NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Division

 

 

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Sommaire de cette page

>>> Division entière

>>> Résumé et preuve par neuf

>>> Pratique par l'exemple

>>> Un morceau de choix

 

 

 

 

 

DIVISION – AVANCÉ

 

Comment effectuer une division à deux chiffres ou plus;

normales et avec décimales

 

Toutes les étapes pas à pas

 

Rappel vocabulaire

 

Dividende

 

 

Diviseur

 

16

3

 

 

15

5

Quotient

Reste

1

 

 

Sous forme arithmétique

 

16 / 3 =  5 reste 1

 

3 x 5 + 1 = 16

 

 

On utilise plutôt la "barre oblique" que le 'deux points" pour symboliser la division

16 / 3 et non 16 : 3

 

Remarquez que le reste (1) est toujours strictement inférieur au diviseur (3), sinon le quotient (5) devrait être augmenté. On se souvient que le quotient est le plus grand nombre de paquets de 3 que je peux extraire de 16.

Retour à Initiation

 

 

DIVISION ENTIÈRE

En nombres entiers

Exemple: 14 789 à diviser par 67

 

1

4

7

8

9

6

7

 

Commentaires

1

 

 

 

 

 

 

 

Il s'agit de traiter le nombre à diviser 14 789 (le dividende) par tranches successives.

Voyons la première tranche possible.

Pour cela, j'abaisse 1.

Mais cette valeur 1 est manifestement inférieure à 67.

Pas possible de prendre ne serait-ce que une seule fois un "bloc de 67" dans 1.

1

4

 

 

 

 

 

 

Prenons une tranche plus grande du dividende.

Au suivant …

J'abaisse le 4; Mais 14 encore inférieur à 67.

Toujours pas possible de retirer des "blocs entiers de 67" à 14.

1

4

7

 

 

2

 

 

Poursuivons en prenant encore un chiffre supplémentaire au dividende.

Cette fois, c'est bon! Nous obtenons 147 qui est supérieur à 67

Je cherche alors combien de "blocs de 67" sont contenus dans 147.

Je trouve que 2 "blocs entiers de 67" sont contenus dans 147.

Car 2 fois 67 = 134, inférieur à 147, donc convient.

Mais 3 x 67 = 201, dépasse 147 et ne convient pas.

Le nombre 2 est bien la quantité maximale de "blocs entiers de 67" contenus dans 147.

1

3

4

 

 

 

 

 

Je retiens donc 2 "blocs de  67" du côté droit, en posant le 2 à droite (quotient).              (sous-entendu 2 "blocs de 67")

Ce qui revient à dire que je retiens 2 x 67 à droite

Ayant posé 2 x 67 du côté droit,

il me faut équilibrer les deux côtés de l'opération

et retirer 2 x 67 = 134 du côté gauche

Dis autrement, vous le comprenez maintenant,

La division consiste à aller piocher des "blocs de 67" à gauche

pour les basculer à droite sous la forme de "quantité de fois 67"

 

1

3

 

 

 

 

 

Je retranche donc à gauche les 134 que j'ai retenus à droite sous la forme de 2 "blocs de 67"

Ce qui donne la soustraction: 147 – 134 = 13

 

1

3

8

 

 

 

 

Nous venons de traiter une première tranche du dividende

Passons à la suivante

Elle est constituée du reste obtenu,

auquel, naturellement, il est désormais impossible de lui retirer encore un seul "bloc de 67"

Pour poursuivre, nous devons prendre une tranche supplémentaire du dividende 14 789

Pour cela, j'abaisse le chiffre suivant, le 8

 

1

3

4

 

 

2

 

Dans 138, combien de "blocs entiers de 67" puis-je retirer

Encore 2 blocs, mais pas plus

 

 

 

4

 

 

 

 

Équilibrons l'opération, en basculant 2 "blocs de 67" de la gauche vers la droite

J'ai posé 2 à droite

je retire 2 x 67 = 134 à gauche à 138; il reste 4

 

 

 

4

9

 

 

0

Poursuivons le "grignotage" tranche par tranche du dividende

J'abaisse le dernier chiffre 9

Et j'obtiens le nouveau nombre 49 à gauche

Duquel, je cherche à voir combien de "blocs entiers de 67" il contient

Évidemment, il n'y en a pas

Je le notifie néanmoins en plaçant 0 au quotient

Nous venons d'épuiser les tranches du dividende

Il n'y a plus de chiffre à abaisser

C'est la fin de la division entière

  

 

 

 

Résumé et preuve par neuf

 

 

Résultat

14 789 / 67 = 220

avec 49 pour reste

 

En effet

220 x 67 = 14 740
                 et en ajoutant 49 donne 14 789

 

 

 

 

En résumé (disposition classique)

 

1

4

7

8

9

6

7

 

1

4

7

 

 

2

2

0

1

3

4

 

 

 

 

1

3

 

 

 

1

3

8

 

 

1

3

4

 

 

 

 

4

 

 

 

 

4

9

Preuve par neuf

 

 

Voir Rappel du principe

 

 

Exemples avec disposition classique à la française

 

*    Cas où il faut abaisser deux chiffres en cascade, provoquant l'arrivée d'un 0 dans le quotient.

 


 

 

*    Cas où il faut abaisser plusieurs chiffres en cascade, provoquant l'arrivée de plusieurs 0 dans le quotient.

 

 

Un morceau de choix!

 

 

Notez la curiosité avec l'avant-dernier reste en 111…

Voir Multiplications pannumériques

 

 

 

 

 

Suite

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*    Division euclidienne (théorie)

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