NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 12/06/2018

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique    Brèves de Maths

      

Nombres figurés

 

Débutants

Nombres figurés

NOMBRES CARRÉS

 

Glossaire

Nombres carrés

 

 

INDEX

 

Carrés

 

Nombres figurés

Introduction

Caractérisation

Carrément carré

Doublement carré

Carré mod 3

Carré-carré

Chiffres des carrés

 

Sommaire de cette page

>>> Caractéristiques

>>> Liste

 

 

Caractéristiques

Famille

 

Nombre / Figuré

Nombre carré centré / nombre triangulaire carré /

Nombre carrément carré / Nombre carré-carré / Nombre doublement carré

 

 

Définitions

 

NOMBRE CARRÉ

 

*    Nombre formé à partir d'un carré de côté n.

*    En fait, le produit d'un nombre par lui-même.

*    Ou, encore, nombre dont la racine carrée est un entier.

Formule

Cn = n²

Génération

 

 

 

Impairs

 

*    Le carré de n est égal à la somme des n nombres impairs successifs.

Exemple:         6² = 36 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11

 

Illustration:

25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

Voir Calcul de la racine carrée avec les impairs

 

 

 

Propriétés

 

*    L'unité des carrés suit le motif: impair, pair.

*    Tous les carrés sont de la forme 3k + 1 sauf pour les nombres divisibles par 3.

 

Tout nombre peut s'écrire n = 3q + r avec r = {0, 1, 2}.

Au carré n² = 3q² + 6qr + r² avec r² = {0, 1, 4}.

Or, en division par 3 (mod 3): r = 4 est identique à r = 1.

Tous les carrés sont de la forme 3k ou 3k + 1 et jamais 3k + 2.

 

*    Un carré impair est également un nombre octogonal centré.

*    Le carré du nombre n est égal au produit des deux nombres qui l'encadre plus un.

Exemple:         7² = 6 x 8 + 1 = 48 + 1 = 49

Raison:          (n + 1) (n – 1) = n² - 1

 

*    Le carré du nombre n est égal au carré du précédent augmenté de 2n – 1

Exemple:         7² = 6² + 2 x 7 - 1 = 36  + 14 – 1 = 49

Raison:         n² - (n-1)² = n² - n² + 2n - 1 = 2n – 1

 

*    Le carré du nombre n est égal à deux fois le précédent moins celui qui le précède plus 2

Exemple:         7² = 2 x 6² - 5² + 2 = 72 – 25 + 2 = 49

Raison:         2(n-1)² - (n-2)² + 2 = 2n² - 4n + 2 – n² + 4n – 4 + 2 = n²

 

*    Un carré est la somme de deux nombres triangulaires successifs.

Exemple:         6² = 36 = 15 + 21

 

*    La somme de deux carrés consécutifs est un nombre carré centré.

 

*    Lorsqu’un carré est la somme de deux carrés   premiers entre eux, il est impair et sa racine carrée est aussi la somme de deux carrés premiers entre eux.

Exemple:    5² = 3² + 4²:   25 est impair et 5 = 1² + 2².

 

*    Si le produit de deux entiers premiers entre eux est un carré, chacun d’eux est un carré et leurs racines carrées sont premières entre elles.

Exemple:    4 x 9 = 36 = 6²  et 4 = 2² comme 9 = 3².

 

*    Si un carré divise un carré, la racine carrée du premier divise la racine carrée du deuxième.

Exemple:    15² = 225 = 9 x 25 et 3 divise 15, comme 5 divise 15.

 

Anglais

*    Square number or perfect square

 

                                                                      

Liste

 

 

n             

 

1                   1

2                   4

3                   9

4                 16

5                 25

6                 36

7                 49

8                 64

9                 81

10             100

11             121

12             144

13             169

14             196

15             225

16             256

17             289

18             324

19             361

20             400

21             441

22             484

23             529

24             576

25             625

 

 

n             

 

26             676

27             729

28             784

29             841

30             900

31             961

32             1024

33             1089

34             1156

35             1225

36             1296

37             1369

38             1444

39             1521

40             1600

41             1681

42             1764

43             1849

44             1936

45             2025

46             2116

47             2209

48             2304

49             2401

50             2500

 

 

n             

 

51             2601

52             2704

53             2809

54             2916

55             3025

56             3136

57             3249

58             3364

59             3481

60             3600

61             3721

62             3844

63             3969

64             4096

65             4225

66             4356

67             4489

68             4624

69             4761

70             4900

71             5041

72             5184

73             5329

74             5476

75             5625

 

 

n             

 

76             5776

77             5929

78             6084

79             6241

80             6400

81             6561

82             6724

83             6889

84             7056

85             7225

86             7396

87             7569

88             7744

89             7921

90             8100

91             8281

92             8464

93             8649

94             8836

95             9025

96             9216

97             9409

98             9604

99             9801

100           10000

 

 

 

 

Carrés avec minimum de chiffres

 

Carré avec seulement deux chiffres différents jusqu'à 10 000

[11, 121], [12, 144], [15, 225], [21, 441], [22, 484], [26, 676], [38, 1444], [88, 7744], [109, 11881], [173, 29929], [212, 44944], [235, 55225], [264, 69696], [3114, 9696996]

 

Voir Carrés avec chiffres répétés

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Nombres carrément carré

*    Nombres premiers de Pythagore

Voir

*    Calcul des carrés

*    Caractérisation des nombres avec des premiers

*    Carré en géométrie

*    Nombres carrésGlossaire

*    Nombres carrésIndex

*    Puissance Index

*    Racine carréeCalcul mental

*    Racine carrée d'un nombreGlossaire

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/FIGURE/Carre.htm