NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Curiosités

 

Sommaire de cette page

>>> Approche & curiosité

>>> Somme numérique

>>> Preuve par 9

>>> Principe de la preuve par 9

>>> Vision modulo

>>> Signature numérique

 

 

 

 

 

SOMME NUMÉRIQUE d'un nombre

PREUVE par neuf

 

Le calcul de la somme (ou racine) numérique d'un nombre permet une vérification rapide des opérations. La preuve par neuf en est une application bien connue.

 

Voir Débutants / Preuve par neufGlossaire / Divisibilité par 9

 

 

APPROCHE & CURIOSITÉ

*    Prenons un nombre:

123

*    Ce nombre n'est pas divisible par 9 ?

123 = 13 x 9  + 6

*    Le reste de la division par 9 est:

                           6

*    Décomposons ce nombre:

123 = 100 + 20 + 3

*    Observons le reste de chaque terme en le divisant par 9 :

100 = 11 x 9 + 1

  20 =    2 x 9 + 2

     3 =    0 x 9 + 3

*    N'est-ce pas troublant: on retrouve le nombre du départ.

1, 2 & 3

*    Encore plus bluffant: la somme des chiffres est égale au reste de la division.

1 + 2 + 3 = 6

*    Encore une observation intéressante: la soustraction du nombre et du reste.

123 – 6 = 117

*    Or cette différence est aussi divisible par 9.

117 = 13 x 9

 

Retenons pour le moment, et sous réserve de preuves

 

 

Le reste de la division par 9 d'un nombre n = abc,

est la somme de ces chiffres r = a + b + c.

La différence n – r est divisible par 9.

 

 

 

Somme Numérique, ou Racine Numérique

 

*    La somme numérique est la somme des chiffres d'un nombre; la somme est éventuellement répétée jusqu'à obtenir un seul chiffre.

Note: la somme numérique d'un nombre formé de 9, est égale à 9. Ajouter un 9 ne change pas la somme numérique.

 

n = 456

SN = 4 + 5 + 6 = 15

SN = 1 + 5 = 6

 

n = 999

SN = 9 + 9 + 9 = 27

SN = 2 + 7 = 9

 

*    Le 9 est neutre dans la somme numérique. On l'élimine autant que possible.

 

Note: calcul rapide de la somme numérique en groupant les somme donnant 9, considéré comme 0 en l'occurrence.

 

n = 456

SN = 9 + 6

SN = 6

 

n = 123456789

SN = 1+8 + 2+7 +3+6 + 4+5 + 9

SN = 0

 

 

Preuve par neuf

 

 

 

Soit une opération arithmétique. Son image avec les sommes numériques est également correcte. C'est la preuve par neuf.

 

 

 

*    Si une opération est juste, la même opération sur les sommes numériques est également juste. Nous venons d'effectuer une preuve par neuf.

 

Notez bien que, si l'égalité des racines numériques est vraie, l'opération peut être fausse; il suffit que plusieurs erreurs se compensent pour donner les sommes numériques qui conviennent. Néanmoins, si l'égalité est fausse, il est certain que l'opération est fausse.

 

*    Il existe aussi une preuve par 11, un peu moins pratique, il est vrai.

 

 

 

 

PRINCIPE de la PREUVE PAR 9 

 

Observations

*    Notons tout de suite que 9 ne divise aucun des nombres: 10, 100, 1000 … 10n.

*    Voyons les restes de la division par 9 de ces nombres et leurs multiples:
 

 

Conclusion

 

 

Reste de (a x 10k / 9) = a

 

 

On dit: dans le monde de la division par 9, ce nombre a un reste égal à a.

Ou encore: en coupant le nombre en tranches (en modules) de 9, il reste un morceau égal à a.
En abrégé: ce nombre modulo 9
 a. (signe égal à trois barres pour montrer une "égalité" dans le monde des modulos)

 

Applications

 

 

 

Voir Calculs pratiques

 

 

VISION MODULO – Théorie

 

*    Exploitons la vision modulo pour formaliser les résultats que nous venons d'observer.

 

 

Le modulo 9 d'un nombre est la somme de ses chiffres,

soit sa somme numérique.

 

Conséquence

 

Tout nombre n = … + 1000 . m + 100 . c +  10 . d + a diminué de la somme de ses chiffres r = ... m + c + d + u est divisible par 9.

 

 

Cas de l'élimination des 9

 

*    Lors du calcul de r, on peut éliminer les 9 dès qu'ils apparaissent.

En effet: On cherche une différence divisible par 9. On peut y retirer autant de 9 que l'on veut, sans changer le caractère de divisibilité.
Si (n – a) est divisible par 9 alors (n – a – 9) est encore divisible par 9.

 

*    D'ailleurs, en anglais, la preuve par 9 est appelée Casting out nines (éliminer les neufs).

 

 

 

Signature numérique

 

Signature numérique des carrés

 

N et son carré; on calcule la racine numérique du carré. La suite de ces RN est:
1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1, 9,
1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1, 9,
1, 4 …

Le nombre récurrent est la signature numérique.

 

1 497 799 419

 

 

 

Signature numérique des cubes = 189

 

Nombres triangulaires

136 163 199

Nombres triangulaires centrés

141

Nombres carrés centrés

154 757 451

Auto-nombres

135 792 468

Nombres Demlo

149 779 419

Nombres pentagonaux

153 486 729

Nombres hexagonaux

166 193 139

 

 

 

 

 

Suite

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