NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Géométrie

 

 

Cylindre "fil de fer" créé par un programme.

 

Cube

Sphère

Cylindre

Cône

Pavé

Cylindre – Exercices

Fourmi sur cylindre

 

Sommaire de cette page

>>> Exemples de cylindres

>>> Cylindre droit

>>> Formation du cylindre

>>> Patron du cylindre

 

 

>>> Cylindre creux

>>> Billes dans une cuve cylindrique

>>> Définition générale du cylindre

>>> Cylindre oblique

>>> Équation du cylindre

>>> Remplissage du bassin à forme cylindrique

>>> Les sept cylindres - Énigmes

>>> Anglais

 

 

 

 

 

 

CYLINDRE

 

Propriétés, problèmes, curiosités et amusements.

Nous aborderons d'abord le cylindre classique de révolution et généraliserons ensuite.

 

Cylindre vient du grec kulindros, le tambour. Le cylindre désigne aussi bien le volume que la surface. Il n'y a pas de mot distinguant le solide cylindre et la surface cylindrique.

 

Exemples de cylindres

cylindre.jpg

 

Cylindre de serrure

 

Cylindre droit – Données essentielles

 

*    Le cylindre classique est un volume formé de trois surfaces:

*       deux disques identiques parallèles,

*       réunis par une surface latérale réunissant les deux disques.

*    Le cylindre classique est entièrement caractérisé par deux grandeurs:

*       le rayon du disque R, et

*       la hauteur H du cylindre

 

 

Le vocabulaire et propriétés du cylindre

*    Le cylindre droit est un solide qui a deux bases en forme de disque, superposables et parallèles.

*    La hauteur du cylindre est la distance entre ses deux bases.

*    La droite passant par les centres des bases d'un cylindre droit est perpendiculaire aux bases. C'est l'axe du cylindre ou axe de révolution.

*    Tous les segments de la surface latérale d'un cylindre droit sont perpendiculaires aux deux bases; et parallèles à l'axe de révolution.

*    Tous les points de la surface cylindrique sont à la même distance (R) de l'axe. >>>

 

Cylindre classique appelé

cylindre de révolution ou encore

cylindre circulaire droit.

 

 

 

 

Mémorisation amusante

Voir Mnémotechnique / Découpe de la Pizza

 

 

 

Formation du cylindre

*    Le cylindre droit est un solide de révolution engendré par un rectangle qui tourne autour de l'axe du cylindre.

*    Le cylindre droit peut aussi être vu comme un volume engendré par un disque centré sur l'axe et qui se déplace le long de cet axe.

 

Deux méthodes pour engendrer un cylindre.

 

Voir Tour de Hanoï

 

 

 

Patron du cylindre

*      Découpez cette forme dans du carton.

*      Plier et coller et vous avez un cylindre droit.

*      Si vous le réalisez, prévoyez des languettes de collage.

*      L'aire du patron est égale à celle du cylindre complet. Ici:

 

 

Unité = côté du carré du quadrillage.

Voir Patron du cube

 

 

 

Cylindre creux

Le volume du cylindre creux (un tuyau, par exemple):

 

 

 

 

 

Exemple

Un tube de 10 mètres de long en plomb (densité 11,35 g.cm-3).

Diamètre extérieur 4 cm et intérieur 3,5 cm.

Quelle est la masse de ce tuyau?

 

Réponse: presque 67 kg.

 

 

Billes dans une cuve cylindrique

*    Un cuve cylindrique: D = 20 cm et H = 30 cm.

Il y a déjà 7,5 litres d'eau dans la cuve.

*    Alexis et Chloé, tour à tour, s'amusent à y mettre des billes de 4 cm de diamètre. Les billes en verre sont plus denses que l'eau et elles coulent au fond de la cuve.
 

*    Chaque bille fait monter le niveau de l'eau. Quel est le numéro de la bille qui fera déborder la cuve et qui l'a mise, Alexis ou Chloé?

 

*    Volume du cylindre:

Vcylindre

*    Volume libre (sans eau):

Vsans eau

 

*    Volume d'une bille:

VBille

*    Combien de billes pour remplir?

Q

*    Celle qui remplit presque:

 

la 57e, un numéro impair.

*    Celle qui fait déborder:

 

La 58e, un numéro pair.

C'est Alexis qui place la première bille (impaire) et Chloé qui place la deuxième (paire).

C'est donc Chloé qui fait déborder la cuve en mettant la 58e (paire).

 

Le cylindre idéal?

Même volume:   aire minimale             pour H = 2R = D.

Même aire:       volume maximum        pour H = 2R = D.

Ce cylindre particulier avec H = D est donc contenu dans un cube.

Voir Cylindre, sablier et sphère – Comparaison

 

 

 

Définition générale du Cylindre

 

*    D'une manière générale, un cylindre est définit par une surface dans l'espace.

*    Cette  surface cylindrique  est décrite par une droite (d) dite génératrice qui se déplace selon une direction fixe, et

*    Elle s'appuie sur une courbe (C) quelconque fermée dite directrice 

 

*    Le cylindre est une sorte de cône dont le sommet est rejeté à l'infini.

 

 

 

Principaux types de cylindres "réguliers"

 

     Droit                Oblique                   Elliptique (droit)

     Right               Oblique                   Elliptical (right)

 

 

 

Cylindre oblique

Volume du cylindre oblique de révolution

 

Analogie utilisée pour la première fois par Cavalieri (1598-1647)  avec des pièces de monnaie.

 

Imaginez le cylindre oblique formé de disques fins empilés. Faites glisser ces disques de sorte que le cylindre devienne droit.

Effectivement: tous les disques obliques de même rayon et même hauteur ont le même volume que le prisme droit de même dimensions.

 

 

Calcul de la hauteur avec le théorème de Pythagore

 

 

 

Calcul du volume

 

Aire totale du cylindre oblique de révolution

 

 

 

Pour l'aire du cylindre oblique, remplacez H dans la formule générale par la longueur (oblique) L du cylindre.

 

 

 

 

Remplissage du bassin à forme cylindrique

 

Une cuve cylindrique posée horizontalement contient un liquide jusqu'au niveau n.

Comment calculer le volume de liquide?

 

 

Note: Cos-1 est équivalent à arccos, fonction qui donne l'angle lorsqu'on connait le cosinus

 

Exemple: H = 2 m; R = 1 m; n = 0,5 m

(R – n) / R = 0,5

Angle: arccos(0,5) = 1,047

2Rn – n² = 2x1x0,5 – 0,25 = 0,75 = 0,866²

V = 2 (1² x 1,047 – 0,5 x 0,866) = 1,228 m3

 

Volume de liquide dans la cuve selon en fonction du niveau n.

 

Avec H = 2

et R = 1.

 

 

Voir Segment de cercle / Tonneau

 

 

Équation du cylindre

 

Les points de la surface cylindrique sont tous à égale distance de l'axe.

Avec ce système d'axes (figure), l'équation de la surface cylindrique est:

 

x² + y² = r² pour tout z de 0 à H.

 

 

Les sept cylindres

Il est possible de positionner sept cylindres de façon telle que chacun soit tangent aux six autres.

             

Cas avec trois cylindres tangents              Solution avec six cylindres qui se touchent

 

Solution avec sept cylindres infinis, chacun est tangent aux six autres.

 

Problème abordé par Martin Gardner dans la revue Scientific American: pouvez-vous disposer sept cigarettes telles que chacune touche les six autres? Gardner donne la solution illustrée ici avec des crayons.

En 2014, Sandor Bozoki, Académie hongroise des sciences, trouve une solution où tous les cylindres se touchent par leur partie latérale et non pas les bouts. Autrement-dit, il s'agit de sept tubes de longueur infinie. Le problème a été résolu par ordinateur. Aucune maquette n'est assez précise pour restituer l'exactitude des tangences.

Source:  A tale of touching tubes /

 

 

 

 

English corner

 

*    A cylinder is the surface formed by all of the points that are equidistant from a line segment. This surface essentially forms a hollow tube of finite length.

*    In most cases, when the term cylinder is used, it refers to a right circular cylinder, i.e.one for which the base faces are congruent circles that are perpendicular to the axis of the cylinder.

*    Other types of cylinder exist. In an oblique circular cylinder for example, the base faces are still parallel congruent circles, but are offset from one another (i.e. they are not perpendicular to the axis of the cylinder). In an elliptical cylinder, the base faces are ellipses.

 

 

 

 

 

CYLINDRE - Index

*    Chèvre et silo – Énigme

*    Cylindre – Calcul du rayon

*    Cylindre – Exercices (Brevet)

*    Cylindre, cône et calotte – Comparaison

*    Cylindre, sablier et sphère – Comparaison

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*    Fourmi sur une cylindre – Énigme

*    Sphère et cylindre

*    Volume du cylindre

*    Volume du prisme

Aussi

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*    Nombre 7

Sites

*    CylinderMathworld – Wolfram

*    Volume of a horizontal cylinder segment – Avec un calculateur de volume

*    Seven mutually touching infinite cylindersSándor Bozóki, Tsung-Lin Lee, Lajos Rónyai

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Objet3D/Cylindre.htm