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Édition du: 23/12/2019

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Brèves de Maths

 

INDEX

 

Géométrie

Carrés dans Carré

Pavage

Empilement

 

 

 

N carrés dans un grand carré

 

Problème d'empilement optimal dans le plan qui consiste à arranger N carrés identiques dans un carré, le plus petit possible.

 

 

Sommaire de cette page

>>> Cas de 4 et 5  carrés

>>> Cas de 10 et 11carrés

>>> Récapitulatif pour 1 à 10 carrés

>>> Cas de 11 carrés

>>> Propriétés

>>> Bilan

 

Débutants

Géométrie

 

Glossaire

Topologie

Anglais: Square packing in a square / Problem of packing equal squares in a square

 

 

 

Cas de 4 et 5 carrés

haut

 

Cas où N est un nombre carré

Dans ce cas, comme pour N = 4, l'empaquetage est évident. On peut arranger quatre carrés dans un carré en faisant deux rangées de deux.

Avec n = 4, la taille du grand carré pour des petits carrés de côté unité:

 

 

Cas où N  = 5

À l'évidence, il n'est pas possible d'obtenir un remplissage (un pavage) complet.

L'arrangement qui minimise la surface du grand carré consiste à placer le cinquième au milieu des quatre autres avec une orientation à 45°.

L'espacement entre deux carrés est égal à la moitié de la diagonale (d) du carré central.

La surface perdue (P) est égale à 2,33 sur 7,33 soit 32 %.

 

 

 

Cas de 10 carrés et généralisation

haut

 

L'illustration montre les quatre possibilités pour n = 10, avec 1, 2, 3 ou 4 carrés centraux, orientés à 45°.

 

La construction ne présente pas de difficulté particulière en s'inspirant de la construction pour n = 5.

C'est Frits Gödel qui démontra en 1979 que cet arrangement est optimum pour n = 5.

 

Ces présentations pour n = 10, avec carrés à 45°, peut se généraliser.

Avec n = 27 (illustration), le côté du carré est:

On obtient le même type d'arrangement pour: 5, 10, 27, 38, 52, 67, 84 … Ce sont les meilleurs connus.

Au-delà de 10, on ne sait pas s'ils sont optimaux.

 

 

À nouveau, généralisation possible avec cette disposition pour n = 28 que l'on développer aussi pour 40, 65, 89 …

 

 

Nombreux sont ceux qui se  sont amusé à ce jeux ! Avec une diagonale à deux rangées ou trois rangées. Même des arrangements improbables comme celui présenté à droite.

Chaque fois améliorant des records, mais trouver la preuve du minimum est une autre histoire.

 

 

 

 

Récapitulatif pour 1 à 10 carrés

haut

 

N

C

P

Quand et Qui

1

1

0

/

2

2

2

1979 – F. Göbel

3

2

1

1979 – F. Göbel

4

2

0

/

5

2,7

2,33

1979 – F. Göbel

6

3

3

2002 – M. Kearney et P. Shiu

7

3

2

1999 – E. Friedman

8

3

1

1999 – E. Friedman

9

3

0

/

10

3,7

3,74

1979 – W. Stromquist

11

 

 

Inconnu

 

 

 

N est la quantité de petits carrés,

C la longueur du côté du grand carré

P est l'aire de la perte (surface ocre)

 

Solutions pour n de 1 à 10

 

 

Cas de 11 carrés

haut

 

Le premier arrangement (à gauche) est réalisé avec cinq carrés orientés à 45°. C = 3,886.

Le second (à droite) correspond au meilleur arrangement connu avec C = 3,8772.

Sachant que Stromquist a démontré que:

C'est le plus petit cas pour lequel, la solution optimale exige une orientation des carrés différente de 45°. Ce qui valide la conjecture qu'avait été faite par Marin Gardner.

 

 

 

Propriétés

haut

 

Il n'est pas difficile de montrer que la longueur du côté C(n) du grand carré en fonction de n est bornée.

Par exemple, 6 carrés tiennent dans un carré de 3 de côté, mais pas dans un carré de 2.

 

 

En 2005, Nagamochi a prouvé que =>

Exemples:

C(2) = C(3) = C(4) = 2

C(7) = C(8) = C(9) = 3

C(14) = C(15) = C(16) = 4

 

En 2009, Erich Friedman prouve les valeurs de C(n) pour:

2, 3, 5, 7, 8, 14, 15, 24 et 35

 

 

Bilan

Pour une vision synthétique des connaissances voir la référence anglaise (Friedman). En annexe (appendix), on y trouve un tableau pour n de 1 à 100 indiquant les meilleurs arrangements connus, y compris les figures des empilements.

Prouver qu'un empilement est optimum n'est pas simple. La trigonométrie est mise à contribution.

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*      Tangram

Sites

*      Empilement de carré dans un carré – Wikipédia

*      Packing Unit Squares in Squares: A Survey and New Results – Erich Friedman – pdf 27 pages

*      Packing 10 or 11 Unit Squares in a Square – Walter Stromquist – 2002

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http://villemin.gerard.free.fr/Pavage/CarrCarr.htm