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Édition du: 20/01/2020

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Théorie des nombres

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Sommaire

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Nombres parfaits

>>>

 

 

NOMBRES PARFAITS

 

Nombres égaux à la somme de leurs diviseurs propres

(tous les diviseurs sauf le nombre lui-même).

Sommaire de cette page

>>> Théorème fondamental

>>> Facteurs et diviseurs

>>> Somme des diviseurs

>>> Types de nombres

>>> Nombres parfaits

>>> Relation d'Euclide

>>> Multiparfaits

>>> Parfaits et associés

Débutants

Nombres

 

Glossaire

Nombres

Voir Cool !  Je suis débutant

 

 

Théorème fondamental de l'ARITHMÉTIQUE

haut

 

En bref

Tout entier non nul est un produit unique de nombres premiers.

 

Théorème

Tout entier naturel non nul peut s'écrire d'une manière et d'une seule sous la forme d'un produit:

n = p1a1 . p2a2  prar

pi sont des nombres premiers distincts, ai sont positifs.

 

 

 

Forme canonique

Le développement obtenu est dit: forme canonique du développement de n en facteurs premiers. Les différents pi sont appelés:

facteurs premiers de n

 

Exemples

Nombre

27

28

30

Forme canonique

33

22 . 7

2 . 3 . 5

Voir Nombre premier et théorème fondamental de l'arithmétique

 

FACTEURS et DIVISEURS

haut

 

Diviseurs

Si n est divisible par a, alors a est un diviseur de n.

Toutes les combinaisons possibles des produits des facteurs, y compris selon leur puissance, donnent tous les diviseurs de n.

 

 

Exemples

Nombre

27

28

30

Forme

 canonique

33

22 . 7

2 . 3 . 5

Facteurs

3

2 , 7

2, 3, 5

Diviseurs

{1, 3, 9, 27}  

{1, 2, 4, 7, 14, 28}  

{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}  

Voir Trouver tous les diviseurs d'un nombre

 

SOMME des diviseurs

haut

 

 

Diviseurs

 

Depuis l'Antiquité, on a cherché à comparer le nombre à la somme de ses diviseurs (sigma).

 

Et plus précisément, à la somme de ses diviseurs propres (sigma'), égal à la somme moins le nombre lui-même.

 

Exemples

Nombre

27

28

30

Forme canonique

33

22 . 7

2 . 3 . 5

Facteurs

3

2 , 7

2, 3, 5

Diviseurs

{1, 3, 9, 27}  

{1, 2, 4, 7, 14, 28}   

{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}  

Somme des

diviseurs

40

56

72

Somme des

diviseurs propres

13

28

42

Observations

13 < 27

28 = 28

42 > 30

Voir Comment calculer la somme des diviseurs

 

 

TYPES de nombres

haut

 

Par rapport à la somme des diviseurs propres, un nombre est soit plus petit, égal, ou plus grand.

 

En cas d'égalité le nombre est PARFAIT.

 

Exemples

Nombre

27

28

30

Somme des

diviseurs propres

13

28

42

Comparaisons

13 < 27

28 = 28

42 > 30

Type de nombre

Déficient

Parfait

Abondant

Voir Nomenclature des nombres selon la somme de leurs diviseurs

 

Nombres PARFAITS

haut

 

Définition 

 

Nombre égal à la somme de ses diviseurs propres.

Cad: y compris 1,  mais lui-même exclu.

 

 

Exemples

 

Diviseurs

Somme des diviseurs

6

3, 2, 1

3 + 2 + 1 = 6

28

14, 7, 4, 2, 1

14 + 7 + 4 + 2 + 1 = 28

Voir Nombres parfaits – Valeurs, Propriétés, Records, Historique

 

 

Relation d'EUCLIDE

haut

 

Théorème

 

Si N = 2n-1 ( 2n – 1 )

avec p = (2n – 1) premier,

alors N est parfait.

 

 

Théorème et réciproque

Euclide avait trouvé cette formule.

Euler démontre la réciproque.

Il montre que tous les nombres parfaits pairs sont de cette forme.

Or, on ne connaît que des nombres parfaits pairs.

 

Nombre de Mersenne

Le nombre premier p = (2n – 1) est un nombre de Mersenne.

Les plus grands nombre premiers connus sont des nombres premiers de Mersenne

À chaque fois qu'un record est connu

il engendre automatiquement un record de nombre parfait.

 

MULTIPARFAITS et autres

haut

 

Si la somme des diviseurs est égale à k fois le nombre, ce nombre est k-parfait.

Un nombre parfait classique est

2-parfait ou biparfait

Un nombre égal au tiers de la somme de ses diviseurs est 3-parfait ou triparfait

 

 

Autres types de nombres associés aux nombres parfaits:

    Unitairement parfaits

    Presque- parfaits

    Amiables et sociables

 

Exemple

Nombre

120

Forme

canonique

23 . 3 . 5

Diviseurs

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12,

15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}  

Somme des

 diviseurs

360

Rapport

360 = 3 x 120

Voir Nombres multiparfaits

 

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