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Sommaire de cette page

>>> Les 23 problèmes de Hilbert

>>> 10e problème de Hilbert

 

 

 

 

 

 

  

LES 23 PROBLÈMES DE HILBERT

 

*      23 problèmes énoncés par Hilbert

au Congrès international de mathématiques, Paris, 1900

 

*      Il existe plusieurs formulations des problème, selon les auteurs.

 

NB: la plupart de ces problèmes dépassent l'objet de ces pages

Ils sont tous cités pour la curiosité du lecteur.

 

 

 

 

 

DÉFINITION

Énoncé

Résolu ?

Par qui

1a

*       Peut-on prouver l'hypothèse du continu de Cantor ?

*       Démontrer l'hypothèse du continu.

*       Existe-t-il un nombre transfini entre l'ensemble du dénombrable (nombres rationnels) et les nombres du continu (nombres réels)?

Non,

tout dépend de la version particulière choisie pour la théorie des ensembles

Gödel, 1940.

et Cohen

1b

*       Peut-on considérer l'ensemble du continu comme un ensemble bien ordonné?

*       L'ensemble des nombres réels peut-il être bien ordonné ?

 

Axiome du choix de Zermerlo: démontré comme étant indépendant de tous les autres axiomes de la théorie des ensembles

Oui, si l'on admet l'axiome du choix, lequel est équivalent au problème cité

Cohen, 1963.

Mais, de fait, il semble qu'il n'y ait pas de solution universelle à cette question

 

2

*       Peut-on prouver la consistance de l'arithmétique ?

*       Étudier l'indépendance et la non-contradiction des axiomes de l'arithmétique

Non,

selon le théorème de l'incomplétude de Gödel

Tout système formel capable de formuler sa propre consistance, peut aussi prouver son inconsistance

Gödel, 1931.

 

3

*       La méthode euclidienne de décomposition en polyèdres est-elle applicable à tous les volumes ?

*       Donner 2 tétraèdres qui ne puissent pas être décomposés en tétraèdres congruents directement adjoints

Non,

Dehn (élève de Hilbert), 1902.

et W.F. Kagon en 1903, de manière indépendante

 

4

*       Quelles sont les géométries dans lesquelles le chemin le plus court entre deux points est un segment de droite.

*       Trouver les géométries dont les axiomes sont les plus proches de ceux de la géométrie euclidienne si les axiomes d'ordre et d'incidence sont retenus, l'axiome de congruence affaiblit, l'équivalent du postulat sur les parallèles supprimé

Résolu

George Hamel (1877-1954).

 

5

*       Existe-t-il des groupes de Lie continus ?

*       Sous quelles conditions un groupe topologique peut-il être muni d'une structure de Lie

*       Peut-on éviter l'hypothèse de la différentiabilité des fonctions définissant une transformation continue

*       Généralisation de l'équation fonctionnelle de Cauchy

Résolution partielle

1930: John von Neumann pour les groupes bicompacts

1952: Andrew Glean pour les groupes localement compacts

1952: pour le cas abélien

1953: Montgomery et Zipin, compléments combinés aux résultats de Yamabe

6

*       Peut-on axiomatiser la physique ?

Cette question fut rapidement obsolète compte tenu des évolutions radicales de la physique mathématique (théories de la relativité, de la mécanique quantique, cinétique des gaz,...).

 

 

7

*       Étude de l'irrationalité et de la transcendance de certains nombres

Résolu

1934: Gelfond et complété par Schneider et Baker.

1996: Courant et Robins

 

8

*       Prouver la conjecture de Riemann.

*       Étudier la distribution des nombres premiers

Partielle

Hardy, Weil

 

9

*       Établir une loi de réciprocité dans les corps de nombres algébriques

*       Construire des généralisations du théorème de la réciprocité de la théorie des nombres

*       Nombre de solutions d'une congruence quadratique dans un anneau d'entiers d'un corps algébrique (réciprocité quadratique).

Résolu

Artin, T. Takagi

 

10

*       Existe-t-il un algorithme universel pour la résolution des équations diophantiennes.

Entscheidungsproblem

Non

après avoir démontré que n = F2m est diophantienne (F2m étant un nombre de Fibonacci)

Julia Robinson, Marin Davis & Yuri Matijasevic (1970).

11

*       Étudier les formes quadratiques sur les corps de nombres algébriques

*       Généraliser la classification des formes quadratiques à celles dont les coefficients sont choisis dans des anneaux d'entiers algébriques.

*       Étendre les résultats obtenus sur les formes quadratiques aux formes algébriques entières arbitraires

Résolu

Par Siegel.

 

12

*       Construction de corps de classes des corps de nombres algébriques

*       Généralisation d'un théorème de Kronecker.

*       Étendre le théorème de Kronecker à des formes algébriques arbitraires en construisant explicitement des formes de la classe de Hilbert en utilisant des valeurs particulières. Construction des fonctions holomorphiques de plusieurs variables qui ont des propriétés analogues aux fonctions exponentielles et aux fonctions elliptiques modulaires

Partiellement résolu

Problème ardu de la théorie des nombres conduisant à la théorie des corps de classes et à la multiplication complexe.

Par T. Takagi, H. Hasse.

1995: Holzapfel

 

13

*       Montrer l'impossibilité de la résolution de l'équation générale de degré 7 par la décomposition de fonctions continues de 2 variables

*       Existe-t-il des fonctions continues de 3 variables non superposables par des fonctions continues de deux variables (équivalent à la résolution d'une équation algébrique de degré 7 au moyen des fonctions de deux variables).

*       Par exemple, la fonction h de 3 variables est définie par superpositions des trois fonctions f, g et k de 2 variables si pour tout x, y et z, on a : h(x,y,z) = (g(x,y),k(y,z))

Non

 

 

1954: Kolmogorov et Arnold (son élève)

 

14

*       Étude d'un problème très pointu relatif à l'existence d'un système fini de générateurs d'une algèbre de fonctions rationnelles sur un corps abstrait.

*       Montrer l'aspect fini de systèmes de fonctions intégrales relatives

*       Détermination de certains anneaux d'invariants

Résolu négativement

1959: M. Nagata

 

15

*       Établir le fondement de la géométrie algébrique

*       Peut-on fonder (au sens formel) la géométrie énumérative de Schubert (géométrie algébrique, cohomologie)?

Résolu

 

Oui

1945: Bell

16

*       Développer une topologie des variétés algébriques réelles (courbes et surfaces).

*       La conjecture de Shimura-Taniyama postule simplement cette liaison

Partiellement résolu

1978: Gudkov et Utkin

1995: Ilyashenko et Yakovenko

 

17

*       Déterminer les fonctions rationnelles à coefficients réels, ne prenant que des valeurs positives, et sommes de carrés de fonctions rationnelles

*       Problème sur la topologie des courbes algébriques et des surfaces. Une fonction rationnelle positive sur Rn peut-elle s'écrire comme somme de carrés de fonctions rationnelles ?

Résolu

 

 

 

Oui

1927: Artin

 

18

*       Construire des espaces avec des polyèdres congruents

*       Peut-on décomposer un espace euclidien de dimension fini comme réunion de pavés de sorte que chacun d'eux soit congruent (isométrique) à l'un des polyèdres d'une famille donnée.

Résolu

1910: Bieberbach

 

19

*       Rechercher si les solutions d'un problème relevant du calcul des variations (système d'équations aux dérivées partielles) sont nécessairement analytiques.

Résolu positivement

1929: S. N. Bernstein et Tibor Rado, complété par I.G. Petrovski, 1939.

20

*       Étudier la solution générale des problèmes de valeur limite (généralisation du problème de Dirichlet).

Partielle

 

 

21

*       Étudier l'existence d'une équation différentielle linéaire de Fuchs satisfaisant à des conditions (points singuliers) données.

Résolu

par la négative

Des cas particuliers ont été résolus

1957: Helmut Rörl

1989: B. Bolibruch, pour la réponse négative

 

22

*       Uniformisation des fonctions analytiques complexes au moyen de fonctions fuchsiennes (automorphes).

Résolu

1907: Poincaré & P. Koebe

 

23

*       Développer une méthode générale de résolution dans le calcul des variations.

*       Existe-t-il une procédure automatique qui résolve tous les problèmes de mathématiques les uns après les autres ?

Partielle

Voir  Machine de Turing et décidabilité

 

 

 10e PROBLÈME de HILBERT

 

 

Il n’y a pas d’algorithme indiquant si une équation diophantienne possède ou non une solution.

 

 

Équation diophantienne

*       Qui a des coefficients entiers et dont on recherche des solutions rationnelles. Comme

y2 = x3 + a

 

Matjasevich ou Matijasevic

 

*       C’est lui qui trouve, à 22 ans (1970), le maillon manquant de la démonstration en utilisant la logique mathématique. En particulier, il démontre que n = F2m , avec le nombre de Fibonacci F2m , est une relation diophantienne.

  

 

 

 

 

 

 

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*      Hilbert's 23 Unsolved Problems

*      Mathematical Problems by David Hilbert

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