NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres PREMIERS

 

Débutants

Nombres

Premiers

ORDRE arithmétique

 

Glossaire

Nombres

Premiers

 

 

INDEX

 

Nombres premiers

 

P = 4n ± 1

P = 30 k + P'

Séquence en 31

Barre magique

P = 6n ± 1

P = 6n ± 1 Liste

Somme en 6n – 1

 

Sommaire de cette page

>>> Multiples de 6

>>> Premiers et semi-premiers  

>>> Résumé pour n jusqu'à 100

>>> Test de primalité

>>> Programmation

>>> Somme des chiffres

>>> Démonstrations bonus

 

 

 

  

 

Nombres premiers

P = 6k  1

 

 

 

Multiples de 6

 

Divisibilité

Les multiples de 6 sont évidemment divisibles par 6. Entre deux multiples de 6 (disons de 6 à 12), il y a cinq nombres qui, divisés par 6, donnent les restes successifs: r = {1, 2, 3, 4 et 5}.  Et, il n'y en a pas d'autres.

On écrit ces nombres N = 6k + r.
Avec r = {0, 2, 3 et 4}, le nombre est divisible par {6, 2, 3 et 2} respectivement. Alors, N n'est pas premier.

Les deux seuls cas pour lesquels N est susceptible d'être premier sont:
r = {1 ou 5}. Dans le deuxième cas:
6k + 5 = 6k + 6 – 1 = 6k' – 1.

Soit d'une manière générique:
Les nombres premiers sont voisins d'un multiple de 6:
                               
P = 6k  1  

 

 

Barre magique des premiers: tous les nombres premiers sont voisins d'un multiple de 6

(sauf 2 et 3; notez 2 x3 = 6)

 

 

Voir  Barre magique des nombres premiers 

 

 

 

PREMIERS et semi-premiers

 

Nombres premiers

 

Tous les nombres premiers > 3

sont de la forme 6k  1

 Voir Cercles en 6

 

Condition nécessaire, mais pas suffisante

Nécessaire

Premiers

Pas suffisant

Composés

5 = 6 x 1 – 1

35 = 6 x   6 – 1

7 = 6 x 1 + 1

65 = 6 x 11 – 1

 

 

 

Carré des premiers

Tous les premiers au carré (P5) sont multiples de 24 + 1.

 

 

P² = 24k + 1

7² = 49 = 2 x 24 + 1

11² = 121 = 5 x 24 + 1

 

Voir Divisibilité par 24

 

Semi-premiers

 

Tous les nombres semi-premiers sont aussi

de la forme 6k  1

 

Un nombre semi-premier est un nombre composé ayant deux facteurs premiers. Chaque facteur est alors en 6k  1 et le produit des deux est également de la même forme:

(6k + 1)(6h + 1) = 36kh + 6k + 6h + 1

(6k + 1)(6h – 1) = 36kh – 6k + 6h – 1

(6k – 1)(6h – 1) = 36kh – 6k – 6h + 1

Tous de la forme 6k1

Voir Explications

 

Famille des voisins de 6k

 

Tous les nombres premiers et les nombres semi-premiers appartiennent à cette famille; mais ils ne sont pas les seuls.

La famille comporte des nombres composés à plus de deux diviseurs propres. Le plus petit est:
175 = 5 x 5 x 7 = 6 x 29 + 1

 

 

 

Résumé jusqu'à 100

Premier en (6k – 1): 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89

Voir  Suite tableau

 

Premier en (6k + 1): 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97

Voir  Suite tableau

 

Semi-premiers en (6k1): 25 = 5x5, 35 = 5x7, 49 = 7x7, 55 = 5x11, 65 = 5x13, 77 = 7x11, 85 = 5x17, 91= 7x13, 95 = 5x19.

 

Cas des nombres en (6k1) non premier et non semi-premiers: 175, 245, 275, 325, 385, 425, 455, 475, 539, 575, 595, 605, 625, 637, 665, 715, 725, 775, 805, 833, 845, 847, 875, 925, 931, 935 …

 

 

Test de primalité

 

Dans la famille des voisins de 6k, les nombres sont:

*       soit premier en 6k1

*       soit composés
(semi-premiers ou non) en
6k1

 

Un nombre composé de la famille est lui-même composé de facteurs de la même famille.

 

Avec deux facteurs:

N = 6M + 1 = (6k + 1)(6h + 1)
                    = 6 (6kh + k + h ) + 1

    => M = 6kh + k + h

(même raisonnement en introduisant les signes négatifs).

 

Avec trois facteurs:

N = 6Q + 1 = (6k + 1)(6h + 1) (6n + 1)
                    =        (6M + 1)       (6n +1)

 

Etc. Quelle que soit la quantité de facteurs.

 

 

Pour N > 3

 

Réf. History of the Theory of Numbers, Volume I: Divisibility and Primality

Leonard Eugene Dickson – Page 426

Si donc pour un membre de cette famille, il est possible de trouver des valeurs de k et h, alors le nombre est composé, sinon il est premier.

 

Exemples

175 = 6 x 29 + 1 = 6 (6 x 1 x 4 + 1 + 4)

                              = 6 (6 x 1 x 6 – 1 – 4)

175 = 5 x 5 x 7 => Composé, non semi-premier.

 

Comment calculer k et h?

Prenons N = 4 633
               = 6 x 772 + 1

 

kh + k + h = 772

Un passage au tableur en plus et en moins pour k, donne: k= - 7 et h = -19

4 633 = (6x7 – 1) (6x19 -1) = 41 x 113

Nombre qui est semi-premier

 

 

Merci à H.S. SIDI pour tous ses travaux sur cette propriété

 

 

Programmation

 

Commentaires

Appel du logiciel de théorie des nombres.

Boucle de test des nombres de 5 à 250 en excluant les nombres pairs.

Préparation de trois indicateurs.

Exclusion des nombres pairs et divisibles par 3.

 

Premier test si le nombre est en 6M + 1.  Si oui T prend la valeur 1, témoin du passage dans cette boucle.

Deux boucles en k et h pour chercher pour quelles valeurs éventuelles on retrouve l'une de nos deux égalités. Si trouvé, on en témoigne en mettant l'indicateur Tp à 1.

 

Deuxième test si le nombre est en 6M – 1.  Si oui T prend la valeur 1, témoin du passage dans cette boucle.

Deux boucles en k et h pour chercher pour quelles valeurs éventuelles on retrouve l'une de nos deux égalités. Si trouvé, on en témoigne en mettant l'indicateur Tm à 1.

 

Si  T = 0,  le nombre n'est pas en 6k  1; il est composé. On fait imprimer le nombre N, suivi de C. Si le théorème est vrai, on ne doit avoir aucune sortie par là.

 

Sinon T = 1.

Si Tp et Tm sont à 0, c'est qu'une des égalités n'a été satisfaites et le nombre est premier.

 

Sinon, le nombre est semi-premier  ou composé.

On reconnait les semi-premiers en comptant les diviseurs propres (q = 2, 1 ou 0) en tenant compte des carrés.

 

 

 

 

 

Affichage

 

Les multiples de 2 et de 3 ne sont pas présents.

 

Les nombres premiers sont mis en évidence avec le mot "true" (vrai) qui ressort à droite.

 

Les semi-premiers (hors ceux avec les facteurs 2 et 3) sont listés avec leurs deux facteurs.

 

On montre le nombre 175 qui le plus petit nombre de la famille des voisins de 6k et qui n'est ni premier, ni semi-premier.

 

 

Bilan

Cette liste ne constitue en rien une preuve du théorème, mais une vérification pour les premières valeurs de N.

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

Somme des chiffres des PREMIERS

 

*      Le fait qu'un nombre premier est un multiple de 6 plus ou moins 1 permet de déduire une propriété sur la somme des chiffres.

*      Un nombre premier n'est jamais divisible par 3. Ce qui est clair même sans la formulation ci-contre.

*      Dans la preuve par neuf, on fait la somme des chiffres qui donne la racine numérique du nombre.

Or le nombre et sa racine numérique ont les mêmes propriétés de divisibilité.

 

La racine numérique d'un nombre premier supérieur à 3 n'est jamais 0, 3, 6 ou 9.

 

Propriété des premiers

P = 6k  1

 

Divisibilité par 3 ?

P mod 3 = (6k   1) mod 3

     = 6k mod 3   1  mod 3

     =        0          1  mod 3

 

Racine numérique

Rn(P) =   1 mod 3

Rn(P)      0 mod 3

Rn(P)      {0, 3, 6, 9}

 

 

 

                                                                                                                        

Démonstrations (bonus)

 

Si un nombre premier est de la forme 3k + 1, alors il est de la forme 6k + 1.

 

Ex: 31 = 3 x 10 + 1 =  6 x 5 + 1

 

Tous les nombres premiers sont en 6K + 1 ou 6K – 1  que l'on peu écrire:
 (3x2)K + 1 = 3k + 1 ou (3x2)K – 1 = 3k – 1

Seule possibilité pour 3k + 1 => 6K + 1

Tout nombre positif composé de la forme 4k + 3 doit avoir un facteur en 4k + 3.

 

Ex: 143 = 35 x 4 + 3

      143 = 11 x 13 et 11 = 4 x 2  + 3

 

Le nombre en 4k + 1 est impair.

Donc pas de facteur en 4k ou 4k + 2.

Reste 4k + 1 et 4k + 3.

Le nombre est composé et comporte au moins deux facteurs

Si l'autre est unique et en 4h + 1, avec le premier facteur en 4k + 1 , le produit (4k + 1)(4h + 1)  = 4(kh+k+h) + 1 serait encore en 4K + 1 et non 4K + 1

Donc, l'autre facteur doit être en 4k + 3.

 

 

Tout nombre positif composé de la forme 6k + 5 doit avoir un facteur en 6k + 5.

Notez que les nombres en 6k + 5 sont souvent premiers.

 

Ex: 161 = 26 x 6 + 5

       161 = 7 x 23 et 23 = 6 x 3 + 5

 

Un nombre en 6k + 5 est impair et aucun facteur ne peut être en 6k, 6k + 2, 6k + 3 ou 6k + 4.

Donc, tous les facteurs en 6k + 1 ou 6k + 5.

S'il n'y a avait que des 6k + 1, le nombre serait en 6k + 1. Alors, un des facteurs est nécessairement en 6k + 5.

 

Le carré d'un nombre premier (>4) moins 1 est divisible par 24.

 

Exemples

 Voir Divisibilité par 24

 

Anglais: if p is a prime number greater than or equal to 5, then there exists an integer k such that p = sqrt (24k + 1).This is equivalent to proving:

 if p is a prime >= 5, then p^2 = 1 mod 24.

 

 

Il faut démontrer:

 

Si P = 6k + 1

Alors en mod 24

*      P = 24k + 1    et    P² = 24h + 1

*      P = 24k + 7     et    P² = 24h + 49 = 24h' + 1

*      P = 24k + 13   et    P² = 24h + 169 = 24h' + 1

*      P = 24k + 19   et    P² = 24h + 361 = 24h' + 1

 

Même type de calcul pour 6k – 1

 

Dans tous les cas le reste est égal à 1.

 

 

 

 

Voir

*    Barre magique des nombres premiers 

*    Conjecture des premiers plus ou moins 6n

*    Succession de premiers

*    Premiers en tableaux

*    Formules pour les premiers

*    Nombres premiersIndex

*    FAQ sur les nombres premiers

Aussi

*    Liste de nombres premiers

 

*    Ératosthène

*    Facteurs premiers autour de 1000

*    Nombres composés

*    Premiers en tableaux

*    Premiers en tableaux, en spirales …

*    Représentation des nombres

*    Représentation des nombres

*    Théorie des nombres

Site

*    Properties of the integers 6n1

*    La page des nombres premiers
de Chris Caldwell – La référence du domaine

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/sequenc6.htm