Glossaire - dissection

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Approche

Découpage du carré pour former un losange. Deux exemples:

Ce genre de transformations est connu en tant que puzzle. Mais les applications sont nombreuses en tapisserie, emballage, menuiserie …

Définition

Dissection: découpe d'une figure géométrique plane pour en reformer une autre de même aire.
Du latin: dissecare, couper en deux. >>>

Généralisation: découpe d'une figure géométrique en n dimensions pour en former une nouvelle en n dimensions de mêmes mesures (aire, volume, …). Polygone en polygone, polyèdre en polyèdre, polytopes en polytopes.

Vocabulaire

Une dissection pour reformer la même figure est un découpage. Un découpage avec des triangles est une triangulation.

*Constat dans le plan*	Un polygone A est découpé en un nombre fini de morceaux polygonaux qui sont recombinés en un polygone B. Alors, les polygones A et B ont des aires égales. La réciproque donne lieu au théorème suivant.
*Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwein*	Si deux polygones A et B ont des aires égales, alors on peut découper le premier en un nombre fini de polygones qui se recombinent pour former le second. Autrement dit: pour tout couple de polygones de même aire, on peut trouver une dissection du premier en le second. Ou encore: Deux polygones sont décomposables par dissection polygonale, si et seulement si ils ont la même aire. Démontré indépendamment par ses trois personnes entre 1814 et 1833.
*Polygones*	Le cas du décagone transformé en carré est un cas notable: de huit pièces au début du XXe siècle, la dissection est désormais réalisable en seulement sept pièces.
*Problème de Haberdasher*	Transformation du carré en triangle équilatéral en quatre pièces. Célèbre puzzle proposé par Henri Dudeney en 1907. Remarquable: la transformation peut être opérée continument alors que les pièces pivotent autour des sommets (puzzle charnière ou hinge puzzle).
*Cas des polyèdres*	En général, ce théorème est faux pour les polyèdres.

Anglais

Dissection problem:

Any two rectilinear figures with equal area can be dissected into a finite number of pieces to form each other. This is the Wallace-Bolyai-Gerwien theorem.

En savoir plus

Carré – dissection en chaise à porteur