NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PUISSANCES

 

Débutants

Puissance

Puissances

et exposants

 

Glossaire

Puissance

 

 

INDEX

 

 

Puissances des nombres

 

Arithmétique

Algèbre

Négatif & Fract.

Étages

 

Sommaire de cette page

>>> Puissance et exposants

>>> Opérations sur les exposants

>>> Exemples pratiques avec  puissances de 10

>>> Opérations sur les bases

>>> Opérations avec deux étages

 

 

 

 

 

Calculs pratiques avec les puissances 

 

Rappel sur les puissances; opérations avec les exposants; et, calculs avec des bases différentes.

Toute cette page utilise des nombres et des calculs numériques. Pour les propriétés générales vues sous la forme littérale, voir algèbre des puissances.

La manipulation des puissances nécessite de se souvenir de ce qu'elles signifient et alors tout va bien.

 

 

 

 

Puissance ?

Multiplication

La multiplication est une façon abrégée et commode de faire plusieurs fois la même addition.

 

 

 

= 6

Puissance

La puissance est une façon abrégée et commode de faire plusieurs fois la même multiplication.

 

 

Cette opération se lit : deux (à la) puissance trois égale huit.

Le résultat de l'opération (8) est la puissance.

La quantité de multiplications à effectuer est l'exposant (3), petit nombre écrit en petit en haut à droite du nombre. Le nombre (2) porté à une puissance est la base (mot peu utilisé; à ne pas confondre avec base de numération.)

 

 

 

 

 

= 8

Voir  DicoMot – Puissance

 

 

 

Opérations sur les EXPOSANTS

Addition des nombres

 

On se souvient de la signification de la puissance pour réaliser une addition ou une soustraction. Il n'y a pas de raccourcis de calcul.

 

Cas d'exposants identiques

 

23 + 23  = 2x2x2 + 2x2x2 = 2 x 23 = 24

 

 

8 + 16

= 24

Multiplication des nombres

 

Un beau raccourci de calcul:

Le produit de deux puissances de même base est la somme des exposants.

 

Cas d'exposants identiques

 

23 x 23  = 2x2x2 x 2x2x2 = 26

 

= 8 x 16

= 128

Division des nombres

 

Un autre beau raccourci:

La division des nombres est transformée en une soustraction des exposants.

 

Cas d'exposants identiques

 

23 / 23 = 20 = 2x2x2 / 2x2x2 = 1

= 32 / 8

= 4

 

 

On retiendra:

20 = 1     

21 = 2     

N0 = 1

N1 = N

2k + 2k = 2 x 2k = 2k+1

2k x 2k = 22k =(2k

Nk + Nk = 2 x Nk

Nk x Nk = N2k = (Nk

 

 

Addition des exposants

23 + 2 = 25 = 2x2x2  x 2x2 = 23 x 22

= 32

= 8 x 4

Multiplication des exposants

22 x 3 = 26 = 2x2x2  x 2x2x2  = 23 x 23

                                             = (23)2

                = 2x2 x 2x2 x 2x2 = 22 x 22 x 22

                                             = (22)3

 

La multiplication des exposants correspond au développement d'une puissance à étages avec parenthèses.

 

Voir réduction d'un étage

= 64

= 8 x 8

Combinaisons

22 x 3 + 2 = 28 = 2x2x2  x 2x2x2 x 2x2 = 23 x 23 x 22

= 256

= 8 x 8 x 4

 

Exemples pratiques pas à pas

Addition

 

Calculez la somme

N = a + b + c

 

avec

a = 10,45   x 10-12
b =   0,063 x 10-10

c = 72,5     x 10-14

 

 

J'utilise la même puissance de 10 pour chacun.

a  =

10, 45

x 10-12

b =

  6, 3

x 10-12

c =

  0, 725

x 10-12

N =

=

17,475

  1,7475

x 10-12

x 10-11

 

Voir exemple de détail de calcul ci-dessous

 

Changement d'exposant

 

Sans se tromper et, surtout, en comprenant bien ce que l'on fait. Aucune magie!

Exemple avec b.

Je multiplie par une fraction unitaire: 1 =  1012 / 1012.

Je calcule 10-10 x 1012 = 102

En effet, nous avons vu que dans un produit les exposants s'ajoutent.

Je calcule 0,063 x 100 = 6,3

En effet, le 6 de ce nombre représente bien six centièmes et le 3, trois millièmes.

Je multiplie par la fraction unitaire: 1 =  10-12 / 10-12 pour obtenir le résultat final. (Cette multiplication se fera désormais mentalement).

Multiplication

& Division

 

Calculez le produit

N = (a x b) / (c x d)

 

avec

a = 75      x 10-6
b = 21      x 10 5

c =   2,5   x 10-4

d =   0,02 x 10 2

 

Propriété: Le produit est commutatif (Ex: 2x 3 = 3 x 2): je peux placer les facteurs où bon me semble.

 

Note: je sais manipuler les exposants positifs et négatifs en numérateur comme en dénominateur, en utilisant par la pensée des fractions unitaires)

 

1) Je m'intéresse d'abord aux nombres:

 

M = 75 x 21 x 2, 5 x 0,02

    = 11, 2875

 

2) Puis aux puissances de 10:

 

P = 10-6 x 105 x 104 x 10-2

   = 10 -6 + 5 + 4 – 2 = 10 1 = 10

 

3) Bilan

 

N = M x P = 11, 2875 x 10

N = 112,875

 

 

 

 

Opérations sur les BASES

Changement de base

avec des multiples

 

  43 = 4x4x4 = 2x2 x 2x2 x 2x2 = 26

  45 = 4x4x4x4x4 = 2x2 x 2x2 x 2x2 x2x2 x 2x2 = 210

  82 = 8x8 = 2x2x2 x 2x2x2 = 26

163 = 16x16x16 = 2x2x2x2 x 2x2x2x2 x 2x2x2x2 = 212

 

Attention! Lorsque la base est divisée:

*    par 2 = 21, l'exposant est multiplié par 2;

*    par 4 = 22, l'exposant est multiplié par 3;

*    par 8 = 23, l'exposant est multiplié par 4;

*    par       2n, l'exposant est multiplié par (n+1).

Bases non multiples

 

  63 = 6x6x6 = 3x3x3 x 2x2x2       = 33 x 23

124 = 12x12x12 = 3x3x3 x 4x4x4 = 33 x 43

             = 3x3x3 x 2x2x2 x 2x2x2 = 33 x 26

 

12n = (3 x 4)n = 3n x 4n

                      = 3n x (2x2)n

                      = 3n x 2n x 2n = 3n x 22n

 

Pour élever un produit à une puissance, on élève chaque facteur à cette puissance.

 

Opérations

 

  43 + 82  = 43 + (2x4)2  = 43 + 22 x 42 

                                     = 43 + 41 x 42 

                                     = 43 + 43

                                     = 2 x 43 = 2 x 64 = 128

 

  43 + 82  = (2x2)3 + (2x2x2)2  = 23x23 + 22x22x22

                                               = 26 + 26 = 27

                                               = 2 x 26 

                                               = 21 x 26  = 27 = 128

 

  26 + 44 + 83  = 26 + (2x2)4 + (2x2x2)3 

                      = 26 + 24x24 + 23x23x23

                      = 26 + 28 + 29

                      = 26  (1 + 22 + 23) = 64 x13

 

Pour calculer (simplifier) une expression, mettre tout ce qui est possible dans la même base.

 

 

 

Opérations avec deux étages

Simple

Ce sont les exposants les plus hauts qui sont calculés les premiers.

Notez que la position des exposants ne peut pas être échangée (commutable).

Voyez comme les exposants du haut sont actifs.

Bases en

2 et 4

En jaune les formes équivalentes

 

 

Pas de règle simple (sauf ci-dessous), mieux vaut développer en empruntant l'un des chemins indiqués.

Attention à la place des parenthèses et surtout ne pas les éliminer:

(2^8)^2 = (256)^2 = 65 536 mais

2^8^2 = 2^(64) = 18 446 744 073 709 551 616

Effet de la priorité des exposants située le plus en haut.

 

 

Cas de l'exposant 2

 

Dans le cas de carrés portés à une puissance, l'exposant de cette puissance croit d'une unité si la base est portée au carré.

 

 

C'est un cas particulier de:

 

Relation à noter

Voir Nombres de Fermat

 

Bases en

3, 6 et 9

Voir Puissances à étages

 

 

 

 

Suite

*    Notation des très grands nombres

*    Grands nombres avec 3 et 9

*    Multi-puissances

*    Puissance de 6

Voir

*    Constantes

*    Évolution des puissances de 2

*    Grands nombres avec 2

*    Graphes, arbres et exposants

*    Progression géométrique

*    Puissances – Index

*    Puissances de 10

*    Puissances et exposants

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