NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 21/02/2011 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	CARRÉ
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		Sommaire de cette page >>> Découpe du carré – Approche >>> Démonstration visuelle >>> Démonstration avec les aires >>> Découpe en 20

Carré divisé en cinq

Avec une simple règle comment diviser le carré en cinq parties rigoureusement égales. Énigme classique, étudiée pas à pas.

Découpe du carré – Approche

Voici le carré initial en ocre et la découpe en cinq parties égales: un petit carré et quatre triangles rectangles dont les cinq aires sont égales. La découpe résulte du tracé des pseudo-médianes: droites issues d'un sommet et rejoignant le centre du côté opposé. L'explication réside dans le fait que, pour un triangle rectangle dont l'un des côtés et le double de l'autre, l'aire est égale au carré du petit côté. Nous allons donc montrer que le petit côté (b) des triangles bleus sont deux fois moins longs que le grand côté (c) ; et que, en plus, il s'agit de la longueur du côté (cc) du carré central. cc = b = 2c Aire du carré central = c² Aire du triangle = ½ b.c = ½ b.(2c) = c² On aura aussi: a = c

Démonstration visuelle

En dessinant cinq carrés comme indiqué, il est manifeste que les petits triangles qui dépassent du grand carré compensent ceux qui sont laissés libres sur les bords du grand carré. Le dessin à droite le montre pour l'un des côtés du grand carré. Une démonstration complète peut être effectuée à partir de cette remarque. Il faut alors prouver que les deux petits triangles montrés à part à droite sont bien superposables (égaux).

Démonstration avec les aires
Notations Étapes de la démonstration: 1. MNOP est un losange >>> 2. MNOP est un carré >>> 3. Partage du segment BB' >>> 4. Aires (MNOP) = Aire (ABM) >>>

MNOP est un losange
Dans le quadrilatère AC'CA': AC' // A'C AC' = A'C = a/2 AC'CA' est un parallélogramme. En particulier: AA' // CC' BB' // DD' MNOP est un losange.

MNOP est un carré
Dans les triangles ABB' et DAA': AB = AD AB' = A'D Les angles A et D sont droits Les deux triangles sont superposables. Le triangle DAA' se déduit de ABB' par rotation de 90°. les côtés homologues sont orthogonaux, et en particulier: AA' BB' MNOP est losange possédant un angle droit, c'est un carré.

Partage du segment BB'
Dans le triangle ABM: AC' = C'B AM // C'N les triangles BC'N et BAM sont semblables dans un rapport 2. BN = MN = c AM = MP = c C'N = ½ AM = c/2 B'M = ½ DP = c/2 Sur chaque pseudo-médiane comme B'B: B'B = B'M + MN + NB = 1/2c + c + c = 2,5c

Aires égales
Aire du triangle ABM: A(ABM) = ½ AM x MB = ½ c x (2c) = c² Chaque triangle comme ABM a une aire égale à celle du carré central.	Aire du carré central MNOP: A(MNOP) = MN² = c² Le carré ABCD est bien découpé en 5 parties, chacune ayant une aire égale à c². 5 c² = a² a = c = 2,236… c

Partage en 20 parties superposables

La démonstration visuelle met en évidence des petits triangles rectangles. Il est possible de paver tout le grand carré avec ces triangles. Il y en aura 20. Cette découpe en vingt triangles élémentaires permet de mettre en évidence une autre forme de découpe en cinq parties égales: Ces deux découpes en cinq parties égales ménagent un carré central. Il est possible de faire d'autres découpes du grand carré en cinq parties égales en combinant d'une autre façon les triangles quatre par quatre:

Voir	Allumettes et carrés Carré Construction à la règle et au compas Énigmes classiques Géométrie Jeux Nombres carrés Pavage du carré Quadrilatères Quantité de carrés avec des allumettes
DicoNombre	Nombre 5 Nombre 20
Site	Cinq carrés dans un carré  démonstration et avec animation