NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Général

 

 

INDEX

 

Arithmétique

Algèbre

Analyse

 

Débutant

Introduction

Valeur

Doublement

 

Sommaire de cette page

>>> Paradoxe du nénuphar

>>> Cas de la population

>>> Croissance

>>> Cumul – Intégrale - exponentielle

>>> Équation de l'exponentielle du nénuphar

 

 

 

 

INTRODUCTION aux EXPONENTIELLES

 

Les exponentielles, des fonctions mathématiques que vous retrouvez dans  la croissance du nénuphar ou le calcul de vos intérêts à la banque.

 

 

 

Devinette

Une bestiole se dédouble toutes les secondes et remplit la boite de culture en une minute. La laborantine en place quatre dans la boite. Combien de temps pour remplir la boite?

Solution

 

  

 

PARADOXE DU NÉNUPHAR

Devinette

Solution

Un nénuphar couvre un étang en 100 jours. Il double sa surface tous les jours. Quand avait-il couvert la moitié de l'étang ?

Ben non! Pas 50 jours. Mais 99 !

*    Jeux

*    Paradoxes 

*    Nénuphar

*   Exponentielles

 

Alternative

Le nénuphar double sa surface tous les ans. À la vingtième année, il couvre toute la nappe d'eau. Si on avait mis deux nénuphars au départ, quand aurait été recouverte la nappe d'eau. Dix-neuf ans, bien entendu. Il recouvre chacun la moitié. l'année précédente, il recouvrait chacun le quart.

Voir Paradoxe de l'horloge

 

 

 

 

Paradoxe du nénuphar et parabole

 

*  C'est l'histoire du nénuphar qui

double de surface

chaque jour

 

 

*  Il occupe toute la surface de l'étang en 100 jours

 

 

*  En observant la croissance, au jour 95, on peut être tenté de dire :
" on a bien le temps,
   il n'occupe que 3% de l'étang ! "

 

*  Mais, au jour 100, c'est l'asphyxie ;
c'est la fin !

 

*  Parabole à appliquer aux réserves d'énergie de la planète, à la démographie ou à la pollution...

 

*  Qui va nous servir également à aborder les exponentielles

 

  

*  Les valeurs sont encore plus spectaculaires quelques jours avant 

1 pour mille au jour 90

*  On attend très longtemps avant de voir un phénomène "explosif"

Rien durant 9/10 du temps

*  Et multiplication par 1000 en 1/10 de temps

 

 Voir Vitesse

 

 

CAS DE LA POPULATION - Remarque

*  Un accroissement de la population de 2% par an peut sembler dérisoire ; et pourtant, cela correspond à    =>

 

 

 Population 

x 2

x 4

x 7

En 

35 ans

70 ans

1 siècle

 

 

Voir Croissance logistique

 

 

 

CROISSANCE – Variation - Dérivée

 

*  Chaque jour, la croissance du nénuphar dépend de sa taille la veille

*  Plus il est grand, plus il prospère

*  Cette croissance est un peu comme une progression géométrique

 

C'est une croissance dont

la variation à chaque période est proportionnelle à

la valeur déjà atteinte.

dx = k . x . dt

x

*      la grandeur étudiée fonction du temps

Aire du nénuphar

dt

*      la durée élémentaire envisagée

La journée

dx

*      la variation durant la période dt

Variation de l'aire du nénuphar dans la journée

k

*      la rapidité de la variation

Caractérise le doublement du nénuphar chaque jour

 

Voir Dérivée

 

 

CUMUL – Somme - Intégrale

 

*  La fonction qui progresse de cette manière s'appelle l'exponentielle.

 

x(t) = x(0) . e k . t

x(t)

*      Valeur de la grandeur à l'instant t.

x(0)

*      Valeur de la grandeur à l'instant initial.

e

*      Constante "e" ou nombre de Neper .

 

Voir  "e" et la banque

 

 

 

Équation de la courbe

de croissance du nénuphar

 

Paramètres

 

*    Au 100e jour le nénuphar atteint sa taille 1.

*    Il multiplie sa surface chaque jour.

 

Valeur de y

 

y100     = 1

y99     = 1/2
y98     = 1/22
y100-n  = 1/2n

 

*    Si sa taille est T au départ

y0 =     T

y1 = 2  T

y2 = 22 T

yn = 2n T

 

*    Or la taille au départ est égale à

T = 1/ 2100 = 1/ 1,26 1030 = 7,88 … 10-31

 

Équation  de croissance du nénuphar

 

y = 7,88 10-31 .  2x

 

*    Avec 2 = exp (ln (2))
On prend l'exponentielle de son logarithme, ce qui est une opération blanche (comme si on élevait au carré puis on prenait la racine carrée).

*    Et ln(2) = 0, 69 …

*    L'équation de la croissance du nénuphar devient:

 

y = 7,88 10-31 . e 0,69 x

 

Pour info:

ln(2) = 0,69314718055994530942…

T = 1 / 2100 = 1 / 1267650600228229401496703205376

 

 

 

 

Devinette – Solution

Question

Une bestiole se dédouble toutes les secondes et remplit la boite de culture en une minute. La laborantine en place quatre dans la boite. Combien de temps pour remplir la boite?

Réponse

En prenant le processus par le début:

*    dans le cas d'une seule bestiole, on démarre avec 1 bestiole puis 2 bestioles en une seconde puis 4 bestioles en deux secondes,  puis …,

*    dans le cas proposé, on commence avec 4 bestioles; c'est comme si on avait démarré le premier processus à la deuxième étape du cas précédent, soit 2 secondes plus tard.

Le temps de remplissage est donc 60 – 2 = 58 s

Retour

 

 

 

Suite en 

*    Exponentiel et nombre de Napier "e"

*    Puissances de 2

*    Déluge exponentiel

*    Carrés magiques

*    DébutantsIndex

*    Exposants et puissances

*    ExposantsIndex

*    Grenouille sur nénuphar

*    Logique Index

*    Nombres

*    Tonneau

Livre

*    L'équation du nénuphar -  Les plaisirs de la science
Calmann-Levy – 1998
d' Albert Jacquard: né en 1925, polytechnicien, diplômé de l'Institut d'études démographiques (INED)

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Analyse/ExpoDebu.htm