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Édition du: 20/01/2020 |
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INDEX |
Théorie des nombres |
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NOMBRES PARFAITS Nombres égaux à la somme de leurs diviseurs
propres (tous les diviseurs sauf le nombre lui-même). |
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Sommaire de cette page >>> Théorème fondamental >>> Facteurs et diviseurs >>> Somme des diviseurs >>> Types de nombres |
>>> Nombres parfaits >>> Relation d'Euclide >>> Multiparfaits >>> Parfaits et associés |
Débutants Glossaire |
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En bref Tout entier non nul est un produit unique de
nombres premiers. |
Théorème Tout entier naturel non nul peut s'écrire d'une
manière et d'une seule sous la forme d'un produit: n = p1a1 . p2a2
… prar pi sont des nombres premiers distincts,
ai sont positifs. |
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Forme canonique Le développement obtenu est dit: forme canonique du développement de n en
facteurs premiers. Les différents pi sont appelés: facteurs premiers de n |
Exemples |
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Voir Nombre
premier et théorème fondamental de l'arithmétique
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Diviseurs Si n est
divisible par a, alors a est un diviseur de n. Toutes les combinaisons possibles des produits des facteurs, y compris
selon leur puissance, donnent tous les diviseurs de n. |
Exemples
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Voir Trouver tous les diviseurs d'un nombre
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Diviseurs Depuis l'Antiquité, on a cherché à comparer le nombre à la somme de
ses diviseurs (sigma). Et plus précisément, à la somme de ses diviseurs propres (sigma'), égal
à la somme moins le nombre lui-même. |
Exemples
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Voir Comment calculer la somme des diviseurs
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Par rapport à la somme des diviseurs propres, un nombre est soit plus
petit, égal, ou plus grand. En cas d'égalité le nombre est PARFAIT. |
Exemples
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Voir Nomenclature
des nombres selon la somme de leurs diviseurs
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Définition Nombre égal à la somme de ses diviseurs propres. Cad: y compris 1, mais lui-même
exclu.
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Exemples |
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Voir Nombres
parfaits – Valeurs, Propriétés, Records, Historique
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Théorème Si N = 2n-1 ( 2n
– 1 ) avec p = (2n – 1) premier, alors N est parfait. Théorème et réciproque Euclide
avait trouvé cette formule. Euler démontre
la réciproque. Il montre que tous les nombres parfaits pairs
sont de cette forme. Or, on ne connaît que des nombres parfaits pairs. |
Nombre de Mersenne Le nombre premier p = (2n
– 1) est un nombre de
Mersenne. Les plus grands nombre premiers connus sont des nombres premiers de
Mersenne À chaque fois qu'un record
est connu il engendre automatiquement un record de nombre parfait. |
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Si la somme des diviseurs est égale à k fois le nombre, ce nombre est k-parfait. Un nombre parfait classique est 2-parfait ou biparfait Un nombre égal au tiers de la somme de ses diviseurs est 3-parfait ou
triparfait Autres types de nombres associés aux nombres parfaits: |
Exemple
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Voir |
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