NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 05/11/2012

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CARRÉS

 

 

 

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Écarts

 

Sommaire de cette page

>>> Calcul des nombres voisins

>>> Tables des carrés selon écarts

 

 

 

 

 

CALCUL des CARRÉS

par la méthode des écarts

 

*       Comment réciter la table des carrés des nombres de 10 à 99 avec une grande facilité?

*       Nous avons déjà abordé la notion d'écart entre carrés de nombres successifs. Nous allons généraliser et nous en servir pour établir un tableau complet des carrés.

 

 

 

 

 

Carré des nombres voisins 

 

*      Les Identités remarquables permettent d'établir les relations entre carrés de nombres voisins.

 

 

*      Voici quelques relations que nous allons utiliser =>

 

 

 

 

 

 

 

*      Et relations semblables en négatif

 

 

n et n + 1

(n + 1)² – n² = 2n + 1

 

n et n + 2

(n + 2)² – n² = 4n + 4

 

n et n + 3

(n + 3)² – n² = 6n + 9

 

n et n + 4

(n + 4)² – n² = 8n + 16

 

n et n + k

(n + k – n² = 2kn + k²

 

 

n et n – k

(n – k – n² = – 2kn + k²

 

Exemples de calcul en cascade autour de 50

 

 2n + 1

 4n + 4

 6n + 9

 

 

 

47² = 2 500

– 300 + 9 =   2 209

 

 

48² = 2 500

– 200 + 4 =   2 304

 

 

49² = 2 500

– 100 + 1 =   2 401

 

 

50² = 2 500

Écart total: 200

400

600

 

51² = 2 500

+ 100 + 1 =   2601

 

 

 

 

52² = 2 500

+ 200 + 4 =   2 704

 

 

 

 

53² = 2 500

+ 300 + 9 =   2 809

 

 

 

Table des carrés avec calcul d'écart

 

*      La table montre les carrés des nombres autour des multiples de 5

*      On montre une dynamique de plus ou moins 4 de chaque côté. Mais, le calcul mental peut se limiter à plus ou moins 2 (colonnes marron).

*      On se souvient que le calcul du carré d'un nombre terminé par 5 est des plus faciles: si d est le chiffres des dizaines, on somme d² + d et on fait suivre de 25.
Exemple: 35² => 3² + 3 = 12 => 35² = 1225. 

*      Les opérations données au dessus (positif) ou en dessous (négatif) sont relatives au multiple de 5 voisin. Exemples: 6² = 25 + 10 + 1 = 36 ou 4² = 25 – 10 + 1 = 16.

 

 

-4

-3

-2

-1

N

1

2

3

4

0

0

1

1

1

4

2

4

9

3

9

-20+9

16

4

16

-10+1

5

25

+10+1

36

6

36

+20+4

-80+16

49

7

49

-60+9

64

8

64

-40+4

81

9

81

-20+1

10

100

+20+1

121

11

121

+40+4

144

12

144

+60+9

169

13

169

+80+16

-60+4

196

14

196

-30+1

15

225

+30+1

256

16

256

+60+4

-160+16

289

17

289

-120+9

324

18

324

-80+4

361

19

361

-40+1

20

400

+40+1

441

21

441

+80+4

484

22

484

+120+9

 

529

23

529

+160+16

-100+4

576

24

576

-50+1

25

625

+50+1

676

26

676

+100+4

-240+16

729

27

729

-180+9

784

28

784

-120+4

841

29

841

-60+1

30

900

+60+1

961

31

961

+120+4

1024

32

1024

+180+9

1089

33

1089

+240+16

-140+4

1156

34

1156

-70+1

35

1225

+70+1

1296

36

1296

140+4

-320+16

1369

37

1369

-240+9

1444

38

1444

-160+4

1521

39

1521

-80+1

40

1600

+80+1

1681

41

1681

+160+4

1764

42

1764

+240+9

1849

43

1849

+320+16

-180+4

1936

44

1936

-90+1

45

2025

+90+1

2116

46

2116

+180+4

-400+16

2209

47

2209

 

-300+9

2304

48

2304

-200+4

2401

49

2401

-100+1

50

2500

+100+1

2601

51

2601

+200+4

2704

52

2704

+300+9

2809

53

2809

+400+16

-200+4

2916

54

2916

-110+1

55

3025

+110+1

3136

56

3136

+220+4

-480+16

3249

57

3249

-360+9

3364

58

3364

-240+4

3481

59

3481

-120+1

60

3600

+120+1

3721

61

3721

+240+4

3844

62

3844

+360+9

3969

63

3969

+480+16

-260+4

4096

64

4096

-130+1

65

4225

+130+1

4356

66

4356

+260+4

-560+16

4489

67

4489

-420+9

4624

68

4624

-280+4

4761

69

+140+1

4761

-140+1

70

4900

+140+1

5041

71

5041

+280+1

5184

72

5184

+420+1

 

5329

73

5329

+560+1

-300+4

5476

74

5476

-150+1

75

5625

+150+1

5776

76

5776

+300+4

-640+16

5929

77

5929

-480+9

6084

78

6084

-320+4

6241

79

6241

-160+1

80

6400

+160+1

6561

81

6561

+320+4

6724

82

6724

+480+9

6889

83

6889

+640+16

-340+4

7056

84

7056

-170+1

85

7225

+170+1

7396

86

7396

+340+4

-720+16

7569

87

7569

-540+9

7744

88

7744

-360+4

7921

89

7921

-180+1

90

8100

+180+1

8281

91

8281

+360+4

8464

92

8464

+540+9

8649

93

8649

+720+16

-380+4

8836

94

8836

-190+1

95

9025

+190+1

9216

96

9216

+380+4

-800+16

9409

97

9409

-600+9

9604

98

9604

-400+4

9801

99

9801

-200+1

100

10000

+200+1

10201

101

10201

+400+4

10404

102

10404

+600+9

10609

103

10609

+800+16

10816

104

10816

 

 

 

 

 

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