: (u – c, v) et (u + c, v)

 

Caractérisation de l'hyperbole

 

Distance entre foyers telle que:

 

Équations des asymptotes

 

Angle entre asymptotes

L'hyperbole est simplement translatée de u = 2 en horizontal et de v = 3 en vertical.

 

 

Dessin rapide d'une hyperbole  non-centrée

 

Exemple

Centre (2, -1)

a = 1 et b = 2

 

Construction

Positionner le centre (rouge) en (2, -1)

Positionner les sommets (verts) à une distance horizontale de a = 1 du centre.

Dessiner le rectangle (pointillé vert) de dimension (2a = 2 et 2b = 2 x2 = 4), centré sur le centre.

Tracer les droites diagonales du rectangle (vertes).

Ajuster les courbes rouges pour qu'elles passent par les sommets et qu'elles s'approchent progressivement des asymptotes.

 

 

Comment construire une hyperbole approchée, mais bien positionnée

 

 

 

 

 

Calcul de l'équation de l'hyperbole – Exemples 

haut

Exemple 1

Avec sommets en (0, -2)  et (6, -2) et foyers en (-2, -2) et (8, -2)

Le centre subit la translation

Distance entre sommets

Avec coordonnées des foyers

Résolution du système d'équations

Calcul de b

Équation de l'hyperbole

Graphe

 

Angle entre asymptotes, embrassant l'hyperbole:
2 arctan (4/3) = 106,26°

 

 

Exemple 2

Tour de refroidissement d'une centrale électrique. Unités en mètres.

Centre des axes

Milieu de la flèche verte (10) qui est la distance la plus courte entre les deux branches.

Distance entre sommets:

Point de l'hyperbole

M (7,5 ; 30)

Dans l'équation

Calcul de b

Équation de l'hyperbole

 

Établissement de l'équation

haut

Distance au foyer

Différence constante, égale à 2a

Mise au carré après passage d'un radical à droite

Radical isolé et développement des carrés; puis division par 4

Élévation au carré

Variable x d'un seul côté

Factorisation

Or b² = c² – a²

Division par a²b²

 

 

Propriétés – Trigonométries

haut

 

 

 

Analogie Cercle / Hyperbole

Cercle de rayon 1 et hyperbole avec a = 1:



 

 

 

Avec un angle alpha dans les deux cas:

 

*      L'aire du secteur vaut alpha/2.

*      Du cercle, on engendre la trigonométrie circulaire (sinus et cosinus); et
 

*      De l'hyperbole, on engendre la trigonométrie hyperbolique (sinus et cosinus hyperboliques).

 

 

 

Directrices et excentricité

haut

 

L'hyperbole peut aussi être définie comme le lieu des points tels que:

 

Ces deux rapports sont constants et égaux à e, l'excentricité.

 

Les deux droites bleues sont les directrices qui ont pour équations:

 

La bissectrice de l'angle F1MF2 (droite en petits pointillés) est aussi la tangente en M à l'hyperbole.

 

 

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*      How to construct a hyperbola – GeoGebra – Irina Boyadzhiev – Animation

*      Hyperbola – Math is Fun

*      Hyperboloïde parabolique – Mathcurve – Robert Ferréol

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http://villemin.gerard.free.fr/Geometri/Coniques/Hyperbol.htm