NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Cercles et régions

 

Sommaire de cette page

>>> Approche – De 1 à 4  cercles

>>> Cas de 5 cercles

>>> Quantité de régions pour n cercles

>>> Cas de 12 et 60 cercles

>>> Quantité de régions pour n sphères

 

 

 

 

RÉGIONS crées par n CERCLES

Division du plan par des cercles

 

Des cercles dessinés sur une feuille partagent le plan en différentes régions. Combien au maximum pour n cercles?

Voir Toutes les possibilités de partager le cercle

Anglais: Draw n circles in the plane; what is the maximal number of regions

into which the plane is divided

 

Approche

Avec un seul cercle, le plan est partagé en deux zones: la zone intérieure et la zone extérieure.

 

Avec deux cercles, le plan est partagé en quatre régions.

 

Avec trois cercles, il y a huit régions. On compte:

*      (1) l'extérieur;

*      (8) l'intérieur profond (commun aux deux cercles),

*      (2, 3, 4) trois régions propres à chacun des cercles;

*      (5, 6, 7) trois régions communes à deux cercles.

*      Total: 2 x 3 + 2

On propose la formule:

*      Total: Q = (n – 1) n + 2

 

Avec quatre cercles, on compte:

*      (1) l'extérieur;

*      (14) l'intérieur profond (commun aux quatre cercles),

*      (2, 3, 4, 5) quatre régions propres à chacun des cercles;

*      (6, 7, 8, 9) quatre régions communes à deux cercles.

*      (10, 11, 12, 13) quatre régions communes à trois cercles.

*      Total: 3 x 4 + 2

On vérifie la formule proposée plus haut:

*    Total: Q = (n – 1) n + 2

 

Cas de cinq cercles avec 22 régions

 

Quantité de régions pour n cercles

 

La quantité de régions Q est bien donnée par la formule imaginée ci-dessus.

 

Q = (n – 1) n + 2 = n² – n + 2

Liste de valeurs

 

En rouge les valeurs vérifiées ci-dessus. Il n'est pas très compliqué de prouver l'extrapolation ayant conduit à la formule.

2, 4, 8, 14, 22, 32, 44, 58, 74, 92, 112, 134, 158, 184, 212, 242, 274, 308, 344, 382, 422, 464, 508, 554, 602, 652, 704, 758, 814, 872, 932, 994, 1058, 1124, 1192, 1262, 1334, 1408, 1484, 1562, 1642, 1724, 1808, 1894, 1982, 2072, 2164, 2258, 2354, 2452, …

 

Cas de 12 cercles (134 régions) et de 60 cercles (3 542 régions)

 

 

Quantité de régions pour n sphères

 

La quantité de régions Q créées par n sphères qui se coupent dans l'espace

 

Q = 1/3 n (n² – 3n + 8)

Liste de valeurs

2, 4, 8, 16, 30, 52, 84, 128, 186, 260, 352, 464, 598, 756, 940, 1152, 1394, 1668, 1976, 2320, 2702, 3124, 3588, 4096, 4650, 5252, 5904, 6608, 7366, 8180, 9052, 9984, 10978, …

 

 

 

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Sites

*      Plane division by circles – Wolfram MathWorld

*      Space division by sphere – Wolfram MathWorld

*      OEIS A014206 – a(n) = n^2 + n + 2.

*      OEIS A046127 – Maximal number of regions into which space can be divided by n spheres.

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http://villemin.gerard.free.fr/Denombre/CercRegi.htm