NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Partitions

 

Débutants

Addition

Variations sur les carrés

 

Glossaire

Addition

 

 

INDEX

 

PARTITION

 

CARRÉS

 

Carrés

Chiffres répétés

Repdigits

Produits

66 x 67 …

66 x 99 …

Factorisation

Sommes

Somme double

 

Différences

Propriétés

Écart 1, 2, …

Trouver la dif. des carrés

Table 1 à 100

Repdigits

Table des Repdigits

Curiosités

Tableau synthèse

a² – b² = c² – d²

 

Sommaire de cette page

>>> Quels sont les nombres différences de deux carrés?

>>> La clé du mystère: une identité remarquable!

>>> Construction – Quantité de présentations

>>> Cas des nombres impairs

>>> Cas des nombres pairs

>>> Bilan

_____   Balade sur ce thème__________________________

>>> Belles formules

>>> Nombres consécutifs

>>> Premiers nombres consécutifs

>>> Nombres quelconques

>>> Nombres complètement carrés

>>> progression arithmétique entre trois carrés

 

 

 

 

 

 

DIFFÉRENCE des carrés de deux nombres

 

 

Propriété

TOUT nombre est égal à une différence de carrés, au moins.
SAUF, les nombres en 4k + 2 et les nombres: 1, 2, 4.

Voir la suite  des propriétés

 

 

 

 

Quels sont les nombres différences de deux carrés?

 

Observations

On cherche les nombres égaux à une différence de deux nombres au carré, comme 12 = 4² – 2².

 

Avec les nombres pairs,

*      les nombres 2, 4 et  tous ceux en 4k + 2 sont absents, comme 6, 10, 14 ...

*      à partir de 8, on en trouve les nombres divisibles par 4, comme 12, 16, 20 …

*      certains sont représentés deux fois, comme 24, 32, 40 et même trois fois pour 48.

Avec les nombres impairs,

*      tous les nombres, sauf le 1, sont présents.

*      il existe toujours une forme avec deux nombres consécutifs, comme 5 = 3² – 2².

*      d'autres représentations existent comme pour 15 avec 15 = 4² – 1² .

 

Nombres pairs    &    Nombres impairs

 

Voir Pair et impair

 

 

La clé du mystère: une identité remarquable!

 

Explications

Avec l'identité remarquable, on déduit immédiatement que:

*      N étant le produit de deux nombres e et s (y compris e = 1 et s = n),

les nombres portés au carré ont s pour somme et e pour différence (écart)

 

N = a² – b² = (a – b) (a + b) = e . s

 

Si un nombre (N) est différence de deux carrés, il est le produit de la somme (s) de ces deux nombres et de leur différence (e).

Relations entre ces quatre nombres

*      À partir de la relation principale, on en déduit la valeur de s et celle de e.

*      Par addition et soustraction de ces égalités, il est facile d'en déduire la valeur de a et celle de b.

Conditions

Les fractions exprimant a et b ne sont des nombres entiers que si (s +e) est pair; ce qui impose:

*    s et e sont tous deux pairs, ou

*    s et e sont tous deux impairs

 

Exemples

7  = 1 x 7 tous deux impairs

               a = 8/2 = 4    et     b = 6/2 = 3

7 = 4² – 3² = 16 – 9

 

8 = 2 x 4 tous deux pairs

               a = 6/2 = 3    et     b = 2/2 = 1

8 = 3² – 1² = 9 – 1

 

 

 

Construction – Quantité de présentations

 

Méthode

*      Établir la liste des diviseurs de N. Ici pour 15, on a quatre diviseurs: 1, 3, 5, 15.

*      Coupler deux diviseurs dont le produit est égal à N. Ils sont à égale distance des bords.

*      Bien vérifier que les deux membres du couple sont de même parité.

*      Faire le calcul selon les formules vues ci-dessus.

 

Exemple

 

Avec t = 4 diviseurs, on forme Q = t/2)= 2 couples dont le produit des membres est N.

 

Quantité

Soit t (en fait tau) est la quantité de diviseurs, il existe en général t/2 couples tels que leur produit est égal à N.

 

Deux cas critiques cependant:

*      on n'a pas la même parité dans le couple;

*      on a une quantité impaire de diviseurs.

 

La quantité de présentations est égale à la quantité de couples de diviseurs dont les valeurs sont de même parité.

 

Cas de parités différentes

10 et ses diviseurs {1, 2,  5, 10}

    Les couples (1, 10) et (2, 5) ne sont pas de même parité.

    Aucune différence de carré possible.

 

Cas d'une quantité impaire de diviseurs

16 et ses diviseurs {1,  2,  4,  8, 16}

  Seul le couple (2, 8)  crée une différence de carrés.
  16 = 5² – 3² 

 

 

 

Cas des nombres impairs

Nombres impairs premiers

À la différence des autres nombres, les nombres premiers (P) offrent un seul couple (1, P) et donc qu'une seule possibilité de différence de carrés.

Elle existe toujours, car le couple (1, P) est bien de même parité impaire.

 

P = 1 x P avec seulement deux diviseurs

 

Exemple    

 

Un nombre impair premier est une seule fois

différence de deux carrés consécutifs.

 

 

Nombres impairs composés

Avec au moins deux diviseurs de plus que pour les nombres premiers, ils offrent au moins un couple de plus.

Ce couple est éligible, car tous les diviseurs d'un nombre impair sont impairs.

 

 

La quantité de présentation (Q) est égale à la moitié de la quantité des diviseurs.

 

Pour les nombres dont la quantité de diviseurs est impaires: Q = entier(t/2).
C'est le cas de puissance pures comme 25 = 5² et ses trois diviseurs {1, 5, 25}. Alors Q = ent(3/2) = 1.

 

Exemple    
Diviseurs de 15 {1, 3, 5, 15}

 

Propriété

Si t est la quantité de diviseurs d'un nombre impair composé, alors il est Q = t/2 fois différence de deux carrés, dont une fois de nombres consécutifs.

 

Exemple de calcul de quantité

Diviseurs de 105 {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105}

Quantité de présentations: Q = t/2 = 8/2 = 4

 

 

 

 

 

Cas des nombres pairs

Nombres pairs

Si N est pair, alors e et s sont tous deux pairs, donc N est divisible par 4

Les nombres pairs non divisibles pas 4 (N = 4k + 2) sont exclus.

 

 

Le premier couple (1, N) de diviseurs, avec N pair, n'est pas éligible.

Tous les couples avec un diviseur impair sont disqualifiés.

 

 

Le décompte n'est pas chose facile, car la parité des diviseurs est hétérogène.

 

N = a² – b² = (a – b) (a + b) = e . s

 

Exemples de calcul de quantité

Diviseurs de 12 {1, 2, 3, 4, 6, 12} avec t = 6 et Q = 1

Couples (1, 12), (2, 6) (3, 4).Seul (2,6) est de même parité.

 

Diviseurs de 24 {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} avec t = 8 et Q = 2

 

 

Diviseurs de 48 {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} avec t = 10 et Q =3

 

 

Un nombre N composé pair-impair (divisible par 4) est toujours différence de deux carrés non consécutifs.

Aucune présentation avec deux nombres consécutifs.

 

La quantité de présentations est au plus égale à la moitié de la quantité des diviseurs.

 

 

 

 

Bilan

Propriétés

Tous les nombres sont différences de deux carrés sauf ceux en 4k + 2 et les nombres: 1, 2 et 4.
Si t est la quantité de diviseurs du nombre, il peut exister jusqu'à t/2 possibilités de différences de carrés.

 

Tout nombre impair est différence de carrés de nombres consécutifs. S'il est premier, c'est la seule présentation; sinon, il en possède au moins une autre.

 

Note: le calcul de la quantité de présentations doit tenir compte de la parité de N et aussi du fait que N est une puissance pure ou non.

 

Construction

Un couple de diviseurs (s et e, avec s . e = N), de même parité, produit une différence de carrés N = a² – b² telle que:

Voir Illustration / Pour aller plus loin

 

 Merci à Bruno Payet pour toutes ses suggestions

Balade sur le sujet: différences de deux carrés

 

BELLES FORMULES (pour les yeux)

 

Somme des premiers impairs consécutifs égale différence de leur carré

 

3 = 1 + 2 =  2² – 1²

5 = 2 + 3 =  3² – 2²

7 = 3 + 4 =  4² – 3²

9 = 4 + 5 =  5² – 4²

Vrai pour tout nombre impair, et notamment lorsqu'ils sont carrés, engendrant alors et systématiquement un triplet de Pythagore.

9² = 81 = 2 x 40 + 1 = 40 + 41 = 41² – 40²

Suite Table de 1 à 100

Voir Nombres consécutifs

 

 

NOMBRES CONSÉCUTIFS (pour se familiariser)

 

La somme de deux nombres consécutifs, un nombre impair, est égale à la différence de leur carré.

 

Démonstration

Deux nombres consécutifs:

 n et n – 1

La différence de leur carré:

 

n² – (n – 1

= (n + n – 1) (n – n+1)

= 2n – 1

(n – 1

= n  + (n – 1)

 

 

Démonstration géométrique

 

Soit un nombre impair quelconque (13).

On le plie en deux: 13 = 6 + 7 (cases bleues).

On remplit l'espace dans l'équerre (jaune)

 

On lit les relations: grand carré – carré jaune = zone bleue: 7² – 6² = 13

 

 

 

PREMIERS NOMBRES CONSÉCUTIFS

 

Liste pour n jusqu'à 20

 

n             n-1           Somme               (n-1)²    Différence

1             0               1                 1           0           1

2             1               3                 4           1           3

3             2               5                 9           4           5

4             3               7                 16         9           7

5             4               9                 25         16         9

6             5               11              36         25         11

7             6               13              49         36         13

8             7               15              64         49         15

9             8               17              81         64         17

10           9               19              100       81         19

11           10             21              121       100       21

12           11             23              144       121       23

13           12             25              169       144       25

14           13             27              196       169       27

15           14             29              225       196       29

16           15             31              256       225       31

17           16             33              289       256       33

18           17             35              324       289       35

19           18             37              361       324       37

20           19             39              400       361       39

En rouge: trois carrés, triplets de Pythagore

 

Autres exemples

99 + 100 =

199

= 100² - 99²

100 + 101 =

201

= 101² - 100²

1110 + 1111 =

2221

= 1111² - 1110²

22221 + 22222 =

44443

= 22222² - 22221²

65 + 66 =

131

= 66² - 65²

66665 + 66666 =

133331

= 66666² - 66665²

Beau moyen de faire se répéter les chiffes

 

 

 

 

NOMBRES QUELCONQUES

 

Généralisation

Deux nombres:

 n et m

leur somme

s = n + m

Leur différence

e = n - m

La différence de leur carré:

 

n² - m²

= (n + m) (n - m)

n² - m²

= s . e

 

Conséquence

 

Soit deux nombres n et m dont

la somme est s et

l'écart est e

La différence de leur carré

est divisible

par s et

par  e

 

n² – m²

= s . e

 

Exemples

 

Voir Calcul des nombres avec somme et produit connus / Nombre 111

 

 

Nombres carrés, différence de carrés

et produit de carrés

 

*    Un carré parfait, différence de deux carrés, qui est aussi produit de deux carrés. 

*    Exemples de lecture de la table:

 

  10² – 6² =  8² =  4² x 2² = (10 + 6) (106)

100 – 36 = 64 = 16 x 4

 

  17² – 8² =  15² =  5² x 3² = (17 + 8) (178)

289 – 64 = 225 = 25 x 9

 

Table pour a et b de 1 à 99

Erratum: sur les colonnes s et e, veuillez retirer le 2 de carré et lire 3² = 3 x 1, etc.

 

*    Les nombres N = 24² = 576 et 48² = 2 304 y figurent deux fois.

*    Ces nombres sont très nombreux et d'autres apparaissent pour d'autres valeurs de a et b.

 

Table pour a et b de 100 à 1000 (les cas e = 1 sont éliminés)

 

Voir Différence de carrés = produit de cubes

 

 

Progression arithmétique entre trois carrés

 

*    Le premier cas de progression arithmétique entre carrés

Voir Pépite / Nombre 24

*    Ils sont très nombreux.

*    Formulation: c² – b² = r et b² – a² = r ou encore (en retranchant)  c² + a² = 2b²

 

*    Le tableau les donne tous jusqu'à r = 2000.
 

 

 

 

 

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