NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Un

 

Sommaire de cette page

>>> Définition du nombre premier

>>> UN n'est pas premier

>>> Nombre premier – définition alternative

>>> DEUX est le seul premier pair

 

 

 

 

 

LE NOMBRE 1

 

N'est pas un nombre premier par convention et pour de bonnes raisons. En fait, un est plus que cela. C'est le générateur de tous les nombres: il suffit d'ajouter 1, puis 1, etc. pour créer tous les nombres.

Voir Chiffre 1 dans le DicoNombre / Un est spécial

 

 

Définition du nombre premier

 

Un nombre entier plus grand que un est appelé nombre premier si ses diviseurs positifs (ses facteurs) sont un et lui-même.

 

Voir Site de Caldwell en référence

 

Il est vrai que souvent la mention "plus grand que un" n'est pas mentionnée. Il est préférable de le dire, mais la définition inclut déjà implicitement cette exclusion: un ET lui-même implique deux diviseurs distincts. Outre cette argutie, l'exclusion est indispensable pour énoncer, en toute généralité, bon nombre de théorèmes en théorie des nombres.

 

 

 

  Devinette

Trouvez toutes les possibilités de faire un million en ajoutant un carré à un nombre premier. Ne vous découragez pas, les solutions ne sont pas si nombreuses. À la clé une propriété générale.

Indice: le nombre 1 joue un rôle important.

Solution

 

 

 

 

UN N'EST PAS PREMIER – Pourquoi?

 

*    Un nombre premier n'est divisible que par 1 et lui-même

*    Or, 1 n'est pas premier !

*    Un est pourtant divisible que par 1 et lui-même !

 

Recherche

*    Est-ce qu'il existe un codicille à la définition des nombres premiers ?

*    Une petite marque cachée, excluant le 1

*    Où alors, c'est que 1 a des propriétés particulières?

 

*    Comme:

1 = 1 x 1 : une seule possibilité..

*    Alors que pour tous les nombres premiers:

5     = 1 x 5 = 5 x 1 : deux possibilités.

*    Ou:

1 = 1 x 1 x 1 x 1 …

*    Produit infini

2  2 x 2 x 2 x 2 

2  1 x 2 x 2 x 2 …

 

*    On approche de la piste !

*    Il y a bien une exception pour 1, lequel n'est pas considéré comme un nombre premier.

*    C'est tout simplement que cela facilite la vie dans l'écriture de certaines lois; sans cela, il faudrait toujours énoncer la loi et ajouter "en excluant le 1".

 

Exemple 1:

 

*    Il existe un théorème qui dit que:

Tout nombre est le produit unique de nombres premiers (théorème fondamental de l'arithmétique).

 

Sans le 1, on écrit simplement:

100 = 22 x 52

 

Avec le 1, on pourrait écrire une infinité de produits:

100 = 1 x 22 x 52

= 12000 x 22 x 52

etc.

 

*    Bien évidemment, dans ce cas, la factorisation n'est plus unique.

 

 

Exemple 2:

 

*    Il existe un théorème qui dit que:

La somme des diviseurs d'un nombre premier p est p + 1.

Ce n'est pas le cas pour 1 lui-même, une bonne raison de l'exclure du club.

 

Exemples

p = 7  =>  somme des diviseurs: 7 + 1 = 8 = p + 1

p = 1  =>  somme des diviseurs: 1 = p

 

 

Conclusion

 

*    L'élimination du 1 n'est donc qu'une commodité de mathématiciens; une convention

Rien à voir avec une propriété magique du 1, sauf qu'il se glisse partout dans les multiplications sans en changer la valeur.

1 est, en effet, l'élément neutre de la multiplication.

 

 

  

 NOMBRE PREMIER – Définition alternative

 

*    NOMBRE PREMIER:

Nombre entier naturel qui a exactement deux diviseurs.

 

*    Cette définition permet d'exclure le cas du chiffre 1.

 

 

 

DEUX EST LE SEUL PREMIER PAIR

 

*    Si le nombre 1 est exclu de la famille des nombres premiers car trop banal, le nombre 2 se distingue comme étant le seul nombre premier pair.

 

*    En effet, tous les autres nombres pairs sont divisibles par 2, bien sûr

 

*    Ayant gardé son statut de nombre premier à part entière de nombreux théorèmes sont obligés de commencer par: pour tout nombre premier impair,  de manière à exclure le nombre 2.

 

 

 

 

  Devinette – Solution

 

Question

Trouvez toutes les possibilités de faire un million en ajoutant un carré à un nombre premier.

 

Solution

Mise en équation: 1 000 000 = 1000² = p + n²

Que l'on peut écrire: p = 1000² - n² = (1000 – n)(1000 + n)

Un nombre premier n'est un produit que si l'un des facteurs est égal à 1.

Seule possibilité 1000 – n = 1 et n = 999.

L'autre facteur est 1 999 qui est un nombre premier.

La somme cherchée: 1 000 000 = 999² + 1 999

Et c'est la seule possibilité.

 

Commentaire

Le choix d'un grand nombre impressionne. On aurait pu proposer:

100 = 10² = n² + p  = 9² + 19

D'une manière générale, il s'agit de différences de carrés qui égalent un nombre premier. Comme 6² – 5² = 11.

La factorisation impose que les deux carrés soient ceux de nombres consécutifs. Ex 51²– 50² = (51 – 50)(51 + 50) = 51 + 50 = 101.

Il suffit alors que la somme des deux nombres consécutifs soit un nombre premier. Ex: 53²– 52² = 53 + 52 = 105 qui n'est pas un nombre premier.

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Voir

*    Nombres premiersIndex

*    Propriétés des nombres premiers

*    Nombres sans carré

Site

*    Why is the number one not prime? Chris Caldwell

Diconombre

*    Nombre UN

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/Un.htm