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Édition du: 02/10/2022

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Brèves de Maths

 

INDEX

 

Types de nombres

Décomposition des Nbs

Inventaire des nombres

Nombres par leur nom

Nombres p-adiques

Introduction

Nombres décadiques

Séries

Opérations

Nombres triadiques

p-adiques – Théorie

Division et inverse

P-adiques périodiques

p-adiques – Pratique

Automorphes

Tables de p-adiques

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NOMBRES p-adiques

Pratique

 

On connaît les fractions continues pour développer un nombre autrement qu'en indiquant ses décimales.

On peut vouloir utiliser un développement avec des fractions ayant toujours le même dénominateur (et ses puissances). Ce sont les développements p-adiques des nombres réels.

 

Voyez cet exemple avec 0,75, exprimé sous deux formes p-adiques:

 

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Procédure

 

Débutants

Nombres

 

Glossaire

Nombres

 

 

 

Approche

haut

 

Valeur de la somme de fractions ayant les puissances de p comme dénominateur

Avec un nombre entier p comme base du dénominateur, on forme divers nombres décimaux.

 

 

 

Est-il possible d'exprimer un nombre réel avec les puissances de p comme dénominateur ?

 

 

On remarque en particulier que:

 

 

Conclusion

 

Il semble possible d'exprimer tout nombre en tant que somme de fractions ayant les puissances d'un nombre p comme dénominateur.

C'est le développement p-adique de ce nombre.

 

 

 

Procédure

haut

Voici comment s'y prendre avec l'exemple des 2-adiques

Un nombre réel positif

n0

0,45

 

 

On lui retire sa valeur entière

e0

 

0

 

On conserve la valeur fractionnaire

f1

 

 

0,45

On calcule (avec p = 2)

n1 = f1 . p

0,90

 

 

On lui retire sa valeur entière

e1

 

0

 

On conserve la valeur fractionnaire

f2

 

 

0,90

On calcule

n2 = f2 . p

1,80

 

 

On lui retire sa valeur entière

e2

 

1

 

On conserve la valeur fractionnaire

f3

 

 

0,80

Etc.

 

1,60

 

 

Soit

Programme Maple

 

NP: partie entière

FP: partie fractionnaire

C: matrice une ligne donnant les numérateurs de 1/pk

 

 

Voir Programmation

 

 

 

 

Retour

*      Nombres entiers et les autres

*      Nombres décadiques

*      Nombres p-adiques – Théorie

Suite

*      Tables de p-adiques

*      Nombres p-adiques – Séries

Voir

*      Fractions - Glossaire

*      Fractions continues

*      Introduction aux nombres premiers

*      Inventaire des nombres

*      Nombres premiers et nombres composés

*       Représentation des nombres

*       Suites

Sites

*      Voir références en première page

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