NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PARTITIONS

 

Débutants

Général

Conjecture de GOLDBACH

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Partitions

 

Général

 

Introduction

Représentation

Formulations

Preuve?

Polignac

Historique

 

Sommaire de cette page

>>> Introduction

>>> Conjecture

>>> Tables pour n < 25

>>> Table d'addition originale

>>> Quantité de décompositions pour n < 100

>>> Fonction quantité de partitions

>>> Quantité de décompositions autour de 1 000

>>> Conclusion

>>> English corner

 

 

 

 

 

 

Conjecture de GOLDBACH

 

La décomposition des nombres en sommes a toujours été une source d'émerveillement, tout comme celle des nombres en produits. Il existe une conjecture donnant une décomposition très simple Pourtant elle n'est toujours pas démontrée. Après Fermat, la conjecture de Goldbach est l'un des problèmes les plus importants de la recherche des mathématiciens.

 

Voir Réponse d'Euler (le 30 juin) et historique

 

 

 

 

INTRODUCTION - Parallèle entre Addition et Multiplication 

Nombres & Multiplication

Nombres et Addition

Décomposition en produits de

facteurs premiers

Partition en sommes de

nombres premiers

 

*    Existe toujours;

*    Le produit est unique;

*    Fondamentale en arithmétique.

 

*    Plusieurs formulations;

*    Plusieurs solutions;

*    Plutôt un défi entre mathématiciens.

Théorème fondamental de l'arithmétique: les nombres premiers comme briques de construction de tous les autres par multiplication.

Conjecture de Goldbach: les nombres premiers en quantité réduite comme briques de construction de tous les autres par addition?

Voir Nombres premiers

 

  

 

Conjecture de Goldbach

Nombres PAIRS

égal somme de

deux nombres premiers

 pour n > 2

Nombres IMPAIRS

égal somme de

trois nombres premiers

pour n > 5

 

PAIRS

 

*        Pas démontrée;

*        Jamais infirmée à ce jour ;

*        L'un des problèmes les plus étudié.

 

IMPAIRS

 

*        Ne peux pas être somme de 2 premiers.

Car tous les premiers > 2 sont impairs et,
impair + impair = pair

*        Impair > 5 est toujours somme:

*        d'un seul impair s'il est premier,

*        d'un impair premier et un pair, ou

*        d'un impair premier et de deux premiers


Soit, au plus, somme de trois nombres premiers.

 

Elle est fausse pour 2 = 1 + 1

Elle est vraie   pour 4 = 2 + 2

Elle est fausse pour 3 = 1 + 1+1

Elle est vraie   pour 7 = 2 + 2 + 3

Voir 1 n'est pas premier

 

 

 La conjecture sur les impairs est déduite de celle sur les pairs

 

Un nombre impair plus grand ou égal à 7 (= 4 + 3) est toujours égal à un nombre pair plus 3.

Impair = Pair  + 3

Or supposons que tout nombre pair plus grand que 4 soit somme de deux nombres premiers. Alors:

Impair = Premier + Premier  + 3, soit somme de trois premiers.

 

Dès que c'est possible le nombre 3 peut être remplacé par n'importe quel autre nombre premier, ce qui induit une quantité innombrable de sommes de trois premiers pour les nombres impairs.

 

Recherche de la preuve

 

Voir Historique / Recherche de la preuve

 

 

 

 EXEMPLES – Tables pour N < 25

Pair = Premier + Premier

 

 

Le nombre n pair (si n > 2) est somme de deux premiers, au moins une fois.

 

 

Impair = Premier + Premier

 

Le nombre n impair n'est pas la somme de 2 nombres premiers. Seuls les impairs premiers séparés de 2 unités possèdent cette propriété. Ce sont les nombres premiers jumeaux.

 

 

Impair = Premier + Premier + Premier

 

 

Le nombre n impair (si n > 5) est somme de trois premiers, au moins une fois.

 

 

 

Une table d'addition originale

  Voir  Suite de cette table et autres types de représentations

 

 

 

Quantité de décompositions pour n < 100

    

 

Compte tenu de la quantité croissante des partitions, on pourrait penser que la démonstration de la conjecture ne devrait pas poser de problème. Et pourtant si!

 

 

Fonction quantité de partitions

La fonction qui donne la quantité de sommes pour un nombre pair (E, comme even) est nommée r(N).

Exemple: 100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53 soit six possibilités. Alors r(100) = 6.

Évidemment les permutations (comme 97 + 3) ne sont pas comptées.

Voir Comète de Goldbach

 

 

 

Quantité de décompositions autour de 1 000

 

Cas de 1 000

r(1 000) = 28 sommes de 2 premiers

 

Cas de 999

r(999) = 770 sommes de 3 premiers


 

Cas de 1 001

r(1 001) = 1 095 sommes de 3 premiers

 

  

  

Bilan

Il est assez paradoxal que la conjecture de Goldbach ne soit pas démontrée avec:

*    Un libellé si simple !

*    Une observation qui montre que les cas de décomposition ont l'air de croître avec n.

 

  

English corner

 

The Goldbach conjecture asserts that every even integer greater than 2 is the sum of two primes. Stated by Christian Goldbach in 1742, verified up to 1018 at least, this conjecture has evaded all attempts at proof.

 

Ternary Golbach conjecture (TGC): at least it seems that every number that is greater than 2 is the sum of three primes.

Strong or binary Goldbach conjecture (BGC): all positive even integers  4 can be expressed as the sum of two primes.

Goldbach partition: two primes (p, q) such that p + q = 2n for n, a positive integer.
 

 

 

 

 

 

Suite

*         Représentations graphiques des sommes

*         Partitions

Voir

*         ConjectureGlossaire

*         Bi, tripartitions

*         Fermat

*         Modulo & Congruences

*           Nombres Premiers

Revues

*         Goldbach, une conjecture résistante par Élisabeth Busser – Tangente – Juillet-août 2013

*         Goldbach et les sommes de nombres premiers par Olivier Ramaré – La Recherche – Juin 2013

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/GoldbaIn.htm