NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 18/10/2016

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

PHYSIQUE

 

Débutants

Général

RELATIVITÉ

 

Glossaire

Général

 

INDEX

 

Sciences

 

Einstein

Galilée

 

 

Débutant

Approche

Concepts modernes

Restreinte

Générale

Matière-énergie (E = m.c²)

Historique

Temps relatif

Preuves

Formule

Jumeaux

EPR

Calculs

Terminale

 

 

Sommaire de cette page

>>> Vitesses relatives

>>> Image de la porte

>>> Particule

>>> Expérience des deux avions

>>> Établissement de la relation

 

 

 

 

 

 

 

CALCUL du Temps Relatif

 

La relativité restreinte dit que, pour des vitesses très élevées, les durées ne sont pas perçues de la même manière selon que:

*    vous êtes associé à l'événement, ou que

*    vous êtes de passage à grande vitesse.

Et que dire d'un observateur face à deux phénomènes mobiles se déroulant sous ses yeux?

 

Rappel de la formule de calcul et exemples des calculs mettant en évidence deux difficultés souvent rencontrées par les étudiants de terminale:

*    la notion de référentiels en mouvement les uns par rapport aux autres, et

*    la technique opératoire de l'algèbre (une fois de plus!).

 

 

Vitesses relatives

 

Postulat d'Einstein (1905)

 

La vitesse de la lumière dans le vide est la même dans tous les référentiels galiléens. C'est une constante fondamentale de la physique.

Elle ne dépend ni du mouvement de la source, ni de celui de l'observateur.

 

Remarques

Galiléen précise simplement que ce référentiel (cette "bulle") est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme et non pas en accélération. Un cadre sympathique pour les calculs!

La lumière est une onde électromagnétique est on dit plutôt célérité que vitesse.

 

Durée propre

 

La durée propre est le temps qui sépare deux événements survenant au même endroit dans le même référentiel.

Notation:   (delta tp , avec un p comme propre)

Exemple: je mesure 10 minutes entre l'arrêt du train et son départ.

 

Mouvement rapide!

 

Le train est dans son référentiel (sa "bulle").

Un observateur se trouve dans un autre référentiel en mouvement (une autre "bulle", en mouvement, celle-ci) à la vitesse V.

Sa perception du temps est différente. Lui mesurera un écart de temps entre arrêt et départ du train de delta tm (avec un m comme mesurée ou mouvement):

 

La théorie de la relativité restreinte donne la relation entre ces deux durées:

 

c est la célérité de la lumière; k est le rapport des vitesses

Voir Pourquoi cette formule?

 

Exemple

 

L'observateur passe devant le train à la vitesse V = 0,9 c. Notez tout de suite que cela est fictif. Aucune fusée ne peut atteindre une telle vitesse.

 

 

Pour l'observateur les 10 minutes du train sur Terre deviendront: 10 x 2,29 = 22,9 minutes

Le temps lui semble plus long sur Terre, ou plus court chez lui.

 

 

 

Image de la porte entrebâillée

Dans l'espace-temps, la durée est une dimension comme les trois autres de l'espace. Imaginez que cette dimension-temps soit l'équivalent de la largeur apparente d'une porte.  Imaginez que selon la vitesse à laquelle vous l'observez, la porte soit fermée (V = 0) ou entrebâillée (V) ou ouverte (V = c). La taille apparente de la porte varie selon la vitesse, comme la dimension-durée varie avec la vitesse.

Autre idée: théorème de Pythagore et sa généralisation (Minkowski):

*    Plan:             x² + y² = H²; 

*    Espace:         x² + y² + z² = H²;

*    Espace-temps: x² + y² + z² - ct² = H². Le temps contribue à la relation.

Voir Projections

 

 

 

 

Particule 1 (Muon) – Simple application de la relation

Durée de vie au repos:

(de sa naissance à sa désintégration)

dans le référentiel lié au muon.

Vitesse du muon dans le laboratoire:

0,9 c

dans le référentiel du laboratoire.

Durée "dilatée vue" du laboratoire:

Si on utilise un accélérateur qui propulse le muon à 0,99c, la durée est encore plus dilatée:

 

 

Particule 2 – Application de la relation à l'envers

Parcours d'une particule dans le labo.

d = 10 m

Vitesse

V = 10 / 2 . 10-7 = 5 . 107 m.s-1

Durée propre:

 

Sans changement perceptible.  Car la vitesse relative est faible: 0,15% de celle de la lumière. Un calcul plus fin donne:

0,199999999999981 . 10-6

 

= 2 . 10-7 s

 

 

 

 

Expérience des deux avions Hafele-Keating (1971)

 

*    Deux avions qui  font deux fois le tour de la Terre, l'un vers l'est, dans le sens de rotation de la Terre, et l'autre vers l'ouest.
Vitesses de vol identiques (VV).

Durée du vol: 41,0 h

 

*    Horloges atomiques (ultra-précises) à bord et une autre au sol. Elles permettent de constater:

 

Soit un écart total de (avec la précision de mesure):

 

Visualisation et notations

 

Théorie de la relativité donne cette relation:

*      écart sur  la durée mesurée 

*     durée propre du vol,

*    VT  vitesse de la surface de la Terre dans un référentiel de référence (expliqué ci-dessous).

*    VV  vitesse de vol des avions dans ce même référentiel.
 

Vitesse avion faible par rapport à celle de la lumière.

Effet de la relativité restreinte faible.

Écart entre la durée propre et la durée mesurée faible.

Aucun effet observable par les passagers des avions.

Calcul et comparaison

 

VVol                = 220 m.s-1

VTerre (équateur) = 463 m.s-1

TP                  =   41,0 h

c                = 3 . 108 m.s-1

 

 

 

 

 

 

 

 

L'expérience à donné:  332  17 ns soit de 315 à 349 ns.

La mesure est conforme aux résultats du calcul.

 

 

 

Établissement de la relation

Rappel numérique

Mesure de l'écart de temps témoignant du fait que les horloges à bord des avions ralentissent.

 

Écart de temps total mesuré (avec la précision).

Formulation

Écart de temps à l'est = temps de vol avion à l'est moins temps de vol vu de la Terre.

Écart de temps à l'ouest = temps de vol avion à l'ouest moins temps de vol vu de la Terre.

 

 

Relation entre vitesses.

Composition classique des vitesses.

Plus ou moins selon le sens de l'avion.

La Terre tourne d'ouest en est (le contraire du mouvement apparent du Soleil).

Au bout d'un certain temps, l'avion allant vers l'est profite de la vitesse de la Terre qui l'emporte avec elle. Au départ, cet avion avait déjà une vitesse Terre. L'autre, une vitesse Terre négative.

 

 

 

 

Nous allons maintenant appliquer la relation classique de la relativité (facteur de Lorenz).

Nous sommes en présence de deux types de mouvements: avions et Terre. Deux référentiels sont nécessaires.

L'astuce pour réaliser les calculs consiste à imaginer un observateur externe qui regarde tout cela dans sa "bulle", soit un référentiel supplémentaire, un référentiel de référence (centre de la terre, par exemple).

Hormis cela, le reste est du calcul.

Trois référentiels galiléens.

Référentiel  Avion

Référentiel  Terre

Référentiel de référence

Relation entre temps pour la Terre et pour les avions en fonction du temps dans le référentiel de référence.

 

Attention: relation inversée par rapport à la relation classique, car on cherche le temps propre à partir du temps mesuré:

 

 

 

Développement limité utilisé pour linéariser la racine avec x petit

(On profite du fait que la vitesse avion ou Terre est petite devant la vitesse de la lumière pour utiliser une approximation)

Application en ne conservant que le terme en x².

Retour à notre formule
avec l'avion de l'est

 

 


 

 

Même chose pour l'ouest

 


 

 

Écart complet

 

 

 

 

Remarque

Pour être rigoureux, il faudrait introduire l'effet gravitationnel du fait que les avions volent en altitude (10 000 m).

L'expérience de 1971 corrobore ce fait. Ce tableau donne les valeurs estimées en comparaison des valeurs mesurées:

 

 

 

 

Suite

*    Preuves de la théorie de la relativité

*    Jumeaux de Langevin

*    Relativité – Autres pages

*    Correction du temps sur satellites

Voir

*    Einstein

*    Fractale

*    Gravitation

*    Histoire de la gravitation

*    Infini

*    Lois de Newton

*    Lumière

*    Masses

*    Passé – Futur : chronologie des sciences

*    Publications (Erdös et Einstein)

*    TempsGlossaire

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Science/Relcalcu.htm