NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 27/06/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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	Sommaire de cette page >>> Les 23 problèmes de Hilbert >>> 10^e problème de Hilbert

LES 23 PROBLÈMES DE HILBERT
23 problèmes énoncés par Hilbert au Congrès international de mathématiques, Paris, 1900 En vérité, il en présente dix à la conférence et treize seront ajoutés plus tard. Il y en avait même un vingt-quatrième, qu'il a retiré. En 2017, il y a : 11 problèmes résolus: 3, 7, 10, 13, 14, 17 à 22; 5 problèmes non résolus: 6, 8, 12, 16 et 23; 7 problèmes partiellement résolus ou indécidables ou de formulation pas assez précise. Il existe plusieurs formulations des problème, selon les auteurs. NB: la plupart de ces problèmes dépassent l'objet de ces pages Ils sont tous cités pour la curiosité du lecteur.
David Hilbert (1862-1943) – Allemand Un des plus grands mathématiciens du XX^e siècle. En 1895, il arrive à l'université de Göttingen qu'il ne quittera pas. En 1900, au Second Congrès International des Mathématiciens réunis à Paris, il propose 23 problèmes non résolus à la communauté des mathématiciens >>> L'art des mathématiques consiste à trouver le cas particulier qui contient tous les germes de la généralité – David Hilbert The art of doing mathematics consists in finding that special case which contains all the germs of generality – David Hilbert

DÉFINITION
N°	Énoncé	Résolu ?	Par qui
1a	Peut-on prouver l'hypothèse du continu de Cantor ? Démontrer l'hypothèse du continu. Existe-t-il un nombre transfini entre l'ensemble du dénombrable (nombres rationnels) et les nombres du continu (nombres réels)?	Non, tout dépend de la version particulière choisie pour la théorie des ensembles	Gödel, 1940. et Cohen
1b	Peut-on considérer l'ensemble du continu comme un ensemble bien ordonné? L'ensemble des nombres réels peut-il être bien ordonné ? Axiome du choix de Zermerlo: démontré comme étant indépendant de tous les autres axiomes de la théorie des ensembles	Oui, si l'on admet l'axiome du choix, lequel est équivalent au problème cité	Cohen, 1963. Mais, de fait, il semble qu'il n'y ait pas de solution universelle à cette question

2

Peut-on prouver la consistance de l'arithmétique ? Étudier l'indépendance et la non-contradiction des axiomes de l'arithmétique

Non, selon le théorème de l'incomplétude de Gödel Tout système formel capable de formuler sa propre consistance, peut aussi prouver son inconsistance

Gödel, 1931.

3

La méthode euclidienne de décomposition en polyèdres est-elle applicable à tous les volumes ? Donner 2 tétraèdres qui ne puissent pas être décomposés en tétraèdres congruents directement adjoints

Non,

Dehn (élève de Hilbert), 1902. et W.F. Kagon en 1903, de manière indépendante

4

Quelles sont les géométries dans lesquelles le chemin le plus court entre deux points est un segment de droite. Trouver les géométries dont les axiomes sont les plus proches de ceux de la géométrie euclidienne si les axiomes d'ordre et d'incidence sont retenus, l'axiome de congruence affaiblit, l'équivalent du postulat sur les parallèles supprimé

Résolu

George Hamel (1877-1954).

5

Existe-t-il des groupes de Lie continus ? Sous quelles conditions un groupe topologique peut-il être muni d'une structure de Lie Peut-on éviter l'hypothèse de la différentiabilité des fonctions définissant une transformation continue Généralisation de l'équation fonctionnelle de Cauchy

Résolution partielle

1930: John von Neumann pour les groupes bicompacts 1952: Andrew Glean pour les groupes localement compacts 1952: pour le cas abélien 1953: Montgomery et Zipin, compléments combinés aux résultats de Yamabe

6

Peut-on axiomatiser la physique ?

Cette question fut rapidement obsolète compte tenu des évolutions radicales de la physique mathématique (théories de la relativité, de la mécanique quantique, cinétique des gaz,...).

7

Étude de l'irrationalité et de la transcendance de certains nombres

Résolu

1934: Gelfond et complété par Schneider et Baker. 1996: Courant et Robins

8

Prouver la conjecture de Riemann. Étudier la distribution des nombres premiers

Partielle

Hardy, Weil

9

Établir une loi de réciprocité dans les corps de nombres algébriques Construire des généralisations du théorème de la réciprocité de la théorie des nombres Nombre de solutions d'une congruence quadratique dans un anneau d'entiers d'un corps algébrique (réciprocité quadratique).

Résolu

Artin, T. Takagi

10

Existe-t-il un algorithme universel pour la résolution des équations diophantiennes. Entscheidungsproblem

Résolu après avoir démontré que n = F2m est diophantienne (F2m étant un nombre de Fibonacci)

Julia Robinson, Marin Davis & Yuri Matijasevic (1970).

11

Étudier les formes quadratiques sur les corps de nombres algébriques Généraliser la classification des formes quadratiques à celles dont les coefficients sont choisis dans des anneaux d'entiers algébriques. Étendre les résultats obtenus sur les formes quadratiques aux formes algébriques entières arbitraires

Résolu

Par Siegel.

12

Construction de corps de classes des corps de nombres algébriques Généralisation d'un théorème de Kronecker. Étendre le théorème de Kronecker à des formes algébriques arbitraires en construisant explicitement des formes de la classe de Hilbert en utilisant des valeurs particulières. Construction des fonctions holomorphiques de plusieurs variables qui ont des propriétés analogues aux fonctions exponentielles et aux fonctions elliptiques modulaires

Partiellement résolu Problème ardu de la théorie des nombres conduisant à la théorie des corps de classes et à la multiplication complexe.

Par T. Takagi, H. Hasse. 1995: Holzapfel

13

Montrer l'impossibilité de la résolution de l'équation générale de degré 7 par la décomposition de fonctions continues de 2 variables Existe-t-il des fonctions continues de 3 variables non superposables par des fonctions continues de deux variables (équivalent à la résolution d'une équation algébrique de degré 7 au moyen des fonctions de deux variables). Par exemple, la fonction h de 3 variables est définie par superpositions des trois fonctions f, g et k de 2 variables si pour tout x, y et z, on a : h(x,y,z) = (g(x,y),k(y,z))

Non

1954: Kolmogorov et Arnold (son élève)

14

Étude d'un problème très pointu relatif à l'existence d'un système fini de générateurs d'une algèbre de fonctions rationnelles sur un corps abstrait. Montrer l'aspect fini de systèmes de fonctions intégrales relatives Détermination de certains anneaux d'invariants

Résolu négativement

1959: M. Nagata

15

Établir le fondement de la géométrie algébrique Peut-on fonder (au sens formel) la géométrie énumérative de Schubert (géométrie algébrique, cohomologie)?

Résolu Oui

1945: Bell

16

Développer une topologie des variétés algébriques réelles (courbes et surfaces). La conjecture de Shimura-Taniyama postule simplement cette liaison

Partiellement résolu

1978: Gudkov et Utkin 1995: Ilyashenko et Yakovenko

17

Déterminer les fonctions rationnelles à coefficients réels, ne prenant que des valeurs positives, et sommes de carrés de fonctions rationnelles Problème sur la topologie des courbes algébriques et des surfaces. Une fonction rationnelle positive sur R^n peut-elle s'écrire comme somme de carrés de fonctions rationnelles ?

Résolu Oui

1927: Artin

18

Construire des espaces avec des polyèdres congruents Peut-on décomposer un espace euclidien de dimension fini comme réunion de pavés de sorte que chacun d'eux soit congruent (isométrique) à l'un des polyèdres d'une famille donnée.

Résolu

1910: Bieberbach

19

Rechercher si les solutions d'un problème relevant du calcul des variations (système d'équations aux dérivées partielles) sont nécessairement analytiques.

Résolu positivement

1929: S. N. Bernstein et Tibor Rado, complété par I.G. Petrovski, 1939.

20

Étudier la solution générale des problèmes de valeur limite (généralisation du problème de Dirichlet).

Partielle

21

Étudier l'existence d'une équation différentielle linéaire de Fuchs satisfaisant à des conditions (points singuliers) données.

Résolu par la négative Des cas particuliers ont été résolus

1957: Helmut Rörl 1989: B. Bolibruch, pour la réponse négative

22

Uniformisation des fonctions analytiques complexes au moyen de fonctions fuchsiennes (automorphes).

Résolu

1907: Poincaré & P. Koebe

23

Développer une méthode générale de résolution dans le calcul des variations. Existe-t-il une procédure automatique qui résolve tous les problèmes de mathématiques les uns après les autres ?

Partielle

Voir Machine de Turing et décidabilité

10e PROBLÈME de HILBERT

Il n’y a pas d’algorithme indiquant si une équation diophantienne possède ou non une solution. Équation diophantienne Qui a des coefficients entiers et dont on recherche des solutions rationnelles. Comme y^2 = x^3 + a Matjasevich ou Matijasevic C’est lui qui trouve, à 22 ans (1970), le maillon manquant de la démonstration en utilisant la logique mathématique. En particulier, il démontre que n = F2m , avec le nombre de Fibonacci F2m , est une relation diophantienne.

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