NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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   CARRÉ

 

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Carré

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Aire du carré

Dissections

 

Sommaire de cette page

>>> Découpe du carré – Approche

>>> Démonstration visuelle

>>> Démonstration avec les aires
>>> Découpe en 20

 

 

 

Carré divisé en cinq

 

Avec une simple règle comment diviser le carré en cinq parties rigoureusement égales. Énigme classique, étudiée pas à pas.

 

 

Découpe du carré – Approche

 

*      Voici le carré initial en ocre et la découpe en cinq parties égales: un petit carré et quatre triangles rectangles dont les cinq aires sont égales.

La découpe résulte du tracé des pseudo-médianes: droites issues d'un sommet et rejoignant le milieu du côté opposé.

 

*      L'explication réside dans le fait que, pour un triangle rectangle dont l'un des côtés et le double de l'autre, l'aire est égale au carré du petit côté.

*      Nous allons donc montrer que le petit côté (b) des triangles bleus sont deux fois moins longs que le grand côté (c) ; et que, en plus, il s'agit de la longueur du côté (cc) du carré central.

*      En bref:

Si : cc = b = ½ c, alors:

Aire du carré central  = cc²

Aire du triangle = ½ b.c = ½ cc.(2cc) = cc²

On aura aussi: a = b   (cf: a² = b² + c²)

 

Démonstration ci-dessous

 

 

 

 

Démonstration visuelle

 

*      En dessinant cinq carrés comme indiqué, il est manifeste que les petits triangles qui dépassent du grand carré compensent ceux qui sont laissés libres sur les bords du grand carré.

*      Le dessin à droite le montre pour l'un des côtés du grand carré.

*      Une démonstration complète peut être effectuée à partir de cette remarque. Il faut alors prouver que les deux petits triangles montrés à part à droite sont bien superposables (égaux).

 

 

 

Démonstration avec les aires

 

*      Notations

*      Étapes de la démonstration:

 

1.   MNOP est un losange          >>>

2.   MNOP est un carré               >>>

3.   Partage du segment BB'       >>>

4.   Aires (MNOP) = Aire (ABM)  >>>

 

 

 

 

 

MNOP est un losange

 

*      Dans le quadrilatère AC'CA':

*       AC' // A'C

*       AC' = A'C = a/2

 AC'CA' est un parallélogramme.

*      En particulier:

*       AA' // CC'

*       BB' // DD'

 MNOP est un losange.

 

 

MNOP est un carré

 

*      Dans les triangles ABB' et DAA':

*       AB = AD

*       AB' = A'D

*       Les angles A et D sont droits

 Les deux triangles sont superposables.

*      Le triangle DAA' se déduit de ABB' par rotation de 90°.

*       les côtés homologues sont orthogonaux, et en particulier:

*       AA' BB'

 MNOP est losange possédant un angle droit, c'est un carré.

 

 

 

Partage du segment BB'

 

*      Dans le triangle ABM:

*       AC' = C'B

*       AM // C'N

*       les triangles BC'N et BAM sont semblables dans un rapport 2.

 BN = MN = c
    AM = MP = c

 C'N = ½ AM = c/2

    B'M = ½ DP = c/2

*      Sur chaque pseudo-médiane comme B'B:

*       B'B = B'M + MN + NB
= 1/2c + c + c = 2,5c

 

 

 

 

Aires égales

 

*      Aire du triangle ABM:

A(ABM) = ½ AM x MB
          = ½  c x (2c) = c²

*      Chaque triangle comme ABM a une aire égale à celle du carré central.

 

 

*      Aire du carré central MNOP:

A(MNOP) = MN² = c²

 

*      Le carré ABCD est bien découpé en 5 parties, chacune ayant une aire égale à c².

5 c² = a²

a = c  = 2,236… c

 

 

Partage en 20 parties superposables

 

*      La démonstration visuelle met en évidence des petits triangles rectangles. Il est possible de paver tout le grand carré avec ces triangles. Il y en aura 20.

 

*      Cette découpe en vingt triangles élémentaires permet de mettre en évidence notre découpe en cinq parties égales:

 

*      Cette découpe en cinq parties égales ménage un carré central. Il est possible de faire d'autres découpes du grand carré en cinq parties égales en combinant d'une autre façon les triangles quatre par quatre:

 

 

 

Voir

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Site

*    Cinq carrés dans un carré  démonstration et avec animation

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