NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire

 

Liste des fonctions

 Diviseurs – Quantité

 

Sommaire de cette page

>>> Définition

>>> Valeurs pour n de 1 à 100

>>> Calcul

>>> Démonstration

>>> Propriétés

>>> Curiosités

>>> Tau modulo

 

 

 

 

 

Quantité de diviseurs d'un nombre

 

Rappel notation de la factorisation

 

 

Exemple:           n = 12

Facteurs:         12 = 22 . 3

Diviseurs:        1, 2, 3, 4, 6, 12

Quantité de diviseurs = 6

 

 

Définition

 

Quantité de diviseurs d'un nombre n:

 

Qui se lit:
"tau de n" est égal à la somme de l'unité pour tous les diviseurs de n.

 

 La notation "tau" est de Leonard Dickson (1919)

 

Exemple

Quantité de diviseurs de n = 12:
Autrement dit:
On ajoute 1 chaque fois que l'on trouve un nouveau diviseur de 12.

 

 

Valeur de tau(n) pour les nombres de 1 à 100

 

 

Notez que la colonne 2 correspond aux 25 nombres premiers inférieurs à 100.

 

Tout comme il existe une infinité de nombres premiers, il y a une infinité de nombre de t(n) donné.

 

Autrement-dit: toutes les colonnes (sauf celle du 1) ont une longueur infinie.

 

Remarquez que les colonnes impaires ne comportent que des carrés

 

Voir Table des nombres successifs ayant le même tau

 

 

Calcul

 

Formule

La définition montre comment dénombrer en identifiant chacun des diviseurs.

Mais, est-il possible de calculer la quantité par une simple formule?

 

La réponse est "oui".

Elle semble un peu compliquée.

Mais, tout va s'éclaircir avec un exemple

 

 

Par convention:

 

Exemple: n = 12

 

Il est relativement simple de trouver la quantité de diviseurs: il suffit d'ajouter 1 à tous les exposants des facteurs et d'en faire le produit.

 

 

 

 

 

 

 

Démonstration

Le nombre n:

n =

Un nombre m du même style

Seuls les exposants sont différents.

m =

Imposons que m soit un diviseur de n

m   

n

La condition nécessaire et suffisante est que chaque facteur de m à sa puissance soit inférieur ou égal à chacun de ceux de n

() 

(i)

Ou encore, pour tout i jusqu'à r

i 

i

Donc, si m représente un diviseur de n

comment peut-on choisir "bêta 1"
Exemple: pour 22 => 1, 2, 4 soit 3 possibilités

pour 1  il y a 1 + 1 choix

Poursuivons la démarche pour les autres "bêta"

pour 2  il y a 2 + 1 choix

pour i  il y a i + 1 choix

Face à ces possibilités de choix exclusifs, le principe de multiplication peut s'appliquer

Cumul des possibilités

(1 + 1)(1 + 1) … (r + 1)

Et, en adoptant notre notation raccourcie

(n) =

piralpha

En cas de difficulté pour comprendre cette démonstration, voir Familiarisation

 

Cas particulier

Si un nombre possède k facteurs

qui ne sont pas répétés (squarefree

)

 (n) =

2k

Exemple avec 24

30 =

Quantité de facteurs

Diviseurs de 3 =>

Quantité de diviseurs

2 x 3 x 5

3

1, 2, 3, 5 et 2x3,  2x5, 3x5, 2x3x5

8 = 23

Girolamo Cardano dit Cardan (1537)

 

 

Propriétés

Ordre:

 

 

Borne évidente

 (n)

< n

Meilleure approche

 

< 2n

Et même, pour n > 12 (Isravilov et Allikov - 1980)

 

< n2/3

Parité:

 

 

La valeur de tau est impaire si n est un carré

 (kcarré )

= 2k + 1

La valeur de tau est paire si n n'est pas un carré

 (knon carré )

= 2k

Valeur:

 

 

Un nombre premier possède deux diviseurs

 (p)

= 2

Quantité de diviseurs de la puissance d'un nombre premier

 (pn)

 (pn-1)

= n + 1

= n

Il existe une infinité de nombres tels que:

 (n)

= a  (a>1)

Moyenne:

 

 

La valeur moyenne de tau(n)

pour tous les nombres de 1 à n compris

(Dirichlet – 1838)

Note: g = 0,577…

moy

= ln(n) + 2 -1

 

 

Curiosités: nombres successifs

avec même quantité de diviseurs

Doublets avec tau identique

 

 

Conjecture (Guy): il existe une infinité de nombres consécutifs ayant le même nombre de diviseurs.

 (n) =  (n+1)

 

 

Exemples

 (14) =  (15)

 (21) =  (22)

= 4

= 4

Triplets

 

 

Il en existe 20 pour n < 1 000

et ils valent 4, 6 ou 8

Il en existe 149 pour n < 10 000

et ils valent 4, 6, 8, 12 ou 16

 (33) =  (34) =  (35)

 (85) =  (86) =  (87)

 (93) =  (94) =  (95)

= 4

= 4

= 4

Quadruplets

 

 

Il en existe 8 pour n < 10 000

et ils valent 6 ou 8

Il en existe 125 pour n < 100 000

et ils valent 8 ou 12

 (242) =  (243) =  (244) =  (245)

 (3 655) = …

= 6

= 8

Quintuplets

 

 

Il en existe 19 pour n < 100 000

et ils valent 8

 (11 605) = …

= 8

Sextuplets

 

 

Il en existe 18 pour n < 1 000 000

et ils valent 8

 (28 374) = …

 (90 181) = …

= 8

Le premier de la liste est effectivement le plus petit

 

Un petit bilan

Jusqu'à

1000

10 000

100 000

106

Doublets

 

 

 

 

Triplets

20

149

1 404

 

Quadruplets

1

8

125

 

Quintuplets

0

4

19

 

Sextuplets

 

 

2

18

Voir Table des nombres successifs ayant même quantité de diviseurs

 

 

Tau MODULO 4

 (m, n)

= nombre de diviseurs de n congruents à m modulo 4

 (0, 5) = 0

 (1, 5) = 2

 (2, 5) = 0

 (3, 5) = 0

n = 5

Diviseurs

1, 5

Mod 4

1, 1

 (0, 100) = 3

 (1, 100) = 3

 (2, 100) = 3

 (3, 100) = 0

n = 100 = 24 .

Diviseurs

1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

Mod 4

1, 2, 0, 1,   2,   0,   1,   2,     0

 (0, 90) = 0

 (1, 90) = 4

 (2, 90) = 6

 (3, 90) = 2

n = 90 = 2 . 3² . 5

Diviseurs

1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90

Mod 4

1, 2, 3, 1, 2, 1,  2,    3,    2,   2,   1,   2

 (0, 450) = 0

 (1, 450) = 6

 (2, 450) = 9

 (3, 450) = 3

450 = 2 . 3² .

Diviseurs

1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 25, 30, 45, 50, 75, 90, 150, 225, 450

Mod 4

1, 2, 3, 1, 2, 1,  2,   3,    2,   1,   2,   1,   2,   3,    2,    2,     1,     2

Voir application en Quantité de sommes de 2 carrés

 

 

 

Suite

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