NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES

 

Débutants

Pairs et impairs

Caractérisation

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

 

Nombres

 

Th. Fondamental

Premiers

p-adiques

Pair-impair

Carrés

Cubes

Bicarrés

 

Sommaire de cette page

>>> Propriétés

>>> Approche

>>> Explications – Principe

>>> Explications – Détails

>>> Illustration

>>> Formulation

 

 

 

 

 

 

 

Caractérisation des NOMBRES PREMIERS

 

Quelles sont les particularités des nombres par rapport aux nombres premiers. En maître règne bien évidemment le théorème fondamental de l'arithmétique. Voici d'autres relations remarquables

 

 

 

 

Propriétés

 

Tout nombre supérieur à 1 est divisible

par 4 ou par un nombre premier.

 

Any integer greater than two is divisible either by 4 or by an odd prime.

 

 

 

 

 

Approche

 

*    Observons les nombres successifs et leur divisibilité par  4 et ou par un nombre premier. Ça marche! Est-ce toujours vrai?


 

 

Voir Tableau jusqu'à 50 / Un n'est pas premier / Puissance de 2

 

 

 

 

 

EXPLICATIONS – Principe

Si le nombre est premier

n est divisible par un premier.

Si le nombre est composé

Il est le produit de deux facteurs dont l'un est premier (p1):

*    soit 2,

*    soit un premier impair.

Si le facteur premier est impair

n est divisible par un premier.

Si le facteur premier est 2

Il considérer le second facteur comme un nouveau nombre et recommencer cette procédure.

 

 

 

 

EXPLICATIONS – Détails

Un nombre entier est soit premier soit composé

 

S'il est premier

Il est divisible par un premier (lui-même).

 

S'il est composé

Il est le produit de facteurs premiers et notamment d'un nombre par un facteur premier.

 

n = premier

 

FIN

n = k . p

 

Suite

Note: de ce fait nous avons éliminé 2, 3, 5, 7 …

Note: sauf dans le cas où p = 2,

le facteur premier p est toujours impair

 

Un nombre composé est soit impair ou pair

 

S'il est impair

n = k . p avec p impair.

 

En effet, on élimine p = 2 qui donnerait un nombre n pair, contraire à l'hypothèse.

Il ne reste que p impair.

 

 

Donc: un nombre impair est toujours divisible par un premier impair.

 

 

S'il est pair

n = 2k . p avec p = 2 ou p impair.

 

Si p est impair, il est divisible par un premier, selon ce qui est dit ci-contre, à gauche.

Si p = 2, alors n = 4k.

 

Donc: un nombre pair est divisible par 4 ou par un premier.

 

Impair divisible par premier

 

FIN

 

Pair divisible par 4 ou par p

 

Suite pour les divisible par 4

 

 

Un nombre divisible par 4 est une puissance de 2 ou non

 

S'il est puissance de 2

n = 2k

Ce nombre est toujours divisible par 2.

Il n'est pas premier.

Il fait donc partie de la catégorie des divisible par 4.

 

Donc: une puissance de 2 n'est pas divisible par un premier

 

S'il n'est pas puissance de deux

n = 4k

Ou k est impair et on est ramené au cas déjà vu: k impair est divisible par un premier.

Ou k est pair et il est de la forme 2k'

*    ou k' est impair et c'est bon

*    ou k' est pair, alors il est de la forme 2k" …

Cette récurrence ne s'arête que si, en final le k"" est égal à 2, c'est à dire si on a à faire à une puissance de 2.

 

n = 2k non divisible par un premier

 

FIN

 

 

Pair est une puissance de 2 ou alors divisible par un premier

FIN

 

 

 

Illustration

 

Le cercle représente l'ensemble des nombres entiers.

 

Tout nombre est soit:

*    un premier pair: 2

*    un premier impair: pi

*    une puissance de 2: 2k

*    un nombre divisible par un premier impair: k . pi ou 2k . pi


 

 

 

 

Formulation

0)

n

 

 

 

 

= k.p

Tout nombre est décomposable de façon unique en facteurs premiers.

1)

n

 

 

= p

ou

= k.p

Tout nombre est premier ou divisible par un premier.

2)

n

= 2

ou

= pi

ou

= k.p

Tout nombre est premier pair (2) ou premier impair ou divisible par un premier.

Nombre supérieur à 2

3)

n

(>2)

 

= pi

ou

= k.p

Tout nombre supérieur à 2 est premier impair ou divisible par un premier.

4)

n

(>2)

 

= k.pi

ou

= 4t

Tout nombre supérieur à 2 est divisible par 4 ou par un premier impair.

5)

n

(¹2a)

 

= k.pi

ou

= 4t

Tout nombre supérieur à 2 est divisible par un nombre premier impair sauf les puissances de 2.

 

 

Applications

On se sert de telles propriétés pour limiter les cas d'études de certains problèmes.

Par exemple, pour le dernier théorème de Fermat, on savait qu'il suffisait de traiter le cas de la puissance 4 et ceux de puissance égale à un premier impair.

 

 

 

 

 

Suite

*         Table des nombres et leur divisibilité par 4 ou un premier

*         Nombres p-adiques

Voir

*         Barre magique des premiers

*         Divisibilité

*         Initiation à la théorie des nombres

*         Nombres et leurs diviseurs

*         Nombres premiers

*         Orientation générale

*         TablesIndex

*         Théorie des nombres

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