NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Principe multiplicatif

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Sommaire de cette page

>>> Les profs

>>> PRINCIPE ADDITIF

>>> Le calendrier

>>> Les livres

>>> THÉORIE DES ENSEMBLES

>>> ADDITIF ou MULTIPLICATIF

 

 

 

 

 

 

PRINCIPE ADDITIF

 

Le premier principe de calcul en combinatoire.

La base du comptage d'objet, du dénombrement.

 

Je peux lire un "Hugo" parmi 3 ou un "Balzac" parmi 2.

Je peux donc lire un livre parmi 5.

 

Voir Exemples avec des cartes à jouer

 

 

 

Les PROFS

 

Dans ce lycée, il y a

*    3 professeurs de maths hommes et

*    5 professeurs de maths femmes.

 

Combien y a-t-il de possibilités d'avoir un des professeurs de maths ?

 

 

Il y a 5 + 3 = 8 possibilités.

 

 

 

L'événement (A = le professeur de math est un homme) existe avec a = 3 possibilités.

L'événement (B = le professeur de math est une femme) existe avec b = 5 possibilités.

On constate que ces deux événements A et B ne peuvent pas exister simultanément. Alors, le total des possibilités n est la somme des possibilités de chaque événement.

 

 

 

 

Premier PRINCIPE de CALCUL – Règle de la SOMME

 

Si

*    un événement A peut se produire de a façons;

*    un événement B peut se produire de b façons;

*    un événement C peut se produire de c façons

*   

 

Et

*    Aucun événement n'est lié à un autre.

 

Alors

Le total des possibilités n est la somme des possibilités de chaque événement.

 

 

n = a + b + c + …

 

 

Peu ou proue, il s'agit de choix simultanés, toute l'offre est disponible à la fois. Je choisis parmi tous ces offres. Comme sur un menu au restaurant.

 

 

 

Le CALENDRIER

 

Un imprimeur imprime des calendriers.

Pour éviter de recommencer tous les ans, il veut imprimer tous les mois de février possibles.

Combien doit-il imprimer de pages?

 

Il faut:  7 + 7 = 14 pages

 

Le mois de février comporte soit 28 jours, soit 29 jours.

Chacun peut commencer par l'un des 7 jours de la semaine. Soit  7 pages pour 28 jours et 7 pages pour 29

 

 

Les LIVRES

 

Sur les rayons, il y a:

*    5 livres de maths,

*    3 livres sur l'économie, et

*    10 policiers.

Je peux emprunter:

*    2 livres mais différents.

Combien de choix ?

 

Il y a : 5 x 3 + 5 x 10 + 3 x 10

          = 95 choix

 

Je peux prendre 1 livre de maths et 1 livre d'économie

de 5 x 3 façons (principe multiplicatif).

Je peux prendre 1 livre de maths et 1 policier

de 5 x 10 façons.

Je peux prendre 1 livre d'économie et 1 policier

de 3 x 10 façons.

 

J'ai le choix entre une de ces trois possibilités indépendantes:

15 + 50 + 30 = 95 (principe additif).

 

 

Interprétation avec les ENSEMBLES

 

Soit n(A) le cardinal de A, la quantité d'éléments de l'ensemble A.

 

 

Règle additive

Si A et B sont deux ensembles disjoints:

 

 

 

 

 

 

ADDITIF ou MULTIPLICATIF?

 

Au restaurant, je choisis mon entrée, mon plat ET mon dessert.

Pour chaque étape, j'ai le choix entre 3 entrées, 6 plats et 3 desserts.

 

 

Choix élémentaires: PRINCIPE ADDITIF

Au moment du choix des entrées, je choisis parmi 3 possibilités (soupe OU escargots OU foie gras). Même chose pour les desserts.

Au moment du choix du plat, je choisis parmi les viandes et les poissons, toutes ces possibilités s'ajoutent (3 viandes +  3 poissons = 6 choix possibles). J'ai simultanément toutes ces possibilités pour le choix du plat.

 

Choix complet: PRINCIPE MULTIPLICATIF

Pour passer la commande, je dois énoncer successivement mes trois sélections: entrée, plat ET dessert. Il s'agit d'un chemin de choix, d'une cascade de choix.

On verra que la quantité de chemins de choix est égale à : 3 x 6 x 3 = 54.

 

 

 

 

 

 

Suite

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