NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Partitions

 

Débutants

Addition

Variations sur les carrés

 

Glossaire

Addition

 

 

INDEX

 

PARTITION

 

CARRÉS

 

Carrés

Chiffres répétés

Repdigits

Produits

66 x 67 …

66 x 99 …

Factorisation

Sommes

Somme double

 

Différences

Propriétés

Écart 1, 2, …

Trouver la dif. des carrés

Table 1 à 100

Repdigits

Table des Repdigits

Curiosités

Tableau synthèse

a² – b² = c² – d²

 

Sommaire de cette page

>>> Belles formules

>>> Nombres consécutifs

>>> Premiers nombres consécutifs

>>> Nombres quelconques

>>> Nombres complètement carrés

>>> progression arithmétique entre trois carrés

 

 

 

 

 

 

DIFFÉRENCE des carrés de deux nombres

 

N = n² - m²

 

CURIEUX ! Cette différence des carrés de deux nombres est égale au produit de leur somme (s) par leur différence (e).

 

  N   =   n² – m²  =  s  .  e

100 = 26² – 24² = 50 x 2 = 676 – 576

200 = 27² – 23² = 50 x 4 = 729 – 529

 

 

Voir tout de suite Les conclusions

 

 

 

 

BELLES FORMULES (pour les yeux)

 

Somme des premiers entiers consécutifs égale différence de leur carré

 

3 = 1 + 2 =  2² – 1²

5 = 2 + 3 =  3² – 2²

7 = 3 + 4 =  4² – 3²

9 = 4 + 5 =  5² – 4²

Suite Table de 1 à 100

Voir Belles formules

 

 

NOMBRES CONSÉCUTIFS (pour se familiariser)

 

La somme de 2 nombres consécutifs, un nombre impair, est égale à la différence de leur carré.

 

Démonstration

Deux nombres consécutifs:

 n et n – 1

La différence de leur carré:

 

n² – (n – 1

= (n + n – 1) (n – n+1)

= 2n – 1

(n – 1

= n  + (n – 1)

 

 

 

 

PREMIERS NOMBRES CONSÉCUTIFS

 

Liste pour n jusqu'à 20

 

n             n-1           Somme               (n-1)²    Différence

1             0               1                 1           0           1

2             1               3                 4           1           3

3             2               5                 9           4           5

4             3               7                 16         9           7

5             4               9                 25         16         9

6             5               11              36         25         11

7             6               13              49         36         13

8             7               15              64         49         15

9             8               17              81         64         17

10           9               19              100       81         19

11           10             21              121       100       21

12           11             23              144       121       23

13           12             25              169       144       25

14           13             27              196       169       27

15           14             29              225       196       29

16           15             31              256       225       31

17           16             33              289       256       33

18           17             35              324       289       35

19           18             37              361       324       37

20           19             39              400       361       39

En rouge: trois carrés, triplets de Pythagore

 

Autres exemples

99 + 100 =

199

= 100² - 99²

100 + 101 =

201

= 101² - 100²

1110 + 1111 =

2221

= 1111² - 1110²

22221 + 22222 =

44443

= 22222² - 22221²

65 + 66 =

131

= 66² - 65²

66665 + 66666 =

133331

= 66666² - 66665²

Beau moyen de faire se répéter les chiffes

 

 

 

 

NOMBRES QUELCONQUES

 

Généralisation

Deux nombres:

 n et m

leur somme

s = n + m

Leur différence

e = n - m

La différence de leur carré:

 

n² - m²

= (n + m) (n - m)

n² - m²

= s . e

 

Conséquence

 

Soit deux nombres n et m dont

la somme est s et

l'écart est e

La différence de leur carré

est divisible

par s et

par  e

 

n² – m²

= s . e

 

Exemples

 

Voir Calcul des nombres avec somme et produit connus / Nombre 111

 

 

Nombres carrés, différence de carrés

et produit de carrés

 

*    Un carré parfait, différence de deux carrés, qui est aussi produit de deux carrés. 

*    Exemples de lecture de la table:

 

  10² – 6² =  8² =  4² x 2² = (10 + 6) (106)

100 – 36 = 64 = 16 x 4

 

  17² – 8² =  15² =  5² x 3² = (17 + 8) (178)

289 – 64 = 225 = 25 x 9

 

Table pour a et b de 1 à 99

 

*    Les nombres N = 24² = 576 et 48² = 2 304 y figurent deux fois.

*    Ces nombres sont très nombreux et d'autres apparaissent pour d'autres valeurs de a et b.

 

Table pour a et b de 100 à 1000 (les cas e = 1 sont éliminés)

 

Voir Différence de carrés = produit de cubes

 

 

Progression arithmétique entre trois carrés

 

*    Le premier cas de progression arithmétique entre carrés

Voir Pépite / Nombre 24

*    Ils sont très nombreux.

*    Formulation: c² – b² = r et b² – a² = r ou encore (en retranchant)  c² + a² = 2b²

 

*    Le tableau les donne tous jusqu'à r = 2000.
 

 

 

 

 

Suite

*    Cube et différence de carrés

*    Différence de carrés de nombres voisins trouvez les nombres

*    Soit un nombre N: trouvez comment l'exprimer sous la forme de différence de 2 carrés

*    Table des différences de carrés de 1 à 100

*    S'y retrouver

Voir

*    AdditionGlossaire

*    Addition des carrés

*    Addition des entiers

*    Addition des puissances

*    Carrés magiques

*    Conjecture de Goldbach

*    Différences kième entre puissances = constante

*    Identités remarquables

*    Impairs

*    Machine des frères Carissan

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*    Repdigit

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