NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 22/09/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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DÉRIVÉES

Approche en classe de première

Exemples d'activités et exercices, expliqués pas à pas.

Notions de: pente, coefficient directeur, dérivée et tangente.

Notions de coefficient directeur (pente)
Le coefficient directeur représente la pente de la droite avec un signe: rapport de l'accroissement en y pour un accroissement donné en x; ou valeur de l'accroissement en y pour un accroissement unité en x. La figure illustre quelques cas de calcul du coefficient directeur m des droites:

Exercice 1 – Trouver la pente de la tangente
Problème Un canon tire un boulet qui suit une trajectoire parabolique. Ce boulet s'élève et retombe 1600 m plus loin. On modélise la trajectoire par: f(x) = – x² + 1600x Quel est l'angle du canon avec l'horizontale ? Allure du graphe La courbe représentant cette fonction est une parabole dont le sommet est atteint pour x = 800. La valeur atteinte (y = 640 000 environ) est 800 fois supérieure la valeur de x (= 800).			On observe une démesure entre les échelles des axes.
Activité avec GéoGebra Cet outil est accessible sur Internet gratuitement. C'est un des outils utilisés au lycée. Son utilisation est très simple après un peu de pratique	Procédure pour tracer la courbe, les points et la droite
Graphe Parabole en vert et droite AB en noir. La rotation de la molette de la souris permet l'ajustement de l'échelle Cette flèche cliquée permet de faire glisser la figure en l'agrippant avec la souris (clic-gauche maintenu).
Coefficient directeur Le point B est déplacé le plus près possible du point A (en ajustant l'échelle avec la molette). La fenêtre à gauche montre l'évolution du coefficient directeur de la droite AB, lequel tend vers 1600.
Angle de la tangente La pente de la tangente est égale au coefficient directeur arctan(1600) = 1,57 radian = 89,96° Un angle proche de 90°.				Graphe avec même échelle en x et y Avec cette échelle, la tangente est pratiquement verticale

Voir Exemples d'utilisation de GeoGebra

Exercice 2 – Calculer la trajectoire et la pente
Problème Sur une plaine plate, un canon tire un boulet qui suit une trajectoire parabolique. Ce boulet s'élève à 800m et retombe 1600 m plus loin. Modéliser la trajectoire et calculer l'angle du canon avec l'horizontale. Allure du graphe La courbe représentant cette fonction est une parabole dont le sommet est atteint pour x = 800 et y = 800 Le sol étant plat, la parabole est symétrique et son maximum est atteint pour x = 1600 / 2 = 800.	Graphe avec même échelle en x et en y.
Modélisation de la trajectoire Équation générale de la parabole et calcul des coefficients en sachant que la courbe passe par trois ponts.	y = ax² + bx + c 0 = 0 + 0 + c => c = 0 0 = 1600²a + 1600b => 1600a = – b 800 = 800²a + 800b => 1 = 800a + b 1 = 800a – 1600a => a = – 1 / 800 b = – 1600 a = 2
Pente avec GeoGebra Même procédure que ci-dessus pour les points A et B et la droite AB. Alors la fenêtre nous indique: Un coefficient directeur qui tend vers m = 2. Angle de la pente de la tangente à l'origine arctan(2) = 1,107 radian = 63,43 °

Taux d'accroissement et dérivée
On rappelle la valeur du coefficient directeur de la droite AB; Il est exprimé également en appelant h l'écart entre les deux abscisses.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et a et a + h (h différent de 0) deux éléments de l'intervalle I:
Le quotient présenté ci-dessus est appelé taux d'accroissement de la fonction f entre a et a + h.
Si le taux d'accroissement tend vers un nombre réel quand h tend vers 0, on dit que la fonction f est dérivable en a. Ce nombre réel est la dérivée de la fonction f en a. On note f'(a) qui se lit f prime de a.
Exemple avec la fonction f(x) = x² Point A (2 ; 4) Avec B (1 ; 1) : h = -1 Avec B (1,9 ; 3,61): h = -0,1 Passage à la limite La dérivée de x² au point d'abscisse 2 est égale à 4.
Tangente La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a est la droite passant par le point de la courbe de coordonnées (a; f(a)) et ayant pour coefficient directeur f'(a). Le coefficient directeur de la tangente en A est égal à la dérivée de x² en A, soit 4. Avec y = 4x + b, on détermine b en notant que la droite passe par le point A: 4 = 4.2 + b => b = 4 – 8 = – 4 Équation de la tangente: y = 4x – 4, conformément avec ce que nous indique le logiciel GeoGebra. Angle de la pente de la tangente à l'origine arctan(4) = 1,326 radian = 75,96 °

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