NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 31/08/2014

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

   

Débutants

Nombres

DicoNombre   NOMBRES

Glossaire

Nombres

 

Infini

 

Nombres décimaux

<1

 

0

Zéro – Nul – Rien - Vide

 

Un

 

5

10

Autres

Le 0 pour débutant

Carte identité

 

Nom des nombres

Le ZÉRO

Concept 0

Arithmétique 0

Sciences 0

Expressions en 0

Histoire 0

Culture 0

Algèbre 0

Proverbes avec 0

Zéro en quiz

Divers 0

Infini & zéro

Somme nulle

Jeux & Curiosités 0

 

Sommaire de cette page

>>> Indétermination

>>> Zéro et infini

>>> Puissances

>>> De – infini à + infini

>>> Factorielles

>>> Logarithmes

>>> Puissance 0

>>> Imaginaire 

 

 

 

 

 

Il est au niveau zéro de l'intelligence, mais finalement sa position actuelle multiplie son intelligence par dix.

Dans un sens, je suis quelque chose d'intermédiaire entre Dieu et le néant.

René Descartes - Le Discours de la Méthode

Qu'est l'homme en regard de la nature? Rien par rapport à l'infini, tout par rapport à rien, une moyenne entre rien et tout.

Blaise Pascal - Pensées

Voir Pensées & humour

 

 

ZÉRO & INFINI en CALCUL

 

Deux faces de la même pièce: infiniment petit et infiniment grand.

 

0 ajouté à une quantité conserve cette quantité.

  ajouté à une quantité donne

 

0 multiplié par une quantité donne 0

  multiplié par une quantité donne

 

Un nombre divisé par une quantité qui tend vers 0 donne 

Un nombre divisé par une quantité qui tend vers  donne  0

 

Tout ceci avec quantité non nulle et non infinie

Sinon, se reporter aux tableaux ci-dessous.

Note: Les valeurs données ci-dessous sont en accord avec les valeurs de sortie des logiciels mathématiques. Les particularités sont mentionnées autant que possible. c'est le cas pour "un puissance infinie" qui vaut 1 selon ces logiciels et, est indéterminé en mathématique pure.

 

Bilan des 7 cas d'indétermination

 

Rappel: toutes les divisions par 0 sont impossible; c'est le cas de l'infini divisé par zéro ou de 1 divisé par 0, etc.

alerte.jpgMalgré leur indétermination mathématique, par définition (et c'est le résultat produit par les logiciel de calcul mathématique comme Mapple) les opérations produisent le résultat noté en rouge.

 

 

Signification des couleurs pour les tableaux ci-dessous

0 + 0 = 0

Propriété classique

i² = 1

Définition

   = Indéterminé

Résultat indéterminé

a / 0 = Impossible

Opération impossible

 

 

ZÉRO ET INFINI

 

+

x

/

Puissance

Zéro

0 + 0 = 0

0 0 = 0

0 x 0 = 0

0 / 0 = Imp

0 0 = 1

Infini

 +  =

   = Ind

 x  =

 /  = Ind

  =

Zéro & Infini

 + 0 =

  0 =

 x 0 = 0

 / 0 = Imp

 0 = 1

Infini & Zéro

0 +   =

0  =

0 x  = 0

0 /  = 0

 = 0

 

 

 

 

 

 

Zéro & Un

0 + 1 = 1

0 1 = 1

0 x 1 = 0

0 / 1 = 0

0 1 = 0

Un & Zéro

1 +  0  = 1

1 0 = 1

1 x 0 = 0

1 / 0  = Imp

1 0 = 1

Un & Infini

1 +   =

1  =

1 x  =

1 /  = 0

 = 1

Infini & Un

 + 1 =

  1 =

 x 1 =

 / 1 =

 1 =

 Indéterminé, mais par définition = 1

 

 

PUISSANCES

 

0

1

2

¥

i

e

e 0 = 1

e 1 = e

e 2 = 7,3…

e ¥ =

e i = 0,54.. + i.0,84...

i

i 0 = 1

i 1 = i

i 2 = 1

  = Ind

i i =  = 0,20...

 

 

- 1

- 2

-

- i

e

 

e -1 = 1/e

e -2 = 0,13…

 = 0

e -i = 0,54.. - i.0,84...

i

 

i -1 = i

i -2 = 1

 = Ind

i -i = 1/ = 4,81

Voir Nombre complexes

 

Valeurs numériques

e

 

= 2, 718281828…

e

-1  

= 0, 3678794412…

e

2   

= 7, 389056096…

e

-2  

= 0, 1353352833…

e

i

= 0, 5403023060… + i .  0, 8414709847…

e

-i

= 0, 5403023060… i .  0, 8414709847…

i

i 

= 0, 2078795764…

i

-i 

= 4, 810477381…

 

 

 

De –INFINI à +INFINI

 

 

  

  

Infini

0

0

x > 1

0

1 / x n

x n

x = 1

Indéterminé / 1 

1

1

Indéterminé / 1

0 < x < 1

1 / x n

x n

0

0

Impossible

Impossible

0

0

1 < x < 0

¥ + i .

(1) n / x n

x n

0 + i . 0

x = 1

Indéterminé

(1) n

(1) n

Indéterminé

x < 1

0

(1) n / x n

x n

 + i .

infini

0

0

 + i .

 

 

 

FACTORIELLES

0!

=

1

1!

=

1

 !

=

 

Voir Factorielles

 

 

 

LOGARITHMES

 

0

 

1

1/Base

Base

 

log a

Impossible

log a 1 = 0

log a 1/a = 1

log a a = 1

 

log e

Impossible

log e 1 = 0

log e 1/e = 1

log e e = 1

log e  =

log e 1/a = log e a

log e a + log e 1/a = log e 1 = 0

log b a x log a b = 1

Voir Logarithmes

 

 

 

PUISSANCE 0 – Démonstration

 

*    Prenons

a 3 / a 3

*    Première évaluation

= a 3 --3 = a 0

*    Seconde évaluation

= 1

*    Conclusion

a 0

= 1

Voir Puissances

 

 

IMAGINAIRE – Valeurs avec i

i

= 1

 

i2

= -1

 

i3

=

i

i4

= 1

 

i5

=

i

i6

= 1

 

i 4k

= 1

 

i 4k+1

=

i

i 4k+2

= 1

 

i 4k+3

=

i

i

=  (1/2)

+ i  (1/2)

2i

= 1

+ i

3i

=  (3/2)

+ i  (3/2)

4i

= 2

+ i 2

 

1 / i

=

i

1 / i²

= 1

 

 (1 / i)

=  (1/2)

  i  (1/2)

 (1 / i²)

=

   i

 (1 / i3)

=  (1/2)

  i  (1/2)

 (1 / i4)

=   1

*    Si

a + i.b

= 0

*    Alors

a

= i.b

*    Au carré

= i² x b²

=

*    Tout du même côté

a² + b²

= 0

*    Ce qui impose

a = b

= 0

 

Bilan

Il est impossible aux habitants de ce monde de se faire la moindre idée du néant, de l'infini et de Dieu.            Jean d'Ormesson

 

 

 

 

 

 

 

 

Voir

*    Nombres réels et complexes

*    Nombres complexes

*    Puissance de l'imaginaire

Aussi

*    Calcul mental

*    Constantes

*    Infini

*    Les infinitésimaux

*    Magie

*    Nombre d'Or

*    Nombre Un

*    Petits nombres

*    Pi

*    Puissances

DicoNombre

*    Zéro

*    Nombre Un

*    Nombre 1000

*    Infini

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/Zerinfin.htm