NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres PREMIERS

 

Débutants

Nombres

Premiers

ORDRE arithmétique

 

Glossaire

Nombres

Premiers

 

 

INDEX

 

Nombres premiers

 

P = 4n ± 1

P = 30 k + P'

Séquence en 31

Barre magique

P = 6n ± 1

P = 6n ± 1 Liste

Somme en 6n – 1

 

Sommaire de cette page

>>> Les premiers sont en 6n ± 1  

>>> Démonstration

>>> Séquence en 6n – 1

>>> Séquence en 6n + 1

>>> Laquelle des deux

>>> Somme des chiffres

 

 

 

  

 

Nombres premiers

P = 6n ± 1

 

*    Peut-on caractériser les nombres premiers?

On sait qu'ils sont de la forme 4n ± 1

 

*    Autres formes possibles ?

Voir  Barre magique des nombres premiers 

 

 

 

LES PREMIERS sont en 6n ± 1

 

Condition nécessaire,

mais pas suffisante

 

Tous les nombres premiers > 3

sont de la forme 6n ± 1

 

Une conséquence

Tous les premiers au carré (P>5)  sont multiples de 24 + 1.

 

 

 

Nécessaire

Premiers

Pas suffisant

Composés

5 = 6 x 1 – 1

35 = 6 x   6 – 1

7 = 6 x 1 + 1

65 = 6 x 11 – 1

Voir Tableau

 

 

7² = 49 = 2 x 24 + 1

11² = 121 = 5 x 24 + 1

Voir Tableau

 

 

 

 

Démonstration

Prenons toutes les possibilités de division par 6

Reste 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.

Reste 0 => nombre en 6k

=> composé, divisible par 6

6k + 1

=> premier possible

6k + 2

=> composé, divisible par 2

6k + 3

 => composé, divisible par 3

6k + 4

=> composé, divisible par 2

6k + 5= 6(k + 1) - 1 = 6k' - 1

=> premier possible

Un nombre premier ne peut être que de la forme:

6n ± 1

 

 

ILLUSTRATION

Voir suite en Cercles et croix  en 4, 6 12 …

 

 

SÉQUENCE EN 6n - 1  

 

*    La séquence 6n - 1 fournit beaucoup de nombres premiers pour n petit.

 

 Liste

n

6n - 1

Premier

Np = Quantité

de premiers

Ratio Np / N

1

5

X

1

1

2

11

X

2

1

3

17

X

3

1

4

23

X

4

1

5

29

X

5

1

6

35

Non

5

0,83

7

41

X

6

0,86

8

47

X

7

0,88

9

53

X

8

0,89

10

59

X

9

0,90

 

Voir  Suite tableau

 

 

 

SÉQUENCE EN 6n + 1

 

*    La séquence 6n + 1 fournit aussi beaucoup de nombres premiers.

 

 

Liste

n

6n - 1

Premier

Np = Quantité

de premiers

Ratio Np / N

1

7

X

1

1

2

13

X

2

1

3

19

X

3

1

4

25

Non

3

0,75

5

31

X

4

0,80

 

Voir  Suite tableau

 

 

 

LAQUELLE DES DEUX par curiosité

 

Pour n >3

P

n = (P – 1) / 6

n = (P + 1) / 6

2

1/6

1/2

3

1/3

2/3

5

2/3

1

7

1

4/3

11

5/3

2

13

2

7/3

17

8/3

3

19

3

10/3

23

11/3

4

29

14/3

5

31

5

16/3

37

6

19/3

41

20/3

7

43

7

22/3

47

23/3

8

53

26/3

9

59

29/3

10

61

10

31/3

67

11

34/3

71

35/3

12

73

12

37/3

79

13

40/3

83

41/3

14

89

44/3

15

97

16

49/3

...

 

 

10007

5003/3

1668

10009

1668

5005/3

10037

5018/3

1673

10039

1673

5020/3

10061

5030/3

1677

10067

5033/3

1678

10069

1678

5035/3

10079

5039/3

1680

10091

5045/3

1682

10093

1682

5047/3

10099

1683

5050/3

 

Voir  Suite tableau

 

 

 

Somme des chiffres des PREMIERS

 

*      Le fait qu'un nombre premier est un multiple de 6 plus ou moins 1 permet de déduire une propriété sur la somme des chiffres.

*      Un nombre premier n'est jamais divisible par 3. Ce qui est clair sans même la formulation ci-contre.

*      Dans la preuve par neuf, on fait la somme des chiffres qui donne la racine numérique du nombre.

Or le nombre et sa racine numérique ont les mêmes propriétés de divisibilité.

 

La racine numérique d'un nombre premier supérieur à 3 n'est jamais 0, 3, 6 ou 9.

 

Propriété des premiers

P = 6k  1

 

 

 

Divisibilité par 3 ?

P mod 3 = (6k   1) mod 3

     = 6k mod 3   1  mod 3

     =        0          1  mod 3

 

 

 

 

Racine numérique

Rn(P) =   1 mod 3

Rn(P)      0 mod 3

Rn(P)      {0, 3, 6, 9}

 

 

 

 

 

 

Voir

*    Barre magique des nombres premiers 

*    Conjecture des premiers plus ou moins 6n

*    Succession de premiers

*    Premiers en tableaux

*    Formules pour les premiers

*    Nombres premiersIndex

*    FAQ sur les nombres premiers

Aussi

*    Liste de nombres premiers

 

*    Ératosthène

*    Facteurs premiers autour de 1000

*    Nombres composés

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*    Premiers en tableaux, en spirales …

*    Représentation des nombres

*    Représentation des nombres

*    Théorie des nombres

Site

*    La page des nombres premiers
de Chris Caldwell – La référence du domaine

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