NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Arithmétique et Théorie des nombres

 

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7 ^ 7 ^ 7

 

Sommaire de cette page

>>> Parité

>>> Applications

>>> Généralisation

 

 

  

 

 

PARITÉ

  

Une façon très particulière de compter:
            0 pour les nombres pairs et

               1 pour les nombres impairs.

C'est la preuve par neuf des ordinateurs.

 

 

 

PARITÉ

 

Observation

*      Je remplace une opération classique par la même opération, mais en remplaçant les nombres pairs par et les nombres impairs par 1.

 

 

*      Nous constatons que:

*      L'opération "parité" (en rouge) est juste; l'opération classique donnerait 0 + 1 + 1 + 0 = 2; dans le monde "parité", je remplace le 2 par 0

*      L'opération classique donne une somme de 20 dont la parité est 0.

*      La parité de la somme classique et celle de la somme "parité" sont égales

 

Conclusion

*      Pour vérifier une addition ou toute autre opération, on peut faire la preuve "parité" (la preuve par 2). Cette preuve détecte une erreur à 1 près. mais, une erreur de deux unités passe inaperçue.

 

Exemple

*      Cette opération est manifestement fausse: les parités sont différentes. En effet, la somme est 45.

 

 

 

 

 

Applications

 

Principe

*      La parité est utilisée dans les transmissions de données au sein des ordinateurs ou entre ordinateurs.

*      Lors de la transmission d'un mot de 16 bits (par exemple),

*      Un 17e donnant la parité de ce nombre est transmis en même temps.

*      À la réception, l'ordinateur calcule la parité du mot reçu

*      et le compare au bit supplémentaire qu'il vient également de recevoir.

*      S'ils ne concordent pas, l'ordinateur le signale à l'émetteur.

*      Une opération de reprise de l'échange est entamée. 

 

En réalité

*      En fait, le contrôle des échanges se pratiquait exactement de cette manière au début de l'histoire des ordinateurs. Depuis, le mode d'échanges (on dit protocole d'échanges) s'est sophistiqué.

*      Il est même possible, par émission de quelques bits supplémentaires de recourir à une correction automatique en cas de défaut de transmission.

*      L'authentification des cartes bancaires fonctionne sur le même principe.

 

 

 

 

 

Généralisation

 

*      La parité fonctionne avec les pairs et les impairs, ce qui correspond à la division par 2 pour laquelle on ne conserve que le reste.

 

*      Il est possible de pratiquer la division par 3 et de ne conserver que les restes. Est-ce que cela marche aussi? Eh bien, oui!

 

 

En rouge, les restes de la division par 3 de chacun des nombres de l'addition. La somme vaut 5 et le reste de la division de 5 par 3 est 2. Avec l'addition classique, la somme est 20 dont la division par 3 donne un reste de 2 (car 20 = 3 x 6 + 2).

 

*      Et avec 5?

 

 

Toujours bon! Le reste de la division de 20 par 5 est bien nul.

 

*      Essayons avec 9

 

 

Oui! C'est la classique preuve par neuf.

 

 

Son intérêt sur les autres est double:

*      le calcul est simple: il n'est pas nécessaire d'effectuer la division pour trouver le reste. Il suffit de faire la somme des chiffres: 53 devient 5 + 3 = 8. Ne pas oublier tout de même que le 9 devient 0.

*      elle permet de détecter des erreurs importantes. Avec la parité, c'était à 1 près; avec la preuve par 9, c'est à 8 près. C'est mieux, mais pas fiable à 100% tout de même.

 

 

 

                                                                                                                 

 

Suite

*       Preuve par neuf

*       Initiation au calcul

Voir

*       Binaire

*       Calcul mental

*       Divisibilité par 11

*       Dualité

*       Fractions et horloge

Diconombre

*       Nombre 2