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Conjecture de GOLDBACH

 

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Introduction

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Historique

 

Sommaire de cette page

>>> Table d'addition

>>> Axes de recherche

>>> Méthode du cercle

>>>  Découvertes récentes

 

 

 

 

 

CONJECTURE DE GOLDBACH

Début de preuve ?

 

Les axes de recherche: des plus simples aux plus sophistiquées.

 

En 2013, le mathématicien Harald Helfgott  publie la démonstration de la conjecture faible: tout nombre est somme de trois premiers. Tao Terence est sur la piste de conjecture forte: tout nombre pair est la somme de cinq nombres premiers. La conjecture dit: trois.

 

Voir Helfgott et le crible d'Ératosthène

 

 

 

Table d'addition

 

*         Nous reprenons la table d'addition des nombres premiers jusqu'à 17 (excepté 2). Alors tous les nombres de la table sont pairs.

*         La diagonale est mise en évidence (jaune) et nous ne considérons que le triangle en vert; l'autre étant identique par symétrie.

*         Le nombre 17 est le k = 6 ième nombre premier. Le triangle coloré comporte: 6 x 7 / 2 = 21 nombres, soit:
 

QT = k(k+1) /2 = 21

 

*         Potentiellement la somme de ces nombres premiers permet d'arriver à 17 + 17 = 34. et de 6 à 34 il y a 17 – 3 = 14 nombres premiers.

QP = P – 3 = 14

 

*         Donc, moins que le nombre de cases disponibles

QPAIR < QTABLE

 

 

 

Quels sont les nombres pairs produits?

61, 81, 102, 121, 142, 162, 182, 202, 222, 242, 261, 281, 301, 320, 341.

Soit 21 nombres dont 14 distincts.

À noter que la table ne donne pas le 32 qui viendra en ajoutant les nombres premiers suivants.

 

 

Conclusions

La table offre potentiellement suffisamment de place pour recevoir tous les nombres pairs. Cependant, certains sont produits plusieurs fois. Cette redondance n'est pas gage de complétude. La preuve s'envole …

Certains ont néanmoins poursuivi  cette approche en appelant les probabilités sans conclure vraiment.

Principal écueil: pour des nombres très, très grands, existe-il des nombres premiers suffisamment proches pour donner toute la séquence des nombres pairs?

 

 

Probabilités

Si n = P1 + P2, la quantité de nombres premiers entre 0 et n est voisine de n / ln (n) - (Théorème des nombres premiers établi par Gauss en 1792). On en déduit qu'il existe en moyenne environ n / 2ln² (n) façons d'écrire un entier n pair assez grand comme somme de deux premiers. Une proportion importante de nombres pairs est somme de deux nombres premiers impairs. Plus n augmente et plus la probabilité est grande de trouver deux nombres premiers qui correspondent. À partir de ce constat, certains tentent de progresser vers la résolution de la conjecture. Sans succès reconnu à ce jour. 

Image extraite de Evidence for Goldbach par Kevin Brown

Voir Comète de Goldbach

 

 

 

 

Axes de recherche

Comète de Golbach

 

Observation: la quantité de partitions d'un nombre pair en somme de deux premiers croit lorsque n croit.

Allure: Le graphe qui représente cette quantité en fonction de n présente une allure de comète. Deux bandes se détachent se propageant asymptotiquement, semble-t-il, vers la droite.

Espoir: Peut-on en déduire certaines propriétés qui mèneraient à la résolution de la conjecture?

 

Somme minimale

 

Espoir sur la fonction qui à tout nombre premier p associe la valeur Sp, plus petit entier pair n admettant une partition de Goldbach contenant p mais aucune partition de Goldbach avec un nombre premier plus petit que p.

Bien que rien à ce sujet ne soit encore prouvé, l'allure du graphe de Sp met clairement en relief une régularité qui ne doit rien au hasard. De nouveaux théorèmes y figurent en filigrane.

Benoît Rittaud – La Recherche – Janvier 2004

 

Méthode du cercle

 

Analyse de Fourier sur les entiers

 

Méthode analytique.

Elle fait appel à des notions avancées de mathématiques. La somme de premiers est exprimée sous la forme d'une série de Fourier s'appliquant sur le cercle unité. Nous avons à faire à des sommes d'exponentielles.

Exemple pour information: la fonction f3 donnant la quantité de possibilités de sommes de trois premiers pour un entier x, s'écrit (S étant une certaine somme d'exponentielles):

avec e(x) = exponentielle complexe = .

 

La stratégie de résolution (toute l'ingéniosité) consiste alors à borner la fonction. Si f3 > 0, alors la somme triple existe toujours et le problème est résolu.

 

Cette méthode fut introduite par Hardy et Littlewood en 1918 en tant que fonction de partition impliquée dans les sommes de carrés. Sont aussi impliquées: l'hypothèse de Riemann, la fonction L de Dirichlet … (La fonction L est une cousine de la fonction zêta)

 Suite >>>

 

Méthode du crible

(sieve method)

 

Méthode combinatoire issue du crible d'Ératosthène

Méthode, envisagée par Adrien-Marie Legendre (1808), utilisée en 1919 par Brun qui démontre que tout grand nombre pair est la somme de deux nombres, chacun ayant au maximum neuf facteurs premiers.

Méthode améliorée par Selberg en 1947.

Cette méthode met en jeu deux ensembles de nombres décrits par des inégalités et faisant appel à la théorie combinatoire. Construire les deux ensembles est la majeure difficulté de la méthode.

"Brun réussit à montrer que r(n), le nombre de façons d'écrire n comme somme de deux premiers, est inférieur à 8 R(n) où R(n) est la fonction asymptotique conjecturée pour r(n) si n est grand. Etc."

La suite est à lire dans la revue citée

 

 

 

 

Découvertes récentes

 

*      2012, Terence Tao, université de Californie, prouve (vérification en cours) que:

Tout entier impair est somme de cinq nombres premiers au plus.

O = P + P + P + P + P

Sa démonstration s'appuie sur la vérification que tous les entiers pairs jusqu'à 1014 sont somme d'au plus deux nombres premiers.

 

Nous avons prouvé que tout nombre impair N plus grand que 1 peut être exprimé comme la somme de, au plus, cinq nombres premiers, améliorant le résultat de Ramaré qui dit que tout nombre entier pair est la somme d'au plus six nombres premiers. Nous avons utilisé la méthode du cercle de Hardy-Littlewood et Vinogradov et également l'identité de Vaughan.

Extrait et traduction de l'abstract de son article.

 

*    2012, Olivier Ramaré, université de Lille et CNRS commente: avec la méthode de Tao, impossible de descendre plus bas, de passer de 5 à 3.

 

Il reste des termes dans la décomposition dont nous ne pouvons rien dire. La bonne méthode reste à trouver. Voir revue citée.

 

*      2013, le mathématicien Harald Helfgott (péruvien d'origine, recruté par le CNRS et chercheur à l'École Normale Supérieure de Paris) descend cette quantité à trois. La conjecture faible serait donc résolue! Pas tout à fait: la preuve est en cours de vérification, et elle est contestée par Tao, du moins pour atteindre le chemin de la conjecture forte.

Sa démonstration fait appel à des vérifications par ordinateurs, très exigeantes en puissance de calcul et à un algorithme seulement disponible depuis 2011 (David Platt).

 

 

La conjecture faible de Golbach (ternary Goldbach conjecture) dit que tout nombre impair supérieur ou égal à 7 est la somme de trois nombres premiers. Hardy et Littlewood en 1923 utilisaient les estimations de certaines séries de Fourrier et de leurs sommes. Ici, nous montrons comment estimer de telles séries (…). Ceci fait partie intégrante de la preuve par l'auteur de la conjecture faible.

Extrait et traduction de l'abstract de son article.

 

*    Dans les deux cas, les mathématiciens ont utilisé la méthode du cercle qui rend le problème accessible aux ordinateurs

 

Ramener le calcul du nombre de représentations d'un entier n impair comme somme de trois nombres premiers à celui d'une intégrale sur l'ensemble des entiers qu'on aurait au préalable "enroulé" sur un cercle, faisant coïncider à chaque tour les réels x, x+1, x+2 …. En coupant cette intégrale en deux, sur les arcs majeurs et mineurs, on doit prouver qu'elle est positive, et donc qu'il y a au moins une façon d'écrire n comme somme de trois nombres premiers.

Extrait de Tangente – Juillet-août 2013 – Goldbach, une conjecture résistante par Élisabeth Busser -  page 23

 

Voir Actualités

 

 

 

Romans

Le théorème du perroquet

Le théorème du perroquet: roman (1998) de Denis Guedj (1940-2010). Un mathématicien aux confins de l'Amazonie aurait démontré la conjecture.

 

Oncle Petros et la conjecture de Goldbach: roman d'Apóstolos Doxiádis (né en 1953) paru en 1992. Histoire d'un chercheur fictif précoce, occasion pour l'auteur de raconter l'histoire de mathématiciens célèbres.

Voir Romans

 

 

 

 

 

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Revue

*           Goldbach et les sommes de nombres premiers – Olivier Ramaré – La Recherche – N°476 de juin 2013- page 68 à 71

Sites

*           La conjecture de Goldbach ternaire – Harald Andrés Helfgott

*           Golbach ConjectureMathworld

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