NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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 P-adiques

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Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Procédure

 

 

 

 

 

 

 

NOMBRES P-ADIQUES

 

On connaît les fractions continues pour développer un nombre autrement qu'en indiquant ses décimales.

On peut vouloir utiliser un développement avec des fractions ayant toujours le même dénominateur (et ses puissances). Ce sont les développements p-adiques des nombres réels.

 

Voyez cet exemple avec 0,75, exprimé sous deux formes p-adiques:

 

 

 

APPROCHE

 

*    Valeur de la somme de fractions ayant les puissances de p comme dénominateur

Avec un nombre entier p comme base du dénominateur, on forme divers nombres décimaux.

 

 

 

*    Est-il possible d'exprimer un nombre réel avec les puissances de p comme dénominateur ?

 

 

*    On remarque en particulier que:

 

 

*    Conclusion

 

Il semble possible d'exprimer tout nombre en tant que somme de fractions ayant les puissances d'un nombre p comme dénominateur.

C'est le développement p-adique de ce nombre.

 

 

 

 

Procédure

Voici comment s'y prendre avec l'exemple des 2-adiques

Un nombre réel positif

n0

0,45

 

 

On lui retire sa valeur entière

e0

 

0

 

On conserve la valeur fractionnaire

f1

 

 

0,45

On calcule

n1 = f1 . p

0,90

 

 

On lui retire sa valeur entière

e1

 

0

 

On conserve la valeur fractionnaire

f2

 

 

0,90

On calcule

n2 = f2 . p

1,80

 

 

On lui retire sa valeur entière

e2

 

1

 

On conserve la valeur fractionnaire

f3

 

 

0,80

Etc.

 

1,60

 

 

Soit

*    Programme Maple

 

NP: partie entière

FP: partie fractionnaire

C: matrice une ligne donnant les numérateurs de 1/pk

 

 

Voir Programmation

 

 

 

Suite

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Voir

*         Fractions - Glossaire

*         Fractions continues

*         Introduction aux nombres premiers

*         Inventaire des nombres

*         Nombres premiers et nombres composés

*         Représentation des nombres

*         Suites

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