NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 07/06/2009

 

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Introduction à la Théorie des nombres

Sommaire

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NOMBRES PARFAITS

>>>

Général

 

 

 

 

Sommaire de cette page

 

>>> THÉORÈME FONDAMENTAL

>>> FACTEURS ET DIVISEURS

>>> SOMME DES DIVISEURS

>>> TYPES DE NOMBRES

>>> NOMBRES PARFAITS

>>> RELATION D'EUCLIDE

>>> MULTIPARFAITS

>>> PARFAITS ET ASSOCIÉS

 

 

Pages Voisines

 

*      Diviseurs

*      Types de nombres selon diviseurs

*      Théorie des nombres - Index

*      Jeux et puzzles

 


 

 

NOMBRES PARFAITS

 

Nombres égaux à la somme de leurs diviseurs propres

 

 

*    Ce site comporte de nombreuses pages sur

-          les diviseurs et

-          les nombres parfaits

*    Cette page est un exposé complet sur les nombres parfaits

-          avec les liens vers les développements dans d'autres pages

 

Voir

Cool !  Je suis débutant

 

 

  THÉORÈME FONDAMENTAL DE L'ARITHMÉTIQUE

 

En bref

Tout entier non nul

est un produit unique de nombres premiers

 

Théorème

Tout entier naturel non nul peut s'écrire

d'une manière et d'une seule

sous la forme d'un produit:

n = p1a1 . p2a2  prar

pi sont des nombres premiers distincts

ai sont positifs

 

Forme canonique

*    Le développement obtenu est dit:

FORME CANONIQUE

du développement de n en facteurs premiers

*    Les différents p1 sont appelés:

FACTEURS PREMIERS

de n

 

Exemples

Nombre

27

28

30

Forme canonique

33

22 . 7

2 . 3 . 5

 

Voir

Nombre premier et théorème fondamental de l'arithmétique

 

 

  FACTEURS ET DIVISEURS

Diviseurs

*     Si n est divisible par a,

-         alors a est un diviseur de n

*     Toutes les combinaisons possibles

-         des produits des facteurs

-         y compris selon leur puissance

-         donnent tous les diviseurs de n

 

Exemples

Nombre

27

28

30

Forme canonique

33

22 . 7

2 . 3 . 5

Facteurs

3

2 , 7

2, 3, 5

Diviseurs

{1, 3, 9, 27}  

{1, 2, 4, 7, 14, 28}  

{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}  

 

Voir

Trouver tous les diviseurs d'un nombre

 

  SOMME DES DIVISEURS

Diviseurs

*     Depuis l'Antiquité, on a cherché à comparer

-         le nombre à

-         la somme de ses diviseurs (sigma)

*     Et plus précisément à

-         la somme de ses diviseurs propres (sigma')

-         égal à la somme moins le nombre lui-même

 

Exemples

Nombre

27

28

30

Forme canonique

33

22 . 7

2 . 3 . 5

Facteurs

3

2 , 7

2, 3, 5

Diviseurs

{1, 3, 9, 27}  

{1, 2, 4, 7, 14, 28}  

{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}  

Somme des diviseurs

40

56

72

Somme des diviseurs propres

13

28

42

 

13 < 27

28 = 28

42 > 30

 

Voir

Comment calculer la somme des diviseurs

 

 

  TYPES DE NOMBRES

*   Par rapport à la somme des diviseurs propres

Un nombre est soit:

plus petit, égal, ou plus grand

En cas d'égalité le nombre est

PARFAIT

 

Exemples

Nombre

27

28

30

Somme des diviseurs propres

13

28

42

Comparaisons

13 < 27

28 = 28

42 > 30

Type de nombre

Déficient

Parfait

Abondant

 

Voir

Nomenclature des nombres selon la somme de leurs diviseurs

 

 

  NOMBRES PARFAITS

Définition 

 

Nombre égal à la somme de ses diviseurs propres

(Cad: y compris 1, lui-même exclu)

 

' =  n

 

 

Exemples

 

Diviseurs

Somme des diviseurs

6

3, 2, 1

3 + 2 + 1 = 6

28

14, 7, 4, 2, 1

14 + 7 + 4 + 2 + 1 = 28

 

Voir

Nombres parfaits

Valeurs

Propriétés

Records

Historique

 

 

  RELATION D'EUCLIDE

Théorème

 

Si N = 2n-1 ( 2n - 1 )

avec p = (2n - 1) premier,

alors N est parfait

 

 

Théorème et réciproque

*    Euclide avait trouvé cette formule

*    Euler démontre la réciproque

*    Il montre que tous les nombres parfaits pairs sont de cette forme

*    Or, on ne connaît que des nombres parfaits pairs

 

 

Voir

*    Relation d'Euclide

*    Démonstration

 

Nombre de Mersenne

*   Le nombre premier p = (2n – 1)

-         est un nombre de Mersenne

*   Les plus grands nombre premiers connus sont

-         des nombres premiers de Mersenne

*   À chaque fois qu'un record est connu

-         il engendre automatiquement un record de nombre parfait

 

Voir

*    Nombre de Mersenne

*    Record des nombres premiers

 

 

  MULTIPARFAITS

*   Si la somme des diviseurs est égale à k fois le nombre

Ce nombre est k - parfait

*   Un nombre parfait classique est

2 - parfait ou biparfait

*   Un nombre égal au tiers de la somme des ses diviseurs

3 - parfait ou triparfait

 

Exemple

Nombre

120

Forme canonique

23 . 3 . 5

Diviseurs

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}  

Somme des diviseurs

360

Rapport

360 = 3 x 120

 

Voir

Nombres multiparfaits

 

  PARFAITS ET ASSOCIÉS

*   Autres types de nombres associés aux nombres parfaits

-         Unitairement parfaits

-         Presque- parfaits

-         Amiables et sociables

 

 

 


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