NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Spationaute

>>> Temps relatif

>>> Le train

 

 

 

>>> Calcul de la formule

>>> Facteur de Lorentz en courbes

>>> Énigme du muon

>>> Tachyon

>>> Voyage tachyonique

 

 

 

 

 

 

Ne te plains pas du temps qui passe, ça te laisse encore moins de temps …

D'après Mots de tête persistants - Pierre Légaré

Voir Pensées & humour

 

 

Approche

Si nous parvenions à construire un vaisseau spatial capable d'atteindre la vitesse de la lumière, il nous faudrait quand même cent mille ans pour traverser notre Galaxie et plusieurs millions d'années pour voir un de leurs astronefs atteindre une galaxie voisine.

 

Vrai, pour ceux qui sont restés à attendre sur Terre.

À bord des vaisseaux, on aura l'impression de quelques dizaines d'années à peine!

C'est un effet bien connu de la théorie de la relativité d'Einstein.

C'est le fameux paradoxe des jumeaux de Langevin.

Le jumeau resté sur Terre vieillit beaucoup plus vite que le jumeau spationaute.

La différence peut atteindre plusieurs millions d'années! 

 

 

Spationaute

 

Sur un vaisseau spatial, à 75% de la vitesse de la lumière,

un spationaute gagnerait 20 minutes de vie sur ses collègues à terre.

 

Départ

 

Arrivée

Heure sur Terre

3:00

 

4:00

Vitesse

 

225 400 km/s

 

Distance

 

8 114 400 km

 

Heure à bord

3:00

 

3:40

 

 

 

TEMPS relatif

 

Il faut voyager à une vitesse très proche de celle de la lumière pour vraiment profiter de la dilatation du temps.

 

Ce tableau montre la vitesse par rapport à celle de la lumière et ce que devient la durée à cette vitesse.

 

 

Rapport vitesse

en %

Temps

initial

Rapport

temps

Temps

 relatif

50

1 s

1,15

 

1,15 s

80

''

1,66

 

1,66

86

''

2

 

2

99,5

''

10

 

10

99,7

''

13

 

13

99,9

''

22

 

22

99,99

''

71

 

1,18 min

99,999 999

''

22 320

 

6,2 h

 

Formule

 

Voir Calcul de la formule /  Rétrécissement du train / Porte entr'ouverte

 

Avions et horloges atomiques

 

Avion volant vers l'est

même sens que la Terre: 59 ns de retard.

Avion volant vers l'ouest

sens opposé à la Terre, les vitesses s'ajoutent: 273 ns d'avance.

 

Exactement selon les prédictions des équations de la relativité.

Sur un vol de 24 heures à 1000 km/h, le temps s'allongerait d'environ 10 µs.

 

 

 

Le Train

 

Rétrécissement d'un train allant à 160 km/h =  10-12 %                Voir Ce nombre

 

 

Selon la théorie de la relativité restreinte (1905) qui prévoit la contraction des objets et la dilatation des durées pour un mobile en mouvement.

L'extension se calcule grâce à la version en quatre dimensions (trois dans l'espace et une temps) du théorème de Pythagore.

La clé de cette théorie, c'est que la vitesse de la lumière est constante!

 

 

 

 Calcul de la FORMULE de la relativité

 

    (gamma)

est appelé facteur de Lorentz

 


 

Cas où V << c

Voir Image de la porte entrebâillée / Utilisation des formules approchées

 

 

 

Calcul

 

La formule se calcule en utilisant le théorème de Pythagore

et

La formule élémentaire de la vitesse:

 

Longueur égale Vitesse par Temps:

L = V . T

 

c vitesse de la lumière.

C'est une constante de l'univers (Einstein).

 

Un observateur et un miroir.

Un rayon de lumière émis par l'observateur vers le miroir.

Deux situations:

*    L'observateur est immobile; le rayon file vers le miroir et retourne vers l'observateur;

*    Il est en mouvement, l'observateur voit le rayon plus loin.

 

 

 

Observateur et miroirs immobiles

Distance observateur miroir:

d

 

Durée de parcours de la lumière vers le miroir, aller –retour:

t =

 d =

2d / c

½ t . c

Observateur avance et le miroir reste immobile

Longueur du parcours effectué par la lumière:

2D

 

Durée du parcours de la lumière:

T =

 D =

2D / c

½ T . c

Vitesse de l'observateur par rapport à l'espace dans lequel miroir et horloges indiquant le temps sont immobiles:

 

V

Distance entre les deux horloges, l'une au point de départ, l'autre au point d'arrivée:

L =

V . T

Pythagore:

D² =

d² + ( L/2 )²

Remplaçons:

( ½  T . c)² =

( ½  t . c)² + ( ½ V . T)²

Simplifions:

(T . c)² =

=

 

(t . c)² + (V . T)²

t² . c² + V² .

Et pour T:

T² . c² –  V² . T² =

( c²  V²) =

t² .

t² .

Division par c²:

T² (1 – V²/c² ) =

En final:

T =

T / t =

t . (1 – V²/c² )-1/2

 

 

Facteur de Lorentz en Courbes

 

Courbe générale

La courbe montrant le facteur de Lorentz  en fonction de la vitesse relative V / c

est assez plate, puis croit très vite dés que la vitesse relative est voisine de 1 (vitesse très proche de celle de la lumière).

On comprend pourquoi dans notre monde, l'effet de la relativité n'est pas très perceptible.

En gros, il faut atteindre 0,9 fois la vitesse de la lumière pour dilater le temps par 2 (traits verts).

 

 

Zoom pour des vitesses V > 0,8  (c = 240 000 km/s)

 

Et proches de la lumière  V > 0,98 c ( = 294 000 km/s)

 

 

 

 

 

Énigme du MUON

 

Le muon est un gros électron qui n'interagit que fort peu avec la matière.

 

Les rayons cosmiques proviennent de la mort d'étoiles massives et bombardent constamment la Terre. Très nocifs pour la vie, heureusement, ils se brisent sur les couches de l'atmosphère. Certains rescapés seraient à l'origine des mutations génétiques dans les cellules vivantes.

 

Parmi les particules impliquées, le MUON a une durée de vie suffisante pour nous atteindre. Pourtant le muon est instable. Sa demi-vie est de 2 µs et il ne devrait pouvoir parcourir que 600 mètres et non pas toute la couche atmosphérique!
 

Demi-vie du Muon

2

µs

Distance théorique parcourue

600

m

Vitesse

99,9999

% de la lumière

Dilatation du temps

1 000

fois

Durée "vécue " par le muon

2

ms

Distance parcourue, en fait

600

km

 

Note sur la demi-vie: exemple pour 10 000 particules de demi-vie 2µs:

 

Temps

T0

+ 2µs

+ 4µs

+ 6µs

Particules restantes

10 000

5000

2 500

1 250

 

 

 

 

 

Tachyon

 

La théorie de la relativité interdit de dépasser la vitesse de la lumière, vitesse pour laquelle la durée devient infinie (la masse infinie et les longueurs nulles!).

 

Mais la formule vaut dans les deux sens, y compris pour des vitesses supérieures à la lumière! Et, les physiciens ont "inventé les tachyons ", particules qui voyageraient plus vite que la lumière.

 

Voyage dans le passé avec les tachyons

 

Voyage TACHYONIQUE

 

Supposons l'existence de tachyons à 4 fois la vitesse de la lumière.

Jules voyage à 0,8 fois la vitesse de la lumière; en deux heures, il a fait 0,8 x 2 = 1,6 hL (heure-lumière) et à chaque heure terrestre, lui n'enregistre que 0,6h, soit 36 min.

 

Voir formule ci-dessus.

Notation en heure et fraction d'heure, et non minutes,

 pour simplifier la vision, déjà complexe sans ça

 

 

 

 

 

 

 

Suite

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