NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Glossaire

Nombres

 

Infini

 

Nombres décimaux

<1

 

0

Zéro – Nul – Rien - Vide

 

Un

 

5

10

Autres

Le 0 pour débutant

Carte identité

 

Nom des nombres

Le ZÉRO

Concept 0

Arithmétique 0

Sciences 0

Expressions en 0

Histoire 0

Culture 0

Algèbre 0

Proverbes avec 0

Zéro en quiz

Divers 0

Infini & zéro

Somme nulle

Jeux & Curiosités 0

 

Sommaire de cette page

>>> Indétermination

>>> Zéro et infini

>>> Puissances

>>> De – infini à + infini

>>> Factorielles

>>> Logarithmes

>>> Puissance 0

>>> Imaginaire 

 

 

 

 

 

Il est au niveau zéro de l'intelligence, mais finalement sa position actuelle multiplie son intelligence par dix.

Dans un sens, je suis quelque chose d'intermédiaire entre Dieu et le néant.

René Descartes - Le Discours de la Méthode

Qu'est l'homme en regard de la nature? Rien par rapport à l'infini, tout par rapport à rien, une moyenne entre rien et tout.

Blaise Pascal - Pensées

Voir Pensées & humour

 

 

ZÉRO & INFINI en CALCUL

 

Deux faces de la même pièce: infiniment petit et infiniment grand.

 

0 ajouté à une quantité conserve cette quantité.

  ajouté à une quantité donne

 

0 multiplié par une quantité donne 0

  multiplié par une quantité donne

 

Un nombre divisé par une quantité qui tend vers 0 donne 

Un nombre divisé par une quantité qui tend vers  donne  0

 

Tout ceci avec quantité non nulle et non infinie

Sinon, se reporter aux tableaux ci-dessous.

 

Bilan des sept cas d'indétermination

 

Tableau récapitulatif

 

Valeurs données par le logiciel de calcul Maple

 

Notez que le logiciel ne distingue pas le cas de la division de 0 par 0 du cas général de la division de x par 0. Il répond "impossible" dans tous les cas.

Remarque la valeur de un puissance infinie est indéterminée, c'est son module en nombre complexe qui vaut 1.

Merci à Grégoire Manoélian pour sa remarque sur la division 0 / 0

 

Signification des couleurs pour les tableaux ci-dessous

0 + 0 = 0

Propriété classique

i² = 1

Définition

   = Indéterminé

Résultat indéterminé

a / 0 = Impossible

Opération impossible

 

 

ZÉRO ET INFINI

 

+

x

/

Puissance

Zéro

0 + 0 = 0

0 0 = 0

0 x 0 = 0

0 / 0 = Ind

0 0 = 1

Infini

 +  =

   = Ind

 x  =

 /  = Ind

  =

Zéro & Infini

 + 0 =

  0 =

 x 0 = 0

 / 0 = Imp

 0 = 1

Infini & Zéro

0 +   =

0  =

0 x  = 0

0 /  = 0

 = 0

 

 

 

 

 

 

Zéro & Un

0 + 1 = 1

0 1 = 1

0 x 1 = 0

0 / 1 = 0

0 1 = 0

Un & Zéro

1 +  0  = 1

1 0 = 1

1 x 0 = 0

1 / 0  = Imp

1 0 = 1

Un & Infini

1 +   =

1  =

1 x  =

1 /  = 0

 = 1

Infini & Un

 + 1 =

  1 =

 x 1 =

 / 1 =

 1 =

 Indéterminé, mais par définition = 1

 

 

PUISSANCES

 

0

1

2

i

e

e 0 = 1

e 1 = e

e 2 = 7,3…

e ¥ =

e i = 0,54.. + i.0,84...

i

i 0 = 1

i 1 = i

i 2 = 1

  = Ind

i i =  = 0,20...

 

 

- 1

- 2

-

- i

e

 

e -1 = 1/e

e -2 = 0,13…

 = 0

e –i = 0,54.. – i.0,84...

i

 

i -1 = i

i -2 = 1

 = Ind

i –i = 1/ = 4,81

Voir Nombre complexes

 

Valeurs numériques

e

 

= 2, 718281828…

e

-1  

= 0, 3678794412…

e

2   

= 7, 389056096…

e

-2  

= 0, 1353352833…

e

i

= 0, 5403023060… + i .  0, 8414709847…

e

-i

= 0, 5403023060… i .  0, 8414709847…

i

i 

= 0, 2078795764…

i

-i 

= 4, 810477381…

 

 

 

De –INFINI à +INFINI

 

 

  

  

Infini

0

0

x > 1

0

1 / x n

x n

x = 1

Indéterminé / 1 

1

1

Indéterminé / 1

0 < x < 1

1 / x n

x n

0

0

Impossible

Impossible

0

0

1 < x < 0

¥ + i .

(1) n / x n

x n

0 + i . 0

x = 1

Indéterminé

(1) n

(1) n

Indéterminé

x < 1

0

(1) n / x n

x n

 + i .

infini

0

0

 + i .

 

 

 

FACTORIELLES

0!

=

1

1!

=

1

 !

=

 

Voir Factorielles

 

 

 

LOGARITHMES

 

0

 

1

1/Base

Base

 

log a

Impossible

log a 1 = 0

log a 1/a = 1

log a a = 1

 

log e

Impossible

log e 1 = 0

log e 1/e = 1

log e e = 1

log e  =

log e 1/a = log e a

log e a + log e 1/a = log e 1 = 0

log b a x log a b = 1

exp

Aucun z n'est solution de:

ez = 0

Voir Logarithmes

 

 

 

PUISSANCE 0 – Démonstration

 

*    Prenons

a 3 / a 3

*    Première évaluation

= a 3 –3 = a 0

*    Seconde évaluation

= 1

*    Conclusion

a 0

= 1

Voir Puissances

 

 

IMAGINAIRE – Valeurs avec i

i

= 1

 

i2

= -1

 

i3

=

i

i4

= 1

 

i5

=

i

i6

= 1

 

i 4k

= 1

 

i 4k+1

=

i

i 4k+2

= 1

 

i 4k+3

=

i

i

=  (1/2)

+ i  (1/2)

2i

= 1

+ i

3i

=  (3/2)

+ i  (3/2)

4i

= 2

+ i 2

 

1 / i

=

i

1 / i²

= 1

 

 (1 / i)

=  (1/2)

  i  (1/2)

 (1 / i²)

=

   i

 (1 / i3)

=  (1/2)

  i  (1/2)

 (1 / i4)

=   1

*    Si

a + i.b

= 0

*    Alors

a

= i.b

*    Au carré

= i² x b²

=

*    Tout du même côté

a² + b²

= 0

*    Ce qui impose

a = b

= 0

1i = 1

Voir Nombre à une puissance complexe

 

 

(a + ib)0 = 1

Sous sa forme polaire avec alpha = 0 et r non nul:

 

0(a+ ib) = 0

si partie réelle de z est positive, sinon la valeur n'est pas définie

 

 

0i => non défini

 

Si w = 0, alors r = 0 et l'angle thêta est quelconque. Alors ln(0) est indéfini. Si r tend vers 0, alors ln®  tend vers moins l'infini. La limite de wz est nulle si a est positif

 

0 / 0 = indéterminé

Si la division donnait le quotient  Q

On aurait:

Cette dernière relation est vraie quelle que soit la valeur de Q.

Cette division est donc indéterminée.

On rappelle que la division est impossible pour toutes les autres valeurs que 0.

Voir le cas de 1infini

 

Bilan

Il est impossible aux habitants de ce monde de se faire la moindre idée du néant, de l'infini et de Dieu.            Jean d'Ormesson

 

 

 

 

Voir

*    Nombres réels et complexes

*    Nombres complexes

*    Puissance de l'imaginaire

Aussi

*    Calcul mental

*    Constantes

*    Infini

*    Les infinitésimaux

*    Magie

*    Nombre d'Or

*    Nombre Un

*    Petits nombres

*    Pi

*    Puissances

DicoNombre

*    Zéro

*    Nombre Un

*    Nombre 1000

*    Infini

Sites

*    Indétermination de la forme 0/0 – Wikipédia

*    Indétermination de la forme infini / infini – Wikipédia

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