NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

 

>>> Approche

>>> Théorème

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Approche

*        Découpage du carré pour former un losange. Deux exemples:

*        Ce genre de transformations est connu en tant que puzzle. Mais les applications sont nombreuses en tapisserie, emballage, menuiserie …

Définition

*        Dissection: découpe d'une figure géométrique plane pour en reformer une autre de même aire.
Du latin: dissecare, couper en deux.
 >>>

 

*        Généralisation: découpe d'une figure géométrique en n dimensions pour en former une nouvelle en n dimensions de mêmes mesures (aire, volume, …). Polygone en polygone, polyèdre en polyèdre, polytopes en polytopes.

Vocabulaire

*        Une dissection pour reformer la même figure est un découpage. Un découpage avec des triangles est une triangulation.

Constat dans le plan

*        Un polygone A  est découpé en un nombre fini de morceaux polygonaux qui sont recombinés en un polygone B. Alors, les polygones A et B ont des aires égales.
La réciproque donne lieu au théorème suivant.

Théorème de Wallace-Bolyai-Gerwein

*        Si deux polygones A et B ont des aires égales, alors on peut découper le premier en un nombre fini de polygones qui se recombinent pour former le second.

*        Autrement dit: pour tout couple de polygones de même aire, on peut trouver une dissection du premier en le second.

*        Ou encore:

 

Deux polygones sont décomposables par dissection polygonale, si et seulement si ils ont la même aire.

 

Démontré indépendamment par ses trois personnes entre 1814 et 1833.

Polygones

*        Le cas du décagone transformé en carré est un cas notable: de huit pièces au début du XXe siècle, la dissection est désormais réalisable en seulement sept pièces.

Problème de Haberdasher

*        Transformation du carré en triangle équilatéral en quatre pièces.

*        Célèbre puzzle proposé par Henri Dudeney en 1907. Remarquable: la transformation peut être opérée continument alors que les pièces pivotent autour des sommets (puzzle charnière ou hinge puzzle).

Cas des polyèdres

*        En général, ce théorème est faux pour les polyèdres.

Anglais

*        Dissection problem:

Any two rectilinear figures with equal area can be dissected into a finite number of pieces to form each other. This is the Wallace-Bolyai-Gerwien theorem.

En savoir plus

*       Carré – dissection en chaise à porteur

*       Carré – dissections typiques (2, 3, 5, 9)

*       Carré – trisection par Abul'l-Waf'a

*       Carré en cinq et en vingt

*       Carré en triangles acutangles

*       Carré parfait

*       Pavage du plan

*       Pentagone – Dissection

*       Tangram

*       Triangle en sept

*       Triangle mystérieux de Lewis Carroll

*       Triangle obtusangle en acutangles

Sites

*       Dissections de polygones réguliers

*       Dissections de polygones par Alain Rousseau

*       Dudeney’s haberdasher puzzle (pdf)

 

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