NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PARTITIONS

 

Débutants

Général

Conjecture de GOLDBACH

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Partitions

 

Général

 

Introduction

Représentation

Formulations

Preuve?

Polignac

Historique

 

Sommaire de cette page

>>> Conjectures forte et faible 

>>> Historique

>>> Vision résumée en 2014

>>> Témoignages de Schinzel et Sierpinski

>>> Évaluation de la quantité de partitions

>>> Goldbach et totient d'Euler

>>> Bilan

 

 

 

 

 

 

Formulations & historique

de la CONJECTURE de GOLDBACH

 

Il est curieux de voir autant de mathématiciens cherchant à prouver des formules se rapprochant de celle de Goldbach.

 

Goldbach:

 

Voir Nombres premiers

 

 

Christian Goldbach (1690-1764 / 74 ans)

 

Mathématicien allemand (prusse); études à Königsberg. Il a vécu principalement à Saint-Pétersbourg et à Moscou.

Enseigne à Saint-Pétersbourg et y occupe des charges administratives (tuteur du Tsar Pierre II puis poste au Ministère des Affaires Étrangères).

Correspond avec Leibniz, Euler, Bernoulli. Ami avec Euler.

Connu principalement pour sa conjecture: il semble au moins que tout nombre entier plus grand que 2 est somme de trois nombres premiers (en ce temps, le nombre 1 était considéré comme premier).

 

Note: Gold Bach veut dire ruisseau d'or en allemand (das Gold und der Bach)

 

 

CONJECTURES forte, faible, et variantes 

Conjecture de Golbach

énoncée par Golbach dans une lettre le 7 juin 1724, publiée en 1843.

*    Chaque nombre entier strictement positif peut être écrit comme la somme d’au plus trois nombres premiers

N = P + P + P

Euler

lui répond le 30 juin le problème est difficile et peu se formuler ainsi:

*    Tout nombre pair supérieur à 2 est la somme de deux premiers

E = P + P

Conjecture de Goldbach faible ou ternaire

 

(Ternary Gloldbach Conjecture – TGC)

*    Tout nombre impair  7 est la somme de trois nombres premiers.

O   = P + P + P

O: pour nombre impair

 (odd en anglais)

On a montré que si la conjecture de Goldbach faible

est fausse, Elle ne l'est que pour un nombre fini de cas.

Conjecture de Goldbach forte ou binaire

 

(Binary Gloldbach Conjecture – BGC)

*    Tout nombre pair supérieur ou égal à 4 est la somme de deux nombres premiers.

E   = P + P

E: pour nombre pair

(even en anglais)

 

Si la conjecture forte est démontrée, la faible l'est aussi. >>>

 

Par contre, la faible qui semble être démontrée en 2013, n'implique pas que la forte le soit.

Variante de Schnizel (1930)

*    Tout nombre supérieur à 17 est égal à la somme de trois nombres premiers distincts.

N > 17 = P1 + P2 + P3

Variante

équivalente à BGC

*    Pour tout nombre n pair supérieur ou égal à 2, il existe un nombre m  tel que:
Qui peut aussi se formuler: tout nombre entier supérieur à 2 est à égale distance de deux nombres premiers.

n + m = P

n – m = P'

 

2n = P + P'

Conjecture de Levy
(1963)

Il a formulé une conjecture un peu plus forte

*    Tout nombre impair supérieur à 5 est égal à un nombre premier plus deux fois un nombre premier.

O   = P + 2.P

 

Vérifiée jusqu'à O = 109

>>>

Conjecture de Lagrange (1775)

Il avait conçu cette conjecture bien avant Levy!

*    Tout nombre impair  >  5 est la somme d'un premier et d'un autre doublé.

A conjecture of Lagrange asserts that every odd integer greater than 5 can be written as a sum p + 2q, where both p and q are primes.

 

O >5 = P + 2.P

 

>>>

Conjecture de Polignac

Fausse

*    Tout nombre impair est la somme d'un premier et d'une puissance de 2.

O = P + 2k

Non pour  127, 149 …

>>>

Conjecture cousine avec nombres composés

*    Tout nombre pair > 12 est la somme de deux nombres composés (non premiers).

E >12 = C + C

 

>>>

Théorème de Chen

*    Tout nombre pair suffisamment grand est la somme d'un premier et du produit de deux premiers.

E = P + P.P

E > 12

>>>

 

 

 

Explication sur la  variante en plus et moins m

Exemple

Avec 20 = 2 x 10 = 3 + 17,

le nombre m est égal à 7, car P = 10 + 7 = 17 et P' = 10 – 7 = 3

Preuve

Soit un nombre pair somme de deux premiers: 2n = p + q.

p = 2n – q = n – (q – n) = n - m

q =           = n + (q – n) = n + m

 

Explication sur la cousine

Exemples

12 = 4 + 8; 13 = 4 + 9; 14 = 4 + 10; 15 = 6 + 9; 16 = 4 + 12 …

Preuve

Un nombre pair peut s'écrire 10k, 10k + 2, 10k + 4;  10k + 6; 10k + 8

Or  10k = 15 + (10k – 15), somme de deux composés;

10k + 2  = 15 + (10k – 8), somme de deux composés;

etc.

Contre exemples pour n impair

1 à 9, 11. Ce qui laisse penser que ce théorème est vrai pour tous les autres nombres.

 

 

 

 

 

Conjecture de Goldbach: résumé de la situation en 2014

Sachant que depuis 2013, la TGC (conjecture faible) serait démontrée.

D'après Number Theory for Computing – Song Y. Yan – Page 297 + Mises à jour des valeurs

 

 

Historique  

(Les nombres mentionnés sont tous entiers et positifs)

7 juin 1742

Golbach

*    Tout nombre supérieur à 5 est la somme de trois premiers.

N = P + P + P

Euler répond à Goldbach

*    Affirmation équivalente à:

Tout nombre pair supérieur à 2 est la somme de deux premiers.

E = P + P

1770

Edward Waring

*    Premier écrit mentionnant la conjecture.

1808

Adrien-Marie Legendre

*    Entrevoit l'idée d'appliquer une méthode de crible. C'est Brun (1920) qui y parviendra.

1843

*       Publication de la lettre de Goldbach.

1855

A. Desboves explore les

*    Conjecture de Golbach vérifiée jusqu'à:

104

1914

Harald Bohr

Edmund Landau

*    Fonction zêta: recherche des régions où la fonction a peu de zéros

1920

Viggo Brun
Puis Chen en 1966

*    Tout nombre pair suffisamment grand est la somme de deux composés, chacun ayant neuf facteurs au plus..

E = A + B

A = P.P…P

B = P.P…P

9 fois max

1923

Hardy & Littlewood

*    Tout nombre impair assez grand est somme de trois premiers en supposant l'hypothèse de Riemann vraie.

*    Conjecture sur la quantité de partitions; non prouvée à ce jour.

O   = P + P + P

si Riemann

1924

Hans Radmacher

*    Comme Brun, mais passe à 7.

E = A + B

A = P.P…P

B = P.P…P

7 fois max

1933

Lev Schnirelmann prouve que:

*    Tout nombre  > 1 est somme d’au plus K nombres premiers.

N = P + P + …+ P

K fois max

1937

Vinogradov prouve que

*    Tout nombre impair supérieur à un nombre G, suffisamment grand, est la somme de trois nombres premiers.
(three prime theorem)

Hardy et Littlewood avaient démontré la même chose mais supposant l'hypothèse de Riemann généralisée

O   = P + P + P

corollaire

E   = P + P + P + P

 

1938

Corpust

Estermann

Chdukov prouvent que

*    Presque tous les nombres pairs sont la somme de deux nombres premiers.

Il y en a moins de

 . N

1939

Schnirelmann prouve que:

*    Tout nombre pair est la somme d'au plus 300 000 nombres premiers.

E = P1 + P2 + … + P300 000

1940

Pipping

*    Conjecture de Golbach vérifiée jusqu'à (pour la première fois par ordinateur).

105

1947

Alfred Renyi prouve

*    Il existe une constante K telle que tout entier pair est somme d’un nombre premier et d’un nombre ayant au plus K facteurs premiers.

E > K = P + P.P…P

K fois max

1951

Yuri Linnik

*    Il existe une constante K telle que tout entier pair assez grand est somme de deux nombres premiers et d’au plus K puissances de 2.

E > K = P + P + 2a + 2b + …

K fois max

1956

Borodzkin

*    Constante de Vinogradov (1937)

n > 33^15 = 314348907

1959

Andrzej Schnizel prouve

*    Si la conjecture de Golbach est vraie, alors tout entier supérieur à 17 est somme de trois premiers distincts.

N = P1 + P2 + P3

1964

Shen

*    BGC vérifiée jusqu'à:

3,3 107

1965

Stein & Stein

*    BGC vérifiée jusqu'à:

108

1966 (publié 1973)

Chen Jingrun

(1933-1996)

*    Tout nombre pair suffisamment grand est la somme d'un premier et d'un entier qui a, au plus, deux facteurs premiers (semi-premier).

E   = P + P

ou P + P . P

Démontré

G' > 12

1969

Klimov

*    Premier à donner une valeur à la constante de Schnirelman (1933) et l'améliore à:

K = 115

elle est actuellement à 19

1975

Hugh Montgomery

Robert Charles Vaughan

*    Pratiquement tous les nombres pairs sont la somme de deux premiers

E = P + P

presque toujours

1977

Pogorzelski

*    Prétend avoir démontré la conjecture de Goldbach, mais cette preuve n'est pas universellement reconnue.

1989

Chen

Wang

*    Constante de Vinogradov (1937)

n > 1043 000

1989

Granville, Lune,  Riele

*    BGC vérifiée jusqu'à::

2 1010

1989

Deshouillers, Riele, Saouter

*    BGC vérifiée jusqu'à:

1014

1993

Sinisalo vérifie que

*    BGC vérifiée jusqu'à::

 4 x 1011

1989

Chen et Wang arrive à

*    Un nombre plus petit:

G  (ee)11 503

1994

Vinogradov

*    Donne une valeur à la borne:

O   = P + P + P

 

G  (33)3 = (ee)16 573

1995

Olivier Ramaré (Français) prouve

*    Tout nombre pair est la somme d'au plus six premiers.

 

E = P + P + …+ P

  6 fois max

corollaire

N = P + P + …+ P

7 fois max

1995

Kaniecki prouve

*    Tout nombre pair est la somme d'au plus quatre premiers; sous condition que l'hypothèse de Riemann soit vraie

si Riemann:

E = P + P + …+ P

 4 fois max

 

O = P + P + …+ P

 5 fois max

1995

Saouter

*    Conjecture de Golbach faible (nombres impairs) vérifiée jusqu'à:

1020

1989

Deshouillers, Riele, Effinger, Zinoviev

*    TCG est vraie si l'hypothèse de Riemann généralisée est vraie.

si Riemann généralisé:

E = P + P + P

1998

Jörg Richstein

*    BGC vérifiée jusqu'à:

4 1014

2002

Roger Heath-Brown

J.-C. Schlage-Puchta

*    La constante K de Linnik:

K = 13

2003

Janos Pintz

Imre Ruzsa

*    La constante K de Linnik:

K = 8

2003

Tomas Oliveira e Silva

*    BGC vérifiée jusqu'à:

6 x 1016

2012

Tomas Oliveira e Silva

*    BGC vérifiée jusqu'à:

4 x 1018

2012

Terence Tao

*    Tout entier impair est somme de cinq nombres premiers au plus.
(preuve en cours de vérif.)

O = P + P + P + P + P

 

2013

Harald Helfgott

D. Platt

*    TGC vérifiée jusqu'à:

8,8 1030

2013

Harald Helfgott

*    Constante de Vinigradov (1937)

G < 1027

2013

Harald Helfgott

*    Tout entier > 5 impair est somme de trois nombres premiers.

(preuve en cours de vérif.)

O = P + P + P

Voir Explications techniques sur histoire récente / Actualités

 

 

  

Témoignages de Schinzel et Sierpinski

 

Extrait de Selecta d'Andrzej Schinzel – Article écrit avec Sierpinski – Page 1114

 

 

 

Évaluation de la quantité de partitions


 
Halberstam et Richert 1974

 

Si R(n) est la quantité de partitions possibles d'un nombre pair en somme de deux nombres premiers, la conjecture généralisée dit que:

 

  où  est la constante des nombres premiers jumeaux  >>>
 

En 1923, Hardy et Littlewood conjecturèrent une formule de ce type.

 

 

 

 

GOLDBACH ET TOTIENT D'EULER

 

Si la conjecture de Goldbach est vraie, alors pour tout nombre N, il existe deux nombres premiers p et q  tels que:

 

 

 est le totient d'Euler

En se souvenant que, pour un nombre premier:   .

 

 

Bilan

La conjecture de Goldbach concernant la partition des entiers en nombres premiers s'inscrit dans les listes des problèmes non résolus à ce jour. 

Notamment dans la liste des 23 problèmes établie par Hilbert (1900). Le 8e s'applique aux nombres premiers; de même que l'un des sept problèmes de la fondation Clay (2000)

 

 

 

Suite

*         Début de preuve ?

*         Partitions

Voir

*         ConjectureGlossaire

*         Bi, tripartitions

*         Fermat

*         Modulo & Congruences

*           Nombres Premiers

Sites

*         La conjecture de Goldbach ternaire – Harald Andrés Helfgott

*         Golbach ConjectureMathworld

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http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/Goldbach.htm