NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Théorie des Nombres

 

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Nombres

 

 

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Introduction

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Sommaire de cette page

>>> Ambition

>>> La théorie des nombres

>>> Domaine de travail

>>> En amuse-gueule

>>> Plus théorique

>>> Déductions

 

 

 

 

 

THÉORIE DES NOMBRES

Introduction

 

Un petit avant goût des propriétés des nombres.

Souvent très facile à énoncer et à comprendre.

Beaucoup plus difficile à prouver!

 

 

 

 

Ambition

Deux manières, comme pour le piano:

Ambition du virtuose

ou Capable de pianoter

*    Étude minutieuse du solfège.

*    Longue pratique.

*    Utilisation de recettes et de trucs.

*    On joue d'abord avec les touches lumineuses avant de se lancer sur quelques airs simples.

En théorie des nombres:

Ambition du professionnel

ou Capable d'apprécier

*    Étude minutieuse du symbolisme et des concepts.

*    Longue pratique.

*    Appréciation à travers des curiosités.

*    Les curiosités s'avèrent provenir de quelques règles générales.

*    Être capable de comprendre la théorie générale des nombres est l'affaire de quelques spécialistes en mathématiques.

*    C'est un domaine extrêmement abstrait et complexe.

*    Découvrir la théorie des nombres est à la portée de chacun.

*    Il faut cependant simplifier un peu le paysage.

*    Abandonner la rigueur extrême du domaine, pour s'intéresser à l'essentiel.

*    Notre but n'est pas de découvrir de nouveaux théorèmes.

*    Il s'agit de toucher du doigt les beautés cachées derrière les nombres.

 

 

 

 

La théorie des nombres

 

Définitions


 
Arithmétique

*       Étude des propriétés des nombres rationnels.

*       D'abord limitée à des procédés de calcul:

*       addition, soustraction,

*       multiplication, division,

*       élévation à la puissance

*       Elle s'est développée par l'introduction du calcul littéral.

 

Théorie des nombres

*    Étude des propriétés des nombres;

*    Utilisation des nombres comme concepts abstraits;

*    Étude des fondements, des théorèmes, d'une systématique.

 

La distinction entre les deux n'est pas si évidente que cela.

L'une se confond avec l'autre.

Aujourd'hui, théorie des nombres fait plus classe!

 

 

Un autre point de vue

 

Grammaire

  & Poésie

Arithmétique

& Théorie des nombres

 

*    Il y a la même différence entre arithmétique et théorie des nombres qu'entre grammaire et poésie.

*    La poésie, comme la grammaire a des règles, mais l'art en plus.

*    L'arithmétique, comme la grammaire, serait plus concernée par la "mécanique" des nombres.

*    La théorie des nombres, comme la poésie, serait :

*       une œuvre artistique,

*       une sélection des théorèmes les plus déroutants,

*       une vision profonde à l'intérieur du monde des nombres,

*       une approche d'un monde rempli de mystères

 

 

 

Domaine de travail

 image004

Voir Ensembles des nombres

 

 

EN AMUSE-GUEULE

Divisibilité

*    Un nombre est divisible par 3
si et seulement si

la somme de ses chiffres est divisible par 3.

 

Exemple:   n = 123

Somme des chiffres:

s = 1 + 2 + 3 = 6

s est divisible par 3 alors n l'est aussi:

123 est divisible par 3.

En effet: 123 = 3 x 41.

 

 

Équations

*    Cette équation a une infinité de solutions:

 

x² + y² = z²

 

*    Cette équation n'a aucune solution:

 

x3 + y3 = z3

 

 

3² + 4² = 5²

65² + 72² = 97²

Triplets de Pythagore

 

 

Théorème de Fermat-Wiles

 

Nombres premiers

*    Il y a une infinité de nombres premiers.

 

Prouvé par Euclide

 

2, 3, 5, 7, 11, 13 …  Records

*    On ne sait pas si les nombres premiers jumeaux sont en nombre infini.

 

11 & 13

29 & 31

 

 

Somme de carrés

*    Tous les nombres premiers (> 2) sont de la forme:

4n  1

 

3 = 4 x 1 – 1

5 = 4 x 1 + 1

 

*    Un nombre premier de la forme

P = 4n + 1

est somme de deux carrés.

 

13 = 4 x 3 + 1

13 = 2² + 3²

 

Nombres

*    Il existe des nombres qui ne peuvent pas être écrits comme quotient de deux nombres entiers (fraction).

Irrationnels:   2,

*    Il existe des nombres qui ne peuvent pas être solution d'une équation à coefficients entiers.

Transcendants:   , e

 

 

Plus théorique

 

Définition récursive

*    Si un ensemble S de nombres positifs,

*       contient l'entier 1 , et

*       contient n+1 chaque fois qu'il contient n,

alors, l'ensemble S contient tous les nombres entiers positifs.

Voir Démonstration par récurrence

 

Le plus petit est toujours là

 

*    Tout ensemble de nombres entiers possède un élément qui est le plus petit;
Sinon, il est vide.

 Voir Structures algébriques

 

 

 

 

 

Déductions

 

On peut dire de manière équivalente

A et B étant deux affirmations
 

A

A

Si A est vraie,

Pour que A soit vraie

A est vraie

A est une condition suffisante

B est une condition nécessaire

 B

implique B

alors B est vraie

il faut que B soit vraie

si B est vraie

pour que B soit vraie

pour que A soit vraie

A

B est une condition nécessaire & suffisante

 B

pour que A soit vraie

 

 

 

 

 

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