NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Nombres PREMIERS

 

Débutants

Nombres

Premiers

ORDRE arithmétique

 

Glossaire

Nombres

Premiers

 

 

INDEX

 

Nombres premiers

 

P = 4n ± 1

P = 30 k + P'

Séquence en 31

Barre magique

P = 6n ± 1

P = 6n ± 1 Liste

Somme en 6n – 1

Forme / Infini

 

Sommaire de cette page

>>> Vision générale

>>> Les premiers sont en 4n ± 1

>>> Démonstration

>>> Propriétés

 

 

 

 

  

Vision générale: Nombre en ak + h premiers ou non

  

Tous les nombres premiers sont en 4k + 1 ou 4 k – 1 (idem que 4k + 3)

ou de la forme 6k + 1 ou 6k – 1, etc. (se prolonge, même au-delà de 12)

Cependant, tous les nombres de ces formes ne sont pas toujours premiers.

 

Explications ci-dessous

 

 

 

Nombres premiers

P = 4n ± 1

 

 

*    Peut-on caractériser les nombres premiers?

Comme on le fait avec les nombres pairs et impairs

En effet: Pair = 2n & Impair = 2n + 1

 

*    Alors Premier = ?

 

 

LES PREMIERS sont en 4n ± 1

 

Condition nécessaire,

mais pas suffisante

 

Tous les nombres premiers > 2

sont de la forme 4n ± 1

 

 

 

Nécessaire

Premiers

Pas suffisant

Composés

3 = 4 x 1 – 1

9 = 4 x 2 + 1

5 = 4 x 1 + 1

15 = 4 x 4 – 1

Voir Tableau

Cette forme est assez triviale puisqu'elle indique que seuls les nombres impairs (hormis 2) sont premiers. Un évidence!

 

 

 

Démonstration

Prenons toutes les possibilités de division par 4

Reste 0, 1, 2 ou 3.

Reste 0 => nombre en 4k

=> composé, divisible par 4

4k + 1

=> premier possible

4k + 2

=> composé, divisible par 2

4k + 3 = 4(k + 1) - 1 = 4k' – 1

=> premier possible

Un nombre premier ne peut être que de la forme

4n ± 1

 

 

Propriétés

 

*    Tout nombre PREMIER de la forme 4n + 1 est la somme de deux carrés.

 

Fermat, démontré par Euler.

 

Voir Caractérisation et liste de ces nombres premiers dits de Pythagore

 

Voir  Séquence de premiers de cette forme

 

*    Le produit d'un nombre CARRÉ par un nombre PREMIER de la forme 4n+1 est une somme de deux carrés.
Ce qui est évident compte tenu de la propriété précédente: un carré facteur d'une somme de deux carrés.

 

Exemples

 

2² x   5 =   20 =   4² +  

3² x   5 =   45 =   6² +  

4² x 13 = 208 = 12² +  

5² x 13 = 325 = 15² + 10²

 

 

 

ILLUSTRATION en cercle

Voir suite en Cercles et croix  en 4, 6 12 …

 

Répartition selon les facteurs

Tout nombre est décomposable en produit de facteurs (diviseurs premiers).

Combien de ces facteurs sont de la forme 4k – 1 et combien de la forme 4k + 1 ?

 

Facteurs de 21 : 1, 3, 7, 21

1 = 4 x 0 + 1

3 = 4 x 1 – 1

7 = 4 x 2 – 1

21 = 4 x 5 + 1

Deux facteurs en MOINS et deux facteurs en PLUS.

On note: [21, 2, 2]

 

Liste selon MOINS, Égal ou PLUS

Moins, 6, [[27, 2, 1], [42, 2, 1], [63, 3, 1], [66, 2, 1], [84, 2, 1], [99, 3, 1]]

Egal, 51, [[3, 1, 1], [6, 1, 1], [7, 1, 1], [11, 1, 1], [12, 1, 1], [14, 1, 1], [15, 2, 2], [18, 1, 1], [19, 1, 1], [21, 2, 2], [22, 1, 1], [23, 1, 1], [24, 1, 1], [28, 1, 1], [31, 1, 1], [33, 2, 2], [35, 2, 2], [36, 1, 1], [38, 1, 1], [39, 2, 2], [43, 1, 1], [44, 1, 1], [46, 1, 1], [47, 1, 1], [48, 1, 1], [51, 2, 2], [54, 1, 1], [55, 2, 2], [56, 1, 1], [57, 2, 2], [59, 1, 1], [62, 1, 1], [67, 1, 1], [69, 2, 2], [71, 1, 1], [72, 1, 1], [75, 2, 2], [76, 1, 1], [77, 2, 2], [79, 1, 1], [83, 1, 1], [86, 1, 1], [87, 2, 2], [88, 1, 1], [91, 2, 2], [92, 1, 1], [93, 2, 2], [94, 1, 1], [95, 2, 2], [96, 1, 1], [98, 1, 1]]

Plus, 43, [[1, 0, 1], [2, 0, 1], [4, 0, 1], [5, 0, 2], [8, 0, 1], [9, 1, 2], [10, 0, 2], [13, 0, 2], [16, 0, 1], [17, 0, 2], [20, 0, 2], [25, 0, 3], [26, 0, 2], [29, 0, 2], [30, 1, 2], [32, 0, 1], [34, 0, 2], [37, 0, 2], [40, 0, 2], [41, 0, 2], [45, 1, 3], [49, 1, 2], [50, 0, 2], [52, 0, 2], [53, 0, 2], [58, 0, 2], [60, 1, 2], [61, 0, 2], [64, 0, 1], [65, 0, 4], [68, 0, 2], [70, 1, 2], [73, 0, 2], [74, 0, 2], [78, 1, 2], [80, 0, 2], [81, 1, 2], [82, 0, 2], [85, 0, 4], [89, 0, 2], [90, 1, 2], [97, 0, 2], [100, 0, 2]

 

 

 

Répartition selon les diviseurs

Combien de ces diviseurs sont de la forme 4k – 1 et combien de la forme 4k + 1 ?

 

Diviseurs de 27 : 1, 3, 9, 27

1 = 4 x 0 + 1

3 = 4 x 1 – 1

9 = 4 x 2 +1

27 = 4 x 7 – 1

Deux diviseurs en MOINS et deux diviseurs en PLUS.

On note: [27, 2, 2]

 

Liste selon MOINS, Égal ou PLUS

Moins, 0, []

Egal, 57, [[3, 1, 1], [6, 1, 1], [7, 1, 1], [11, 1, 1], [12, 1, 1], [14, 1, 1], [15, 2, 2], [19, 1, 1], [21, 2, 2], [22, 1, 1], [23, 1, 1], [24, 1, 1], [27, 2, 2], [28, 1, 1], [30, 2, 2], [31, 1, 1], [33, 2, 2], [35, 2, 2], [38, 1, 1], [39, 2, 2], [42, 2, 2], [43, 1, 1], [44, 1, 1], [46, 1, 1], [47, 1, 1], [48, 1, 1], [51, 2, 2], [54, 2, 2], [55, 2, 2], [56, 1, 1], [57, 2, 2], [59, 1, 1], [60, 2, 2], [62, 1, 1], [63, 3, 3], [66, 2, 2], [67, 1, 1], [69, 2, 2], [70, 2, 2], [71, 1, 1], [75, 3, 3], [76, 1, 1], [77, 2, 2], [78, 2, 2], [79, 1, 1], [83, 1, 1], [84, 2, 2], [86, 1, 1], [87, 2, 2], [88, 1, 1], [91, 2, 2], [92, 1, 1], [93, 2, 2], [94, 1, 1], [95, 2, 2], [96, 1, 1], [99, 3, 3]]

Plus, 43, [[1, 0, 1], [2, 0, 1], [4, 0, 1], [5, 0, 2], [8, 0, 1], [9, 1, 2], [10, 0, 2], [13, 0, 2], [16, 0, 1], [17, 0, 2], [18, 1, 2], [20, 0, 2], [25, 0, 3], [26, 0, 2], [29, 0, 2], [32, 0, 1], [34, 0, 2], [36, 1, 2], [37, 0, 2], [40, 0, 2], [41, 0, 2], [45, 2, 4], [49, 1, 2], [50, 0, 3], [52, 0, 2], [53, 0, 2], [58, 0, 2], [61, 0, 2], [64, 0, 1], [65, 0, 4], [68, 0, 2], [72, 1, 2], [73, 0, 2], [74, 0, 2], [80, 0, 2], [81, 2, 3], [82, 0, 2], [85, 0, 4], [89, 0, 2], [90, 2, 4], [97, 0, 2], [98, 1, 2], [100, 0, 3]]

 

Théorème

 

Un théorème de Legendre dit que: si M est la quantité des diviseurs en 4k – 1 et P celle en 4k + 1, la quantité de représentations de n comme somme de deux carrés est égale à 4(P – M).

Alors, P ≥ M pour tout nombre. Il n'existe aucun nombre ayant moins de diviseurs en 4k – 1 qu'en 4k + 1.

Record de quantité

Ces nombres sont également P/2 fois somme de deux carrés.

1

 0

 1

5

 0

 2

25

 0

 3

65

 0

 4

325

 0

 6

1 105

 0

 8

4 225

 0

 9

5 525

 0

 12

27 625

 0

 16

71 825

 0

 18

138 125

 0

 20

160 225

0

24

 

 

 

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de Chris Caldwell – La référence du domaine

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