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Sommaire de cette page

>>> Notions de coefficient directeur (pente)

>>> Exercice 1 – Trouver la pente de la tangente

>>> Exercice 2 – Calculer la trajectoire et la pente

>>> Taux d'accroissement et dérivée

 

 

 

DÉRIVÉES

Approche en classe de première

 

Exemples d'activités et exercices, expliqués pas à pas.

Notions de: pente, coefficient directeur, dérivée et tangente.

 

 

 

 

Notions de coefficient directeur (pente)

Le coefficient directeur représente la pente de la droite avec un signe:

*    rapport de l'accroissement en y pour un accroissement donné en x; ou

*    valeur de l'accroissement en y pour un accroissement unité en x.

 

La figure illustre quelques cas de calcul du coefficient directeur m des droites:

 

 

Exercice 1 – Trouver la pente de la tangente

 

Problème

Un canon tire un boulet qui suit une trajectoire parabolique. Ce boulet s'élève et retombe 1600 m plus loin.

On modélise la trajectoire par:
  f(x) =  – x² + 1600x

 

Quel est l'angle du canon avec l'horizontale ?

 

Allure du graphe

La courbe représentant cette fonction est une parabole dont le sommet est atteint pour x = 800.

La valeur atteinte (y = 640 000 environ) est 800 fois supérieure la valeur de x (= 800).

 

 

On observe une démesure

entre les échelles des axes.

 

Activité avec GéoGebra

 

Cet outil est accessible sur Internet gratuitement.

C'est un des outils utilisés au lycée.

 

Son utilisation est très simple après un peu de pratique

 

 

 

Procédure pour tracer la courbe, les points et la droite

 

 

Graphe

 

Parabole en vert et droite AB en noir.

 

La rotation de la molette de la souris permet l'ajustement de l'échelle

 

Cette flèche cliquée permet de faire glisser la figure en l'agrippant avec la souris (clic-gauche maintenu).

 

 

Coefficient directeur

Le point B est déplacé le plus près possible du point A (en ajustant l'échelle avec la molette).

 

La fenêtre à gauche  montre l'évolution du coefficient directeur de la droite AB, lequel tend vers 1600.

 

 

Angle de la tangente

La pente de la tangente est égale au coefficient directeur

arctan(1600) = 1,57 radian  = 89,96°

 

Un angle proche de 90°.

 

 

Graphe avec même échelle en x et y

Avec cette échelle, la tangente est pratiquement verticale

 

Voir Exemples d'utilisation de GeoGebra

 

 

 

Exercice 2 – Calculer la trajectoire et la pente

 

Problème

Sur une plaine plate, un canon tire un boulet qui suit une trajectoire parabolique. Ce boulet s'élève à 800m et retombe 1600 m plus loin.

Modéliser la trajectoire et calculer l'angle du canon avec l'horizontale.

 

Allure du graphe

La courbe représentant cette fonction est une parabole dont le sommet est atteint pour x = 800 et y = 800

Le sol étant plat, la parabole est symétrique et son maximum est  atteint pour x = 1600 / 2 = 800.

 

Graphe avec même échelle en x et en y.

Modélisation de la trajectoire

 

Équation générale de la parabole et calcul des coefficients en sachant que la courbe passe par trois ponts.

 

y = ax² + bx + c

 

0 = 0 + 0  + c => c = 0

0 = 1600²a + 1600b => 1600a = – b

800 = 800²a + 800b => 1 = 800a + b

 

1 = 800a – 1600a => a = – 1 / 800

b = – 1600 a = 2

 

Pente avec GeoGebra

 

Même procédure que ci-dessus pour les points A et B et la droite AB.

 

Alors la fenêtre nous indique:

Un coefficient directeur qui tend vers m = 2.

 

Angle de la pente de la tangente à l'origine

 

arctan(2) = 1,107 radian = 63,43 °

 

 

Taux d'accroissement et dérivée

 

On rappelle la valeur du coefficient directeur de la droite AB;

Il est exprimé également en appelant h l'écart entre les deux abscisses.

 

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et

a et a + h (h différent de 0) deux éléments de l'intervalle I:

 

Le quotient présenté ci-dessus est appelé taux d'accroissement de la fonction f entre a et a + h.

 

 

Si le taux d'accroissement  tend vers un nombre réel quand h tend vers 0, on dit que la fonction f est dérivable en a.

Ce nombre réel est la dérivée de la fonction f en a. On note f'(a) qui se lit f prime de a.

 

 

Exemple avec la fonction f(x) = x²

 

Point A (2 ; 4)

 

Avec B (1 ; 1) : h = -1

Avec B (1,9 ; 3,61): h = -0,1

Passage à la limite

 

La dérivée de x² au point d'abscisse 2 est égale à 4.

 

 

Tangente

La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a est la droite passant par le point de la courbe de coordonnées (a; f(a)) et ayant pour coefficient directeur f'(a).

 

Le coefficient directeur de la tangente en A est égal à la dérivée  de x² en A, soit 4.

Avec y = 4x + b, on détermine b en notant que la droite passe par le point A:
4 = 4.2 + b => b = 4 – 8 = – 4

 

Équation de la tangente: y = 4x – 4, conformément avec ce que nous indique le logiciel GeoGebra.

 

Angle de la pente de la tangente à l'origine

 

arctan(4) = 1,326 radian = 75,96 °

 

 

 

 

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