NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Géométrie

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Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Topologie

 

Géométrie

 

Repères

Degrés de liberté

Dimensions 3D

Dimension 4D

 

Sommaire de cette page

>>> Les quatre dimensions

>>> Passage de la sphère

>>> Effet miroir

>>> Applications

>>> Historique

>>> Quatrième dimension dans l'art

 

 

 

 

Dimensions – 4D et plus

 

Nous évoluons dans un monde à trois dimensions.

Dire que le temps doit être considéré comme une quatrième dimension, passe encore, mais dire que l'espace compte en fait quatre dimensions, c'est plus dur à imaginer.

Nous allons donner quelques pistes aidant à comprendre l'existence d'une quatrième dimension.

 

Anglais: fourth-dimensional geometry

 

 

Les quatre dimensions

 

*    Chacune des dimensions  est engendrée en translatant un objet de la dimension du niveau juste inférieur.

*    La translation d'un objet en 3D engendre un objet en 4D. Un cube et sa trace de translation forme un hypercube.

 

*    Dessiné sur une feuille, donc en 2D, nous concevons bien la forme du cube 3D. Par contre, la représentation d'un objet 4D, comme l'hypercube, sur la feuille de papier 2D ne nous parle pas du tout.

 

*      Nous allons essayer se trouver quelques artifices pour toucher du doigt cette dimension.

 

 

Passer d'une dimension à la suivante consiste à faire glisser un objet de dimension inférieure et d'en garder la tarce.

Passer à la quatrième dimension consiste à garder la trace du déplacement d'un objet à trois dimensions.

 

 

 

Illusion du cube de Necker

 

*    Le cube seul peut être vu soit avec la face ocre vers nous (le cube s'enfonce vers la droite) ou la face bleue vers nous (le cube s'enfonce vers la auche).

 

*    Sur la frise, les cubes peuvent aussi être vus de deux manières:

*       Les faces colorées sombres forment un mur vertical en zigzag; ou

*       Les faces jaunes sont verticales et en avant; les faces colorées sombres forment alors un chemin "horizontal" en dents de scie. Cette vision nécessite souvent le plus de concentration.

*    Le basculement d'une vision à l'autre ne peut s'expliquer que par une rotation dans la quatrième dimension et une réflexion en 3D.

 

*      Illusions d'optique due au cristallographe Albert Neckert (1832).

 

*      En théorie de la connaissance: nous voyons un cube, mais en réalité, il n'y a pas de cube; seulement une figure en deux dimensions formées de 12 segments.

 

Image ambigüe du cube

 

Frise avec cubes de Necker

Merci à Pauline (10 ans) pour son dessin

 

 

 

Passage de la sphère

 

*    Compte tenu de la difficulté à imaginer la quatrième dimension à partir de notre monde à trois dimensions, nous allons "descendre" dans le monde à deux dimensions et tenter d'imaginer le monde à trois dimensions.

*    Dans ce monde à deux dimensions (images de droite) tout est plat. Le mot épaisseur n'existe pas. Cette notion est inexistante, inimaginable.
 

*    Nous sommes dans ce monde 2D  et soudain un cercle se met à grossir à côté de nous. Il passe par un maximum, puis se rétrécit et enfin disparaît. Quèsaco?

*    Tout simplement une balle, une sphère. Un facétieux personnage habitant le monde 3D vient de faire traverser notre monde 2D tout plat par cette sphère. Notre seule perception en est le cercle dessiné dans notre monde 2D sans épaisseur.

 

 

Cette analogie figure dans le célèbre livre Flatland de E. Abott à la page 98

 

Charles Hinton, imagine lui, une spirale qui traverse le pays plat. Les habitants observent un point qui se déplace le long de la circonférence d'un cercle imaginaire.

 

 

 

Effet miroir

 

*    Avez-vous déjà bien observé votre double dans le miroir? C'est votre frère jumeau mais totalement inversé!

*    Imaginez seulement une main du monde plat (2D) vue dans le miroir. Aucune possibilité de passer de la main gauche à la main droite par translation et rotation dans le monde plat 2D (en restant sur la feuille).

*    Par contre, un génie du monde 3D que vous ne pouvez pas connaitre ni imaginer (vous êtes un 2D), va lui, penser que c'est simple comme bonjour. Il va faire pivoter la main gauche autour de l'axe pointillé et, en passant dans le monde 3D, cette main atterrira sur la main droite en se superposant parfaitement.

 

*    Revenons au monde 3D, mes mains ont une épaisseur. Comment passer de la main gauche à la main droite.

 

*    Par rotation de la main gauche? Non, mes mains vont se retrouver paume à paume ou dos à dos, mais dans la même position.

*    Un génie du monde 4D que vous ne pouvez pas connaitre arrive et ne voit pas du tout la difficulté. Il fait pivoter la main gauche dans la quatrième dimension et celle-ci se retrouve être exactement ma main droite.

 

Pour obtenir de ma main gauche qu'elle devienne exactement ma main droite, il faudrait imaginer qu'elle est comme un gant en caoutchouc que l'on retournerait.

 

Pour cela, il faudrait que ma main gauche se désintègre et que chaque atome reprenne une place symétrique lors de la reconstitution. Alors cette nouvelle main serait une main droite.

 

 

En négligeant l'épaisseur des mains, une simple rotation autour de l'axe permet de passer d'une main à l'autre.

 

 

Essayez: paumes vert le haut, vous refermez simplement les mains pour les retrouver en mains-jointes. Oui, mais, elles restent symétriques (paume contre paume) et non pas identiques! Vous n'êtes pas le génie.

 

 

http://www.quizz.biz/uploads/quizz/316907/1_0c5db.jpg

 

 

 

Application de la 4e dimension

 

En géométrie, on connait l'hypercube (tesseract) ou l'hypersphère.

La quatrième dimension s'applique évidemment à toutes les formes géométriques. Les mathématiciens savent également se projeter dans la cinquième dimension, la sixième, … 

 

Dans ces mondes, les surfaces sont des variétés géométriques (anglais: manifold).

*      Variété 1 = courbe

*      Variété 2 = surface

*      Variété n =  surface dans le monde à n dimensions. Impossible à représenter graphiquement.

 

Et les volumes sont des polytopes.

 

 

image021

Hypercube développé (patron)

 

image029

Bouteille de Klein

 

Dimensions et leur vocabulaire

 

Note: le mot glome pour une hypersphère en 4D est plutôt anglais.

 

Voir

*       Coordonnées

*       Simplexe

*       GéométrieIndex, pour les autres noms de ce tableau.

 

 

 

 

 

Les géométries

Selon le postulat de départ, il existe trois géométries différentes.

Chacune peut s'appliquer aux trois dimensions habituelles ou être étendues à des dimensions supérieures.

 

 

 

 

En algèbre, les quaternions caractérisent un monde à quatre dimensions comme les nombres complexes le font pour deux.

 

 

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Type/ImagQuat_fichiers/image020.jpg

 

En théorie des nombres, le groupe monstre s'élève dans un monde à 196 884 dimensions!

 

Représentation (à droite) du groupe E8, un cousin du groupe monstre.

 

En physique, la théorie de la relativité introduit une quatrième dimension: le temps qui doit être vu à un coefficient près (la vitesse de la lumière, comme une distance.

Dans l'espace-temps, il existe un invariant reliant les quatre dimensions:

x² + y² + z² - ct² = H²

Une sorte de généralisation du théorème de Pythagore.

 

 

image076

La taille de la porte dépend de la l'ouverture de la porte, pourtant c'est toujours la même porte.

Voir Analogie de la porte entr'ouverte

 

 

La mécanique quantique cherche à modéliser le monde microscopique des atomes, des électrons, des quarks, des cordes …

Les physiciens n'hésitent pas à se plonger dans des mondes à onze dimensions comme c'est le cas pour la théorie des super-cordes.

 

 

 

 

Quatre dimensions

D'une manière générale, quatre dimensions impliquent quatre grandeurs, quatre degrés de liberté, pour définir quelque chose. Par exemple,

*    ajouter le temps aux trois directions habituelles, sans même parler de relativité.

*    ajouter la température aux trois coordonnées de l'espace: longitude, latitude et altitude. Ou la pression ou l'hygrométrie… Ou plusieurs à la fois.

*    former une base de données relative à des individus ou à des objets, précisant quatre caractéristiques ou plus.

*    etc.

 

Historique

*    Platon

(-428 à -348)

 

Avec son mythe de la caverne, Platon projette un monde tridimensionnel sur un mur bidimensionnel.

 

*    Aristote

(-384 à -322)

 

Aristote imagine la ligne, le plan et le solide et rien d'autre au-delà.

Idée qu'on doit se faire des grandeurs; la ligne, la surface et le solide; idée qu'on doit se faire de l'univers et de l'ensemble des chose (Du Ciel).

 

*    Ptolémée

(-150)

Ptolémée tente de prouver que la quatrième dimension n'existe pas

*    St Paul

(Vers 8 à 64)

 

 

Saint Paul cite quatre grandeurs.

En sorte que (…) vous puissiez comprendre avec tous les saints quelle est la largeur, la longueur, la profondeur et la hauteur, et connaître l'amour de Christ, qui surpasse toute connaissance, … Lettre de saint Paul aux Éphésiens 3:17à19.

 

*    Oresme

(1320-1382)

 

Oresme invente le système de coordonnées. Il y en a trois, mais pas quatre.

 

*    Cardan

(1501-1576)

 

Cardan pense qu'il n'y a pas d'objet représenté par la puissance quatre.

La positio (la première puissance) correspond à une ligne, le quadratum (le carré) à une surface, and le cubum (le cube) à un corps solide, la nature ne permet pas d’aller au-delà.

 

*    Viète

(1540-1603)

 

Viète n'hésite pas à traiter les équations d'ordre supérieur à 3, alors qu'il n'y a pas de contre partie géométrique.

 

*    Clavius

(1538-1612)

 

Clavius tente de démontrer qu'il n'existe pas plus de trois perpendiculaires entre elles dans l'espace, comme les trois arêtes d'un cube issues d'un même sommet.

 

*    More

1614-1687

 

Le premier philosophe à imaginer le concept de quatrième dimension.

Dans son livre L'immortalité de l'âme, il introduit cette dimension (the spissitude) pour y loger l'âme, l'esprit.

 

*    Wallis

(1616-1703)

 

Wallis constate que l'algèbre est indépendante  de la géométrie.

On ne peut multiplier un cube par son côté. Il en conclut que l’algèbre, autorisant des puissances quelconques, repose sur l’arithmétique et non sur la géométrie.

Il qualifie les dimensions supérieures de monstres de la nature, moins vraisemblables que les chimères ou les centaures.

 

*    Kant

(1724-1804)

 

Kant postule que l’espace avec ses caractéristiques est une propriété de notre conscience et non du monde extérieur. Ni l'espace, ni le temps, ne peuvent être réellement perçus. Ce sont des éléments que les humains utilisent pour structurer leurs expériences.
Il est possible que des régions de dimensions supérieures existent; il est probable que Dieu les a créé quelque part (Pensées sur la véritable estimation des forces vives 1747).

 

*    D'Alembert

(1717-1783)

 

D'Alembert prétend que le temps est une quatrième dimension.

On dit qu'il n'est pas possible de concevoir plus de trois dimensions. Un homme d’esprit de ma connaissance croit qu’on pourrait cependant regarder la durée comme une quatrième dimension. Mais c'est aussi une sensation.

 

*    Lagrange

(1736-1813)

 

Lagrange aussi pense que le temps est une quatrième dimension.

Dans son livre: Théories des fonctions analytiques (1797).

 

*    Moebius

(1790-1868)

 

Moebius découvre que l'image dans un miroir est obtenue par une rotation de l'original dans un espace à quatre dimensions.

Première utilisation mathématique de cette dimension.

 

*    Fechner

(1801-1887)

 

Livre: L'espace a quatre dimensions (1846), une partie de Quatre paradoxes

Utilisation de créature 2D, non conscience de la 3D, et de la projection de leur ombre. Le temps est leur troisième dimension

 

*    Sylvester

(1814-1897)

 

Sylvester utilise les matrices pour étudier les géométries à plusieurs dimensions.

Il introduit le terme matrice en 1850 (du latin mater).

 

*    Cayley

(1821-1895)

Livre de Cayley: Géométrie analytique à n dimensions

*    Riemann

(1826-1866)

 

La géométrie de Riemann est un espace 3D sphérique. Par ailleurs, il a conçu une théorie des géométries non euclidiennes à n dimensions (Célèbre conférence du 10 juin 1854: une nouvelle géométrie est née).

Cette mystérieuse géométrie va susciter l'intérêt des philosophes, des écrivains et des artistes des décennies suivantes. Soixante ans plus tard, c'est Einstein qui va en faire usage pour modéliser sa théorie de la relativité.

Après une analogie avec un monde 2D, Riemann passe à notre monde 3D. Il conclut que l'électricité, le magnétisme et la gravité sont dus au "froissement" de notre univers 3D dans un espace à quatre dimensions. La force n'existe pas par elle-même; elle est l'effet apparent engendré par une distorsion géométrique.

Il introduit 16 nombres (tenseur métrique) dont 10 sont indépendants pour caractériser une surface en 4D. Cet outil puissant lui permit de généraliser aux dimensions supérieures.

 

*    Hinton Howard

(1853-1907)

 

Le grand philosophe de l'hyperespace, le pionnier, connu pour ses écrits sur la quatrième dimension.

Il explique la construction de l'hypercube avec 27 cubes colorés.

(Gendre du mathématicien George Boole).

 

*    Slade Henry

(1877)

 

Un célèbre procès (1877) qui popularisa la quatrième dimension. D'éminents scientifiques (Rayleigh, Thompson, Weber, Crookes...) défendaient l'accusé en prétendant que ses forfaits faisaient appel à des esprits logés dans la quatrième dimension.

 

*    Abbott

(1884)

 

Flatland (le pays plat), célèbre livre qui raconte le voyage d'un carré dans les dimensions supérieures.

Aussi une satire de la société victorienne et de la condition de la femme.

 

Poincaré Henri

(1854-1912)

 

 

Poincaré (1905) jette les bases mathématiques de la relativité en introduisant un espace vectoriel à quatre dimensions.

Il reformule la transformation de Lorentz.

C'est à partir des idées de Cayley, Hertz, Lorentz, Poincaré, Einstein et Planck que le mathématicien Hermann Minkowski élaborera la théorie de l’espace-temps, élément essentiel de la découverte par Einstein de la théorie de la relativité générale.

 

Dans les articles que j’ai précédemment consacrés à l’espace, j’ai surtout insisté sur les problèmes soulevés par la géométrie non-euclidienne, en laissant presque complètement de côté d’autres questions plus difficiles à aborder, telles que celles qui se rapportent au nombre des dimensions. Toutes les géométries que j’envisageais avaient ainsi un fond commun, ce continuum à trois dimensions qui était le même pour toutes et qui ne se différenciait que par les figures qu’on y traçait ou quand on prétendait le mesurer. Henri Poincaré, Valeur de la Science

 

 

 

Artistes

 

1895 – H.G. Wells – La machine à explorer le temps.

 

1900 – Maurice Princet, le mathématicien du cubisme, introduit le concept de quatrième dimension dans l'art, profitant des travaux de Poincaré. Il fait partie de l'école de Paris (Bateau-Lavoir à Montmartre) avec d'autres comme Pablo Picasso, Guillaume Apollinaire, Max Jacob, Jean Metzinger, Marcel Duchamp …

 

1912 – Albert Gleizes et Jean Metzinger – Livre: Du cubisme avec référence aux travaux de Riemann.

 

1912 – Marcel Duchamp – Tableau: Nu descendant un escalier.

 

1953 – Salvador DaliTableau: Corpus hypercubus (Crucifixion). Ci-contre

 

Vous trouverez ce sujet développé en Quatrième dimension (art)

 

 

 

 

 

 

Suite

*      Degrés de liberté

*      Dimension fractale

Voir

*      Couleurs

*      Ensemble

*      GéométrieIndex

*      Géométrie – Les trois géométries

*      Nombres en miroir

*      Quatre couleurs

*      TopologieIndex

DicoNombre

*      Nombre 2

*      Nombre 3

*      Nombre 4

Livres

*        Flatland (1884) – Edwin Abbott Abbott – E-book gratuit

*        La quatrième dimension- Voyage dans les dimensions supérieures – Thomas Banchoff – Pour la Science Belin – 1996

*        Visualiser la quatrième dimension – François Lo Jacomo – Vuibert – 2002

*      Geometry, relativity and the fourth dimension – Rudolf v. B. Rucker – Dover Publications – 1977

*        A Visual Introduction to the Fourth Dimension (Rectangular 4D Geometry) – Chris McMullen – 2013

*        Hyperspace: A Scientific Odyssey through the 10th dimension - Michio Kaku – Oxford University Press – 1994 – En consultation partielle

*        The Fourth Dimension and Non-Euclidean Geometry in Modern Art – Linda Dalrymple Henderson – Leornado Book Series) – 2013

Sites

*      La taupe et les polytopes – Images de maths (CNRS) – Arnaud Chéritat

*      Les dimensions dont la quatrième dimensionOpenclassrooms (pdf)

*      Henri Poincaré et l'espace-temps conventionnel – Scott Walter – 2008 

*      Le pays des merveilles géométriques (pdf) – Philippe Huck

*      Multi-Dimensional or Hyper-Dimensional Geometry – Miquel.com – Pour les visualisations et animations 3D et 4D.

*      Quatrième dimension (art) – Wikipédia

*      Fourth dimension in art – Wikipedia

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