NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres et MAGIE

 

Débutants

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Énigmes & Magie

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Magie

 

Énigmes

 

Calcul mental

105 / 165

Pépites

Grille magique

Âge deviné

Nombre deviné

Les 30 euros

1 089

1 667

2,8 106

 

Sommaire de cette page

 

>>> Tour de magie

>>> Explications

>>> Magie d'un coup d'œil

>>> Multiples de 99

>>> Je devine le chiffre manquant

 

Retour DicoNombre Nombre 1089

 

 

 

Multiplications magiques

 

Les nombres 10678 et 10EF16 possèdent les mêmes propriétés

Voir Nombre 1089 / Carré magique avec 1089 / Pépites numériques

 

 

Pour commencer un tour de magie avec comme base le nombre 111 111

Demander à quelqu'un de taper un nombre de 1 à 900 sur la calculette, un nombre positif avec chiffres différents.

Multipliez par 3, puis par 7, par 37, par 11 et enfin par 13.

Demandez à voir le nombre. Vous pariez que vous retrouverez le nombre de départ qui semble pourtant bien caché!

Voir Solution

 

 

TOUR DE MAGIE

Tour de magie

Exemple

*   Prenez un nombre de trois chiffres.

N = 853

*   Formez un deuxième nombre en renversant l'ordre des chiffres.

Nr = 358

*   Soustraire le plus petit du plus grand.

M = N – Nr

= 495

*   Retournez ce nouveau nombre.

Mr = 594

*   Ajoutez ces deux nombres.

M + Mr

= 495 + 594

*   Le résultat est toujours*.

= 1 089

 

Mise en scène

*           Avant de faire le tour, inscrire 1089 sur un papier.

*           Retourner ce papier (ou le mettre dans une enveloppe).

*           Faire le tour indiqué.

*           Avant de donner le résultat final, pariez que vous avez devinez le nombre qui va arriver.

Note

*           Il est plus facile de faire ce tour en ayant une calculette.

*           À la fin avant d'appuyer sur le signe égal, dire je te parie que j'ai deviné le résultat

 

*Attention

*           Choisir des nombres non palindromes,

car le retourné est identique et leur différence est nulle.

Exemple: 323 – 323 = 0

*           Et dont valeur absolue de la différence entre le chiffre des centaines et le chiffre des unités soit supérieure ou égale à 2.

Exemple: 837 – 738 = 99

 

 

 

EXPLICATIONS

 

Premier théorème

 

Un nombre de trois chiffres

soustrait à son retourné

donne toujours un multiple de 99.

N = 853

Nr = 358

N - Nr = 495 = 99 x 5

 

Démonstration

Explication

Formulation

*   Nombre de trois chiffres.

N = abc

*   Développement en puissances de 10.

N = 100.a + 10.b + c

*   Retournement du nombre.

Nr = 100.c + 10.b + a

*   Soustraction:

Le plus grand moins le plus petit.

N – Nr

= 100 (a–c) – (a–c)

= 99 (a-c)

*   La différence est bien multiple de 99.

N – Nr = 99.k

Voir Illustration

 

 

 

Deuxième théorème

Tous les multiples, de 2 à 10, de 99

ajouté à son retourné

donne 1 089.

M = 5 x 99 = 495

Mr = 594

M + Mr = 1 089

 

 

Démonstration

Explication

Formulation

*   Un multiple de 99.

M = 99.k

*   Formulons autrement, avec 100.

M = (100 – 1) k

*   On développe.

M = 100.k – k

*   Le retourné pourrait être:

Mr = 100.k – k

*   Pas possible, car il faut bien faire attention aux puissances de dix.

*   et, surtout, il faut que  leur coefficient soit positif (ce qui n'est pas le cas pour M avec moins k).

M = 100.k – k

*   Il faut trouver une astuce pour rendre -k positif.

*   On emprunte 100 aux centaines.

M = 100(k – 1) + 100 – k

*   On emprunte 10 aux dizaines.

M = 100(k – 1) + 90 + 10 – k

*   On a ainsi (k - 1) centaines; 9 dizaines et (10 - k) unités.

*   Avec k compris entre 2 et 9, (10 - k) est bien positif, de même que (k - 1).

Centaines:  (k – 1) > 0

Dizaines:    9

Unités:       10 - k > 0

*   Retourné.

Mr = 100(10 – k) + 90 + (k–1)

*   Somme du multiple de 99

et de son retourné.

 M + Mr

= 100(k – 1) + 90 + 10 – k

+ 100(10 – k) + 90 + (k1)

= 100 (10 – 1 ) + 180 + 10 – 1

= 900 + 180 + 9

*   Ce qu'il fallait démontrer.

= 1 089

 

 

 

Illustration

99

x  k

= N

Nr

N + Nr

99

1

99

99

198

2

198

891

1089

3

297

792

1089

4

396

693

1089

5

495

594

1089

6

594

495

1089

7

693

396

1089

8

792

297

1089

9

891

198

1089

10

990

99

1089

11

1089

9801

10890

12

1188

8811

9999

13

1287

7821

9108

14

1386

6831

8217

15

1485

5841

7326

 

Conclusions: pour k = 1 à 10

*           Le multiple de 99 (N) présente un 9 au centre et une somme égale à 9 pour les deux chiffres qui l'encadrent.

*           Le retourné Nr de N présente le même motif.

*           Leur somme donne toujours 1089.

 

 

 

Bellydancing Bellydance Bellydancers

 

MAGIE d'un coup d'œil

Tour et explications en un tableau

Tour de magie

Exemple

Explication

*     Prenez un nombre de trois chiffres.

N = 853

N = 100.a + 10.b + c.

*     Formez un deuxième nombre en renversant l'ordre des chiffres.

Nr = 358

Nr = 100.c + 10.b + a

*     Soustraire le plus petit du plus grand.

M = N - Nr

= 495

M = N – Nr

= 100a – 100c + c–a

= 100a – 100c – 100 + 90 + 10 + c – a

= 100( a – c – 1) + 90 + 10 + c – a

*     Retournez ce nouveau nombre.

Mr = 594

Mr = 100(10 + c – a) + 90 + a – c – 1

*     Ajoutez ces deux nombres.

S = M + Mr

= 495 + 594

S = M + Mr

= 100( a – c – 1) + 90 + 10 + c – a

+ 100(10 + c – a) + 90 + a – c – 1

= 100 (10–1) + 90 + 90 + 10 – 1

*     Le résultat est toujours:

S = 1 089

S = 900 + 180 + 9 = 1 089

 

 

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MULTIPLES DE 99

 

Rappel   Voir >>>

Un nombre de trois chiffres

soustrait à son retourné

donne toujours un multiple de 99

 

*           Sauf dans le cas ou le nombre et son retourné son égaux
      (comme 101 - 101 = 0)

*           Les diviseurs (k) se succèdent dans un ordre croissant, décroissant ou croissant puis décroissant
(exemples surlignés de couleur dans le tableau)

 

On indique que:

*           Deux traits verticaux signifient: valeur absolue.

*           Autrement-dit, on soustrait toujours le plus petit du plus grand, de manière à donner un résultat positif.

 

 

N

Nr

S =N – Nr

k = S /99

100

1

99

1

101

101

0

0

102

201

99

1

103

301

198

2

104

401

297

3

105

501

396

4

106

601

495

5

107

701

594

6

108

801

693

7

109

901

792

8

110

11

99

1

111

111

0

0

112

211

99

1

113

311

198

2

114

411

297

3

115

511

396

4

116

611

495

5

117

711

594

6

118

811

693

7

119

911

792

8

120

21

99

1

121

121

0

0

122

221

99

1

123

321

198

2

124

421

297

3

125

521

396

4

126

621

495

5

127

721

594

6

128

821

693

7

129

921

792

8

130

31

99

1

….

 

 

 

616

616

0

0

617

716

99

1

618

816

198

2

619

916

297

3

620

26

594

6

621

126

495

5

622

226

396

4

623

326

297

3

624

426

198

2

625

526

99

1

626

626

0

0

627

726

99

1

628

826

198

2

629

926

297

3

630

36

594

6

631

136

495

5

632

236

396

4

633

336

297

3

634

436

198

2

635

536

99

1

636

636

0

0

637

736

99

1

638

836

198

2

639

936

297

3

640

46

594

6

641

146

495

5

642

246

396

4

643

346

297

3

644

446

198

2

645

546

99

1

646

646

0

0

 

 

 

969

969

0

0

970

79

891

9

971

179

792

8

972

279

693

7

973

379

594

6

974

479

495

5

975

579

396

4

976

679

297

3

977

779

198

2

978

879

99

1

979

979

0

0

980

89

891

9

981

189

792

8

982

289

693

7

983

389

594

6

984

489

495

5

985

589

396

4

986

689

297

3

987

789

198

2

988

889

99

1

989

989

0

0

990

99

891

9

991

199

792

8

992

299

693

7

993

399

594

6

994

499

495

5

995

599

396

4

996

699

297

3

997

799

198

2

998

899

99

1

999

999

0

0

 

Bellydancing Bellydance Bellydancers

 

 

 

Je devine le chiffre manquant

Explications

Exemple

Le truc

 

*    Faites choisir un nombre de trois chiffres.

*    Le multiplier par1089 (calculette).

 

321

349 569

1089 est divisible par 9; c'est un multiple de 9.

 

En le multipliant par N (le nombre proposé), le produit reste un multiple de 9.

 

La preuve pas neuf donne toujours 9 ou 0.

 

*    Demander combien de chiffres. Si c'est 6, poursuivez.

*    Dis-moi cinq de ces chiffres dans n'importe quel ordre, je vais deviner le chiffre manquant.

 

6

 

9, 9, 5, 6 et 4

*    J'additionne mentalement ces chiffres comme pour la preuve par 9

9 => 0

+ 9 => 0

+ 5 => 5

+ 6 => 11 => 2

+ 4 => 6

*    J'annonce le complément à 9

9 – 6 = 3

 

*    Si la somme des chiffres est 0 ou 9. Il y a un problème: le chiffre manquant est soit 0 soit 9.

 

3, 4, 9, 5, 6 =>

9 => 0

Idée de dialogue: ce n'est tout de même pas le 0? S'il répond non, annoncez que c'est le 9.

Voir Autres tours avec la preuve par neuf come explication

 

 

 

Variante

Explications

Exemple

Le truc

*    Choisir un chiffre:

7

Ce tour ne marche pas à tous les coups!

 

Il compte sur le fait que la probabilité d'avoir des 3, 6 ou 9 parmi les nombres choisis pour multiplier est grande.

 

Ici, nous avons 6 et 84 qui sont divisibles par3 et leur produit est divisible par 9.

 

*    Multipliez-le plusieurs fois par des nombres pris au hasard de sorte que le produit final possède sept chiffres.

7

 x 13 = 91

x 6 = 546

x 127 = 69 342

x 84 = 5 824 728

 

*    Demandez six chiffres:

8, 2, 4, 2, 7, 5

*    Je fais la somme:

8 + 2 = 10 => 1

+ 4 + 2 = 7

+ 7 = 14 => 5

+ 5 = 10 => 1

*    Puis, le complément à 9:

9 – 1 = 8

 

 

Suite

*    Nombres retournés (symétriques)

*    Magie - Index

Voir

*    Paradoxes

*    Jeux

*    Palindromes à retournement

*    Nombres retournés

*    Repdigit en 9

DicoNombre

*    Nombre 1 089

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