NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres et MAGIE

 

Débutants

Général

Énigmes & Magie

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Magie

 

Énigmes

 

Calcul mental

105 / 165

Pépites

Grille magique

Âge deviné

Nombre deviné

Les 30 euros

1 089

1 667

2,8 106

 

Sommaire de cette page

 

>>> Tour de magie

>>> Explications

>>> Magie d'un coup d'œil

>>> Multiples de 99

>>> Je devine le chiffre manquant

 

Retour DicoNombre Nombre 1089

 

 

 

Multiplications magiques

 

Les nombres 10678 et 10EF16 possèdent les mêmes propriétés

Voir Pépites

 

 

 

 

Pour commencer un tour de magie avec comme base le nombre 111 111

Demander à quelqu'un de taper un nombre de 1 à 900 sur la calculette, un nombre positif avec chiffres différents.

Multipliez par 3, puis par 7, par 37, par 11 et enfin par 13.

Demandez à voir le nombre. Vous pariez que vous retrouverez le nombre de départ qui semble pourtant bien caché!

Voir Solution

 

 

TOUR DE MAGIE

Tour de magie

Exemple

*   Prenez un nombre de trois chiffres.

N = 853

*   Formez un deuxième nombre en renversant l'ordre des chiffres.

Nr = 358

*   Soustraire le plus petit du plus grand.

M = N – Nr

= 495

*   Retournez ce nouveau nombre.

Mr = 594

*   Ajoutez ces deux nombres.

M + Mr

= 495 + 594

*   Le résultat est toujours*.

= 1 089

 

Mise en scène

*           Avant de faire le tour, inscrire 1089 sur un papier.

*           Retourner ce papier (ou le mettre dans une enveloppe).

*           Faire le tour indiqué.

*           Avant de donner le résultat final, pariez que vous avez devinez le nombre qui va arriver.

Note

*           Il est plus facile de faire ce tour en ayant une calculette.

*           À la fin avant d'appuyer sur le signe égal, dire je te parie que j'ai deviné le résultat

 

*Attention

*           Choisir des nombres non palindromes,

car le retourné est identique et leur différence est nulle.

Exemple: 323 – 323 = 0

*           Et dont valeur absolue de la différence entre le chiffre des centaines et le chiffre des unités soit supérieure ou égale à 2.

Exemple: 837 – 738 = 99

 

 

 

EXPLICATIONS

 

Premier théorème

 

Un nombre de trois chiffres

soustrait à son retourné

donne toujours un multiple de 99.

N = 853

Nr = 358

N - Nr = 495 = 99 x 5

 

Démonstration

Explication

Formulation

*   Nombre de trois chiffres.

N = abc

*   Développement en puissances de 10.

N = 100.a + 10.b + c

*   Retournement du nombre.

Nr = 100.c + 10.b + a

*   Soustraction:

Le plus grand moins le plus petit.

N – Nr

= 100 (a–c) – (a–c)

= 99 (a-c)

*   La différence est bien multiple de 99.

N – Nr = 99.k

Voir Illustration

 

 

 

Deuxième théorème

Tous les multiples, de 2 à 10, de 99

ajouté à son retourné

donne 1 089.

M = 5 x 99 = 495

Mr = 594

M + Mr = 1 089

 

 

Démonstration

Explication

Formulation

*   Un multiple de 99.

M = 99.k

*   Formulons autrement, avec 100.

M = (100 – 1) k

*   On développe.

M = 100.k – k

*   Le retourné pourrait être:

Mr = 100.k – k

*   Pas possible, car il faut bien faire attention aux puissances de dix.

*   et, surtout, il faut que  leur coefficient soit positif (ce qui n'est pas le cas pour M avec moins k).

M = 100.k – k

*   Il faut trouver une astuce pour rendre -k positif.

*   On emprunte 100 aux centaines.

M = 100(k – 1) + 100 – k

*   On emprunte 10 aux dizaines.

M = 100(k – 1) + 90 + 10 – k

*   On a ainsi (k - 1) centaines; 9 dizaines et (10 - k) unités.

*   Avec k compris entre 2 et 9, (10 - k) est bien positif, de même que (k - 1).

Centaines:  (k – 1) > 0

Dizaines:    9

Unités:       10 - k > 0

*   Retourné.

Mr = 100(10 – k) + 90 + (k–1)

*   Somme du multiple de 99

et de son retourné.

 M + Mr

= 100(k – 1) + 90 + 10 – k

+ 100(10 – k) + 90 + (k1)

= 100 (10 – 1 ) + 180 + 10 – 1

= 900 + 180 + 9

*   Ce qu'il fallait démontrer.

= 1 089

 

 

 

Illustration

99

x  k

= N

Nr

N + Nr

99

1

99

99

198

2

198

891

1089

3

297

792

1089

4

396

693

1089

5

495

594

1089

6

594

495

1089

7

693

396

1089

8

792

297

1089

9

891

198

1089

10

990

99

1089

11

1089

9801

10890

12

1188

8811

9999

13

1287

7821

9108

14

1386

6831

8217

15

1485

5841

7326

 

Conclusions: pour k = 1 à 10

*           Le multiple de 99 (N) présente un 9 au centre et une somme égale à 9 pour les deux chiffres qui l'encadrent.

*           Le retourné Nr de N présente le même motif.

*           Leur somme donne toujours 1089.

 

 

 

Bellydancing Bellydance Bellydancers

 

MAGIE d'un coup d'œil

Tour et explications en un tableau

Tour de magie

Exemple

Explication

*     Prenez un nombre de trois chiffres.

N = 853

N = 100.a + 10.b + c.

*     Formez un deuxième nombre en renversant l'ordre des chiffres.

Nr = 358

Nr = 100.c + 10.b + a

*     Soustraire le plus petit du plus grand.

M = N - Nr

= 495

M = N – Nr

= 100a – 100c + c–a

= 100a – 100c – 100 + 90 + 10 + c – a

= 100( a – c – 1) + 90 + 10 + c – a

*     Retournez ce nouveau nombre.

Mr = 594

Mr = 100(10 + c – a) + 90 + a – c – 1

*     Ajoutez ces deux nombres.

S = M + Mr

= 495 + 594

S = M + Mr

= 100( a – c – 1) + 90 + 10 + c – a

+ 100(10 + c – a) + 90 + a – c – 1

= 100 (10–1) + 90 + 90 + 10 – 1

*     Le résultat est toujours:

S = 1 089

S = 900 + 180 + 9 = 1 089

 

 

Bellydancing Bellydance Bellydancers

 

 

MULTIPLES DE 99

 

Rappel   Voir >>>

Un nombre de trois chiffres

soustrait à son retourné

donne toujours un multiple de 99

 

*           Sauf dans le cas ou le nombre et son retourné son égaux
      (comme 101 - 101 = 0)

*           Les diviseurs (k) se succèdent dans un ordre croissant, décroissant ou croissant puis décroissant
(exemples surlignés de couleur dans le tableau)

 

On indique que:

*           Deux traits verticaux signifient: valeur absolue.

*           Autrement-dit, on soustrait toujours le plus petit du plus grand, de manière à donner un résultat positif.

 

 

N

Nr

S =N – Nr

k = S /99

100

1

99

1

101

101

0

0

102

201

99

1

103

301

198

2

104

401

297

3

105

501

396

4

106

601

495

5

107

701

594

6

108

801

693

7

109

901

792

8

110

11

99

1

111

111

0

0

112

211

99

1

113

311

198

2

114

411

297

3

115

511

396

4

116

611

495

5

117

711

594

6

118

811

693

7

119

911

792

8

120

21

99

1

121

121

0

0

122

221

99

1

123

321

198

2

124

421

297

3

125

521

396

4

126

621

495

5

127

721

594

6

128

821

693

7

129

921

792

8

130

31

99

1

….

 

 

 

616

616

0

0

617

716

99

1

618

816

198

2

619

916

297

3

620

26

594

6

621

126

495

5

622

226

396

4

623

326

297

3

624

426

198

2

625

526

99

1

626

626

0

0

627

726

99

1

628

826

198

2

629

926

297

3

630

36

594

6

631

136

495

5

632

236

396

4

633

336

297

3

634

436

198

2

635

536

99

1

636

636

0

0

637

736

99

1

638

836

198

2

639

936

297

3

640

46

594

6

641

146

495

5

642

246

396

4

643

346

297

3

644

446

198

2

645

546

99

1

646

646

0

0

 

 

 

969

969

0

0

970

79

891

9

971

179

792

8

972

279

693

7

973

379

594

6

974

479

495

5

975

579

396

4

976

679

297

3

977

779

198

2

978

879

99

1

979

979

0

0

980

89

891

9

981

189

792

8

982

289

693

7

983

389

594

6

984

489

495

5

985

589

396

4

986

689

297

3

987

789

198

2

988

889

99

1

989

989

0

0

990

99

891

9

991

199

792

8

992

299

693

7

993

399

594

6

994

499

495

5

995

599

396

4

996

699

297

3

997

799

198

2

998

899

99

1

999

999

0

0

 

Bellydancing Bellydance Bellydancers

 

 

 

Je devine le chiffre manquant

Explications

Exemple

Le truc

 

*    Faites choisir un nombre de trois chiffres.

*    Le multiplier par1089 (calculette).

 

321

349 569

1089 est divisible par 9; c'est un multiple de 9.

 

En le multipliant par N (le nombre proposé), le produit reste un multiple de 9.

 

La preuve pas neuf donne toujours 9 ou 0.

 

*    Demander combien de chiffres. Si c'est 6, poursuivez.

*    Dis-moi cinq de ces chiffres dans n'importe quel ordre, je vais deviner le chiffre manquant.

 

6

 

9, 9, 5, 6 et 4

*    J'additionne mentalement ces chiffres comme pour la preuve par 9

9 => 0

+ 9 => 0

+ 5 => 5

+ 6 => 11 => 2

+ 4 => 6

*    J'annonce le complément à 9

9 – 6 = 3

 

*    Si la somme des chiffres est 0 ou 9. Il y a un problème: le chiffre manquant est soit 0 soit 9.

 

3, 4, 9, 5, 6 =>

9 => 0

Idée de dialogue: ce n'est tout de même pas le 0? S'il répond non, annoncez que c'est le 9.

Voir Autres tours avec la preuve par neuf come explication

 

 

 

Variante

Explications

Exemple

Le truc

*    Choisir un chiffre:

7

Ce tour ne marche pas à tous les coups!

 

Il compte sur le fait que la probabilité d'avoir des 3, 6 ou 9 parmi les nombres choisis pour multiplier est grande.

 

Ici, nous avons 6 et 84 qui sont divisibles par3 et leur produit est divisible par 9.

 

*    Multipliez-le plusieurs fois par des nombres pris au hasard de sorte que le produit final possède sept chiffres.

7

 x 13 = 91

x 6 = 546

x 127 = 69 342

x 84 = 5 824 728

 

*    Demandez six chiffres:

8, 2, 4, 2, 7, 5

*    Je fais la somme:

8 + 2 = 10 => 1

+ 4 + 2 = 7

+ 7 = 14 => 5

+ 5 = 10 => 1

*    Puis, le complément à 9:

9 – 1 = 8

 

 

Suite

*    Nombres retournés (symétriques)

*    Magie - Index

Voir

*    Paradoxes

*    Jeux

*    Palindromes à retournement

*    Nombres retournés

*    Repdigit en 9

DicoNombre

*    Nombre 1 089

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