NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 27/01/2017

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Nombres PREMIERS

 

Débutants

Nombres

Premiers

ORDRE arithmétique

 

Glossaire

Nombres

Premiers

 

 

INDEX

 

Nombres premiers

 

P = 4n ± 1

P = 30 k + P'

Séquence en 31

Barre magique

P = 6n ± 1

P = 6n ± 1 Liste

Somme en 6n – 1

 

Sommaire de cette page

>>> Les premiers sont en 4n ± 1

>>> Démonstration

>>> Propriétés

 

 

 

  

 

  

 

Nombres premiers

P = 4n ± 1

 

 

*    Peut-on caractériser les nombres premiers?

Comme on le fait avec les nombres pairs et impairs

En effet: Pair = 2n & Impair = 2n + 1

 

*    Alors Premier = ?

 

LES PREMIERS sont en 4n ± 1

 

Condition nécessaire,

mais pas suffisante

 

Tous les nombres premiers > 2

sont de la forme 4n ± 1

 

 

 

Nécessaire

Premiers

Pas suffisant

Composés

3 = 4 x 1 – 1

9 = 4 x 2 + 1

5 = 4 x 1 + 1

15 = 4 x 4 – 1

Voir Tableau

Cette forme est assez triviale puisqu'elle indique que seuls les nombres impairs (hormis 2) sont premiers. Un évidence!

 

 

 

Démonstration

Prenons toutes les possibilités de division par 4

Reste 0, 1, 2 ou 3.

Reste 0 => nombre en 4k

=> composé, divisible par 4

4k + 1

=> premier possible

4k + 2

=> composé, divisible par 2

4k + 3 = 4(k + 1) - 1 = 4k' – 1

=> premier possible

Un nombre premier ne peut être que de la forme

4n ± 1

 

 

Propriétés

 

*    Tout nombre PREMIER de la forme 4n + 1 est la somme de deux carrés.

 

Fermat, démontré par Euler.

 

Voir Caractérisation et liste de ces nombres premiers dits de Pythagore

 

Voir  Séquence de premiers de cette forme

 

*    Le produit d'un nombre CARRÉ par un nombre PREMIER de la forme 4n+1 est une somme de deux carrés.
Ce qui est évident compte tenu de la propriété précédente: un carré facteur d'une somme de deux carrés.

 

Exemples

 

2² x   5 =   20 =   4² +  

3² x   5 =   45 =   6² +  

4² x 13 = 208 = 12² +  

5² x 13 = 325 = 15² + 10²

 

 

 

ILLUSTRATION en cercle

Voir suite en Cercles et croix  en 4, 6 12 …

 

 

 

Voir

*    Cercles

*    Forme en 6n

*    Premiers en tableaux

*    Formules pour les premiers

*    Nombres premiersIndex

*    FAQ sur les nombres premiers

Aussi

*    Liste de nombres premiers

 

*    Barre magique des nombres premiers 

*    Ératosthène

*    Facteurs premiers autour de 1000

*    Nombres composés

*    Premiers en tableaux

*    Premiers en tableaux, en spirales …

*    Représentation des nombres

*    Représentation des nombres

*    Théorie des nombres

Site

*    La page des nombres premiers
de Chris Caldwell – La référence du domaine

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Premier/sequenc4.htm