NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 07/06/2009

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DIVISEURS D'UN NOMBRE Quantité

Exemple: n = 12 Facteurs: 12 = 2^2 . 3 Diviseurs: 1, 2, 3, 4, 6, 12 Quantité de diviseurs = 6

Rappel notation

DÉFINITION

Quantité de diviseurs d'un nombre n: Qui se lit: "tau de n" est égal à la somme de l'unité pour tous les diviseurs de n	(n) =
Exemple: Quantité de diviseurs de n = 12: Autrement dit: On ajoute 1 chaque fois que l'on trouve un nouveau diviseur	d|12 (1) =	1+1+1+1+1+1 = 6

La notation "tau" est de Leonard Dickson (1919)

Valeur de tau(n) pour les nombres de 1 à 100

(n)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
n	1	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97	4 9 25 49	6 8 10 14 15 21 22 26 27 33 34 35 38 39 46 51 55 57 58 62 65 69 74 77 82 85 86 87 91 93 94 95	16 81	12 18 20 28 32 44 45 50 52 63 68 75 76 92 98 99	64	24 30 40 42 54 56 66 70 78 88	36 100	48 80		60 72 84 90 96
Qté	1	25	4	32	2	16	1	10	2	2	0	5

Notez que la colonne 2 correspond aux 25 nombres premiers inférieurs à 100

Tout comme il existe une infinité de nombres premiers, il y a une infinité de nombre de t(n) donné

Autrement-dit: toutes les colonnes (sauf celle du 1) ont une longueur infinie

Remarquez que les colonnes impaires ne comportent que des carrés

CALCUL

La définition montre comment dénombrer en identifiant chacun des diviseurs Mais, est-il possible de calculer la quantité par une simple formule? La réponse est "oui" Elle semble un peu compliquée Mais, voyons un exemple!	(n) =
Par convention	(1) =	1
Mais, voyons un exemple! Il est relativement simple de trouver la quantité de diviseurs Il suffit d'ajouter 1 à tous les exposants des facteurs et d'en faire le produit	12 = (12) = 8 300 600 = ( " ) =	2^2 . 3 (2+1)(1+1) = 6 2^3.5^2.7^3.11^2 4. 3. 4. 3 = 144

Démonstration

Le nombre n	n =
Un nombre m du même style Seuls les exposants différent	m =
Imposons que m soit un diviseur de n	m	n
La condition nécessaire et suffisante est que chaque facteur de m à sa puissance soit inférieur ou égal à chacun de ceux de n	()	(^i)
Ou encore, pour tout i jusqu'à r	i	i
Donc, si m représente un diviseur de n comment peut-on choisir "bêta 1" Exemple: pour 2^2 => 1, 2, 4 soit 3 possibilités	pour 1 il y a 1 + 1 choix
Poursuivons la démarche pour les autres "bêta"	pour 2 il y a 2 + 1 choix … pour i il y a i + 1 choix
Face à ces possibilités de choix exclusifs, le principe de multiplication peut s'appliquer	Cumul des possibilités	(1 + 1)(1 + 1) … (r + 1)
Et, en adoptant notre notation raccourcie	(n) =

En cas de difficulté pour comprendre cette démonstration, voir Familiarisation

Cas particulier

Si un nombre possède k facteurs qui ne sont pas répétés (squarefree)	(n) =	2^k
Exemple avec 24	24 = Quantité de facteurs Diviseurs de 24 => Quantité de diviseurs	2 x 3 x 4 3 1, 2, 3, 4 et 2x3, 2x4, 3x4, 2x3x4 8 = 2^3

Girolamo Cardano dit Cardan (1537)

PROPRIÉTÉS

Ordre:
Borne évidente	(n)	< n
Meilleure approche		< 2n
Et même, pour n > 12 (Isravilov et Allikov - 1980)		< n^2/3
Parité:
La valeur de tau est impaire si n est un carré	(kcarré )	= 2k + 1
La valeur de tau est paire si n n'est pas un carré	(knon carré )	= 2k
Valeur:
Un nombre premier possède deux diviseurs	(p)	= 2
Quantité de diviseurs de la puissance d'un nombre premier	(p^n) (p^n-1)	= n + 1 = n
Il existe une infinité de nombres tels que	(n)	= a (a>1)
Moyenne:
La valeur moyenne de tau(n) pour tous les nombres de 1 à n compris (Dirichlet - 1838) Note: g = 0,577…	moy	= ln(n) + 2 -1

CURIOSITÉS

Doublets avec tau identique
Conjecture (Guy): il existe une infinité de nombres consécutifs ayant le même nombre de diviseurs	(n) = (n+1)
Exemples	(14) = (15) (21) = (22)	= 4 = 4
Triplets
Il en existe 20 pour n < 1 000 et ils valent 4, 6 ou 8 Il en existe 149 pour n < 10 000 et ils valent 4, 6, 8, 12 ou 16	(33) = (34) = (35) (85) = (86) = (87) (93) = (94) = (95)	= 4 = 4 = 4
Quadruplets
Il en existe 8 pour n < 10 000 et ils valent 6 ou 8 Il en existe 125 pour n < 100 000 et ils valent 8 ou 12	(242) = (243) = (244) = (245) (3 655) = …	= 6 = 8
Quintuplets
Il en existe 19 pour n < 100 000 et ils valent 8	(11 605) = …	= 8
Sextuplets
Il en existe 18 pour n < 1 000 000 et ils valent 8	(28 374) = … (90 181) = …	= 8

Le premier de la liste est effectivement le plus petit

Un petit bilan

Jusqu'à	1000	10 000	100 000	10^6
Doublets
Triplets	20	149	1 404
Quadruplets	1	8	125
Quintuplets	0	4	19
Sextuplets			2	18

TAU MODULO

Tau Modulo 4
(m, n)	= nombre de diviseurs de n congruents à m modulo 4
(0, 5) = 0 (1, 5) = 2 (2, 5) = 0 (3, 5) = 0	n = 5 Diviseurs 1, 5 Mod 4 1, 1
(0, 100) = 3 (1, 100) = 3 (2, 100) = 3 (3, 100) = 0	n = 100 = 2^4 . 5² Diviseurs 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100 Mod 4 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0
(0, 90) = 0 (1, 90) = 4 (2, 90) = 6 (3, 90) = 2	n = 90 = 2 . 3² . 5 Diviseurs 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90 Mod 4 1, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 2
(0, 450) = 0 (1, 450) = 6 (2, 450) = 9 (3, 450) = 3	450 = 2 . 3² . 5² Diviseurs 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 25, 30, 45, 50, 75, 90, 150, 225, 450 Mod 4 1, 2, 3, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 2

Voir application en Quantité de sommes de 2 carrés

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Quantité de diviseurs

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